傅小波

(無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 無錫 214121)

?

Ω-凸Fuzzy集

傅小波

(無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 無錫 214121)

給定一個參數(shù)集，將Ω-模糊集與凸集相結(jié)合，提出了一種新的Ω-凸Fuzzy集，并研究了Ω-凸Fuzzy集的一些基本性質(zhì)。

Ω-模糊集；Ω-凸Fuzzy集

自1965年L.A.Zadeh 在文獻[1]中首次提出Fuzzy集和凸Fuzzy 集概念以來, Fuzzy集的思想和方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，極大地促進了有關(guān)不確定性信息問題的研究和發(fā)展。隨后眾多學(xué)者對凸Fuzzy集作了進一步的研究, 獲得了許多有意義的結(jié)果[2-10]。本文在上述研究工作的基礎(chǔ)上，將文獻[11]中的Ω-模糊集的思想應(yīng)用于凸集，提出了更為廣泛的Ω-凸Fuzzy集。

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè)X為論域,A?X,若?x,y∈A,?λ∈[0,1],有λx+(1-λ)y∈A，則稱A為凸集。

定義1.1[1]設(shè)X為論域，映射A:X→[0,1]稱為X的模糊集。

定義1.1[11]設(shè)X為論域，Ω為非空給定集合,映射A:X×Ω→[0,1]稱為X的Ω-模糊集。

論域X上的全體Fuzzy集記作Ω-F(X)。

2 Ω-凸Fuzzy集

定義3.1 設(shè)A∈Ω-F(X),?x,y∈X, ?δ∈Ω,?λ∈[0,1]，若

則稱A為Ω-凸Fuzzy集。

定理3.1 若A,B是Ω-凸Fuzzy集，則A∩B是Ω-凸Fuzzy集。

證明 ?x,y∈X,?δ∈Ω,?λ∈[0,1]，若A,B是Ω-凸Fuzzy集，則有

(A∩B)(λx+(1-λ)y,δ)

=A(λx+(1-λ)y,δ)∧B(λx+(1-λ)y,δ)

≥(A(x,δ)∧A(y,δ)∧(B(x,δ)∧B(y,δ))

=(A(x,δ)∧B(x,δ)∧(A(y,δ)∧B(y,δ))

=(A∩B)(x,δ)∧(A∩B)(y,δ),

從而可知，A∩B是Ω-凸Fuzzy集。

定義3.2 設(shè)Α∈Ω-F(X)是Ω-凸Fuzzy集，若?α∈[0,1],

則稱Aα為Α的關(guān)于Ω的水平上截集。

定義3.3 設(shè)Α∈Ω-F(X)是Ω-凸Fuzzy集，若?α∈[0,1],

則稱Aα>為Α的關(guān)于Ω的水平上截集。

定理3.3 設(shè)Α(∈Ω-F(X))是Ω-凸Fuzzy集，當(dāng)且僅當(dāng)Aα為凸集。

證明 “?” 若Α是Ω-凸Fuzzy集，則?α∈[0,1],?x,y∈Aα,因為A(x,δ)≥α,A(y,δ)≥α.從而?λ∈[0,1],有

所以λx+(1-λ)y∈Aα,即Aα為凸集。

“?” 若Α不是Ω-凸Fuzzy集，則?x0,y0∈X,使

令α0∈[0,1]滿足下列條件：

則A(x,δ)≥α0,A(y,δ)≥α0,且A(λx0+(1-λ)y0,δ)<α0,從而有α0∈[0,1],x0,y0∈Aα0,且λx0+(1-λ)y0?Aα0.又Aα0是凸集,于是有λx0+(1-λ)y0∈Aα0,與λx0+(1-λ)y0?Aα0矛盾。所以Α是Ω-凸Fuzzy集。

類似與定理3.3的證明，可得下列定理3.4。

定理3.4 設(shè)Α(∈Ω-F(X))是Ω-凸Fuzzy集，當(dāng)且僅當(dāng)Aα>為凸集。

定理3.5 設(shè)Α∈Ω-F(X)，若?α∈(0,1)，使A(αx+(1-α)y,δ)≥A(y,δ),?x,y∈X,則B={α∈[0,1]|A(αx+(1-α)y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ),?x,y∈X}在[0,1]上是稠密的。

設(shè)α′=αβ1+(1-α)β2，則

α′x+(1-α′)y

=[αβ1+(1-α)β2]x+[1-αβ1-(1-α)β2]y

=α[β1x+(1-β1)y]+(1-α)[β2x+(1-β2)y]

于是，

A(α′x+(1-α′)y,δ)

=A{α[β1x+(1-β1)y]+(1-α)[β2x+(1-β2)y],δ}

≥A[β1x+(1-β1)y,δ]∧A[β2x+(1-β2)y,δ]

≥(A(x,δ)∧A(y,δ))∧(A(x,δ)∧A(y,δ))

=A(x,δ)∧A(y,δ),

因此，α′∈B.

1) 若α′≥α0，則有0≤β2≤α2≤α1≤α′≤1，從而α′-β2≥α1-α2，又因為

α′-β2

=αβ1+(1-α)β2-β2

=α(β1-β2)

<α1-α2，

與α′-β2≥α1-α2矛盾。

2)若α′<α0，則有0≤α′≤α2≤α1≤β1≤1，從而β1-α′≥α1-α2，又因為

β1-α′=β1-(αβ1+(1-α)β2)

=(1-α)(β1-β2)<α1-α2，

與α′-β2≥α1-α2矛盾。

綜上所述，B在[0,1]上是稠密的。

定義3.3 設(shè)Α∈Ω-F(X)， ?ε>0, ?δ>0，若?y∈X且∥y-x∥<σ,有

則稱Α關(guān)于Ω是下半連續(xù)的。

定理3.6 設(shè)Α∈Ω-F(X)關(guān)于Ω是下半連續(xù)的，若?α∈(0,1),?x,y∈X,?δ∈Ω，有

則Α是Ω-凸Fuzzy集。

證明 若Α不是Ω-凸Fuzzy集，則?x,y∈X,α′∈(0,1)，使

因為Α關(guān)于Ω是下半連續(xù)的，且yn→y(n→∞)，從而可知，

其中N>0，所以

A(α′x+(1-α′)y,δ)

=A[(1-αn)yn+αnx,δ]

≥A(yn,δ)∧A(x,δ)

≥A(E(y)-ε,δ)∧A(x,δ),

由ε的任意性可知，

與A(α′x+(1-α′)y,δ)

綜上所述，Α是Ω-凸Fuzzy集。

[1] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control, 1965, 8:338-353.

[2] Liu Y M．Some properties of convex fuzzy sets[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1965,111(1): 119-129．

[3] Smon S. The sequence spacesl(pv)andm(pv)[J]. Proceedings of the London Mathematical Society,1965, 8(3): 422-436.

[4] 方錦暄．Fuzzy凸集的分離定理[J].科學(xué)通報, 1983,28(21): 1289-1291．

[5] Youness E A．E-convex sets，E-convex functions，and E -convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications, 1999, 102(2): 439-450.

[6] Yang X M．On E-convex set，E-convex functions，and E -convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2001,109(3): 699-704.

[7] Jian J B．Incorrect result for E-convex functions，and E- convex programming[J].Mathematical Research and Exposition,2003,23(3): 461-466．

[8] 鞠紅梅,袁學(xué)海,陳圖云．凸模糊子集的再定義[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2001,15(1): 68- 70．

[9] 顧惠,廖祖華．廣義Fuzzy凸集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)， 2004,18: 153-156．

[10] Gu H，Liao Z H．(∈,∈∨q(λ,μ))-convex fuzzy set[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2007,21(1): 92 - 96．

[11] Young B J, Kyung H K, Zhang Q. On Ω-fuzzy ideals of BCK/BCI algebras[J]．The Journal of Fuzzy Mathematics, 2001, 9(1):173-180.

責(zé)任編輯 俞 林

Ω-Invex Fuzzy Set

FUXiaobo

(Department of Basic Courses, Wuxi Institute of Technology, Wuxi 214121， China)

LetΩbe a parameter set.By combining theΩ- fuzzy sets and the invex set, the concepts of invexΩ-fuzzy set is proposed, and some related properties are studied.

Ω- Fuzzy Sets；Ω- Invex fuzzy sets

2016-09-01

傅小波(1980— )，男，江蘇無錫人，講師，研究方向：模糊代數(shù)，人工智能。

10.13750/j.cnki.issn.1671-7880.2016.06.017

O 15

A

1671-7880(2016)06-0061-03