江蘇省江浦高級中學(211800)肖浩春

一類三次函數(shù)恒成立問題的探究—由兩道相似的高考題所想到的

江蘇省江浦高級中學(211800)肖浩春

在函數(shù)與導數(shù)的綜合題中,可以說三次函數(shù)是最為常見和最為基本的函數(shù)之一.有關(guān)三次函數(shù)的問題,諸如極值、最值問題,單調(diào)性問題,函數(shù)零點問題,恒成立問題等等,一直是近幾年高考的熱點.本文筆者從兩道相似的高考題中找出問題的不同,分析產(chǎn)生的原因,給出解決的辦法.

三次函數(shù) 恒成立 圖像

近日筆者在整理各省近幾年高考題的時候,看到了這樣兩道題:

1.(2008江蘇第14題)已知f(x)=ax3?3x+1≥0,對任意的x∈[?1,1],f(x)≥0都恒成立,則實數(shù)a的值為___.

2.(2014遼寧理第11題文第12題)對任意的x∈[?2,1],ax3?x2+4x+3≥0都成立,則實數(shù)a的取值范圍為____.

一、求解方法和經(jīng)歷:

下面筆者用分離變量法來研究這兩題:

1.解:因為ax3?3x+1≥0,所以ax3≥3x?1,當x=0時,不等式顯然成立;并且

當x=0時,不等式顯然成立,當x∈(0,1]時,

不難判斷g(x)在x∈(0,1]上的最大值為g(1)=?6,在x∈[?2,0)上的最小值為g(?1)=?2,所以實數(shù)a的取值范圍為?6≤a≤?2.

二、問題產(chǎn)生和解決:

這兩題題設(shè)的條件是一樣的,但是問題的結(jié)果卻不一樣,第1題是求值,答案是4,第2題是求范圍,答案是[?6,?2],為什么會出現(xiàn)這種情況?

實際上剛才筆者在兩題解答的過程中都提到了這樣一個式子:m≤a≤n,只要m=n,則實數(shù)a的值只有一個,若m＜n,則實數(shù)a的值就不止一個了,有無數(shù)多個.若m＞n,則實數(shù)a的值不存在.而第1題出現(xiàn)了m=n,第2題出現(xiàn)了m＜n,所以問題就不難理解了.

三、問題拓展和探究:

那么知道了前面兩個問題的解決方法和解決原理之后,我們不禁要問:什么時候問題的解只有一個呢?能找出更加廣泛的情形嗎?下面不妨再來研究這兩道高考題的變式:

3.已知f(x)=ax3?3x+1≥0,對任意的x∈[p,q],f(x)≥0都恒成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

思考:若p≥0或q≤0,通過分離變量法不難得到實數(shù)a的值不可能只有一個,結(jié)果是[m,+∞)或(?∞,n]的形式.所以p＜0,q＞0.因為ax3?3x+1≥0,所以

當x=0時,不等式顯然成立,當x∈(0,q]時,

圖1

結(jié)合圖像分析:

4.對任意的x∈[p,q],ax3?x2+4x+3≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

思考:同第3題不難分析出p＜0,q＞0因為ax3?x2+4x+3≥0,所以

當x=0時,不等式顯然成立,當x∈(0,q]時,

圖2

反思:通過改編,我們不難發(fā)現(xiàn)能夠使實數(shù)a的值只有一個的定義域是不惟一的,并且我們發(fā)現(xiàn)第4題的結(jié)果比第3題的結(jié)果還要復(fù)雜.究其原因,第3題只有一個極值(極大值),而第4題有兩個極值(一個極大值和一個極小值),所以第4題的情況稍微復(fù)雜一些.

第3題研究的函數(shù)是只有一個極大值且極大值點為正值的情況,那么對于只有一個極值,若極大值點為負值和極值為極小值的這些情況,有興趣的讀者不妨研究下面兩題:

案例1:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+3x+1≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

案例2:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+cx+d≥0 (c,d都為常數(shù))都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

對于案例2,筆者在這里做一下說明:由于x=0要滿足不等式,所以d≥0,若d=0,則不等式提取公因式x之后可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式,在這里筆者就不做研究了,所以不妨設(shè)d＞0.此時,若c=0,問題變得很簡單,在這里筆者也不做研究了,所以c≠0.對于c＜0,d＞0這種情況,可以參考第3題進行分析;對于c＞0,d＞0這種情況,可以參考案例1進行分析.研究后不難發(fā)現(xiàn)極大值點為負值和極小值點為正值的情況是不存在的,只有極大值點為正值和極小值點為負值是存在的.

第4題研究的函數(shù)是兩個極值點且極值點為一正一負的情況,那么對于有兩個極值點,若極值點同正或同負的這些情況,有興趣的讀者不妨研究下面幾題:

案例3:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+x2?2x+ 1≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

二要積極爭取中央和省市補助資金，充分發(fā)揮政府及有關(guān)部門的職能作用，吃透上級政策，加強溝通協(xié)調(diào)，積極提報水利重點項目，做好項目前期工作，用優(yōu)良的投入收益率和先進的項目理念，爭取國家的項目投資和上級的政策支持。

案例4:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+3x2?5x+1≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

上述兩個案例有一共同點:都是有兩個極值點,且兩個極值點都為正值.但是案例3卻不存在p,q使得實數(shù)a的值有且只有一個,案例4是存在的.想一想,這是為什么?

案例5:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+x2+ 2x+1≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

此案例有兩個極值點,且兩個極值點都為負值.

案例6:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+bx2+ cx+d≥0(b,c,d都是常數(shù))都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

下面筆者對案例5做一下說明:

事實上不難看出b≠0,d＞0(若b=0,則不等式就轉(zhuǎn)化為案例2;d＞0的理由同案例2)當x=0時,不等式成立,當x∈(0,q]時,

令bx2+2cx+3d=0,然后對b的正負及方程根的分布進行分析.

四、問題追擊和歸納

前面我們研究了函數(shù)只有一個極值點和有兩個極值點的情形,下面我們進一步探討函數(shù)可能出現(xiàn)的其它一些情況.實際上上述案例5中令bx2+2cx+3d=0(b≠0,d＞0)時,我們就不難發(fā)現(xiàn)這是一個一元二次方程,所以根的情況有三種:無實數(shù)根,兩個相等的實數(shù)根,兩個不等的實數(shù)根.不難理解兩個不等的實數(shù)根對應(yīng)了有兩個極值點的情況,而對于無實數(shù)根和兩個相等的實數(shù)根則對應(yīng)了無極值點的情況.

下面筆者對函數(shù)無極值點的情況進行說明:

案例7:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+x2?3x+ 3≥0都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?

分析:因為ax3+x2?3x+3≥0,所以

所以g(x)在(?∞,0)和(0,+∞)上都為增函數(shù),g(x)無極值點.下面我們結(jié)合g(x)(x∈(?∞,0)∪(0,+∞))的圖像來研究實數(shù)a的值有沒有可能有且只有一個.

圖3

我們不難發(fā)現(xiàn):

當x∈[p,0)時,a≤g(p),當x∈(0,q]時,a≥g(q)而g(p)＞0,g(q)＜0,所以無論p,q取何值,實數(shù)a的值都不可能有且只有一個.通過前面一系列的探究之后,讓我們對這樣的問題:“對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+bx2+cx+d≥0(b,c,d都是常數(shù))都成立,p,q滿足什么條件,實數(shù)a的值有且只有一個?”有了一個初步的認識,這同時也讓我們對部分分式函數(shù)的圖像有了進一步理解.有了導數(shù)這個工具,很多較為復(fù)雜的函數(shù)(例如高次函數(shù)、分式函數(shù)、無理函數(shù)等等)的圖像和性質(zhì)問題都不難解決.

最后,筆者留給讀者一個思考的空間:

思考1:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+bx2+ cx+d≥0(a,c,d都是常數(shù),a≠0,c≠0,d＞0)都成立,實數(shù)b的值有沒有可能有且只有一個?

思考2:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+bx2+ cx+d≥0(a,b,d都是常數(shù),a≠0,b≠0,d＞0)都成立,實數(shù)c的值有沒有可能有且只有一個?

思考3:對任意的x∈[p,q](p＜0,q＞0),ax3+bx2+ cx+d≥0(a,b,c都是常數(shù),a≠0,b≠0,c≠0)都成立,實數(shù)d的值有沒有可能有且只有一個?

每年的高考試卷中有一些看似平常的題,而實際上“暗藏殺機”,有很多考題值得去研究、去探討、去反思.只有這樣,我們才能提高自己的業(yè)務(wù)能力和教學水平,才能更好的服務(wù)學生,把握高考的方向.