讀《古今數(shù)學(xué)思想》有感

張碩旸

《古今數(shù)學(xué)思想》是上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的圖書(shū)，作者是M·克萊因。本書(shū)共分四冊(cè)，論述了從古代一直到20世紀(jì)頭幾十年中的重大數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)展，目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數(shù)學(xué)歷史的主要時(shí)期出現(xiàn)并成為最突出的、對(duì)促進(jìn)和形成爾后的數(shù)學(xué)活動(dòng)有影響的主流工作。

掩卷而思，我不禁感慨萬(wàn)千！

數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了千辛萬(wàn)苦，說(shuō)是一部血淚史也不為過(guò)。數(shù)學(xué)歷來(lái)被視為嚴(yán)格、和諧、精確的學(xué)科?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)發(fā)展從來(lái)不是完全直線式的，她的體系不是永遠(yuǎn)和諧的，常常出現(xiàn)悖論。數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)理論中的發(fā)展是一件嚴(yán)重的事，因?yàn)樗苯訉?dǎo)致了人們對(duì)相應(yīng)理論的懷疑。如果一個(gè)悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及整個(gè)學(xué)科的基礎(chǔ)時(shí)，這種懷疑情緒又可能發(fā)展成為普遍的危機(jī)感。特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起了人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑以及對(duì)數(shù)學(xué)可靠性信仰的動(dòng)搖。數(shù)學(xué)史上發(fā)生過(guò)三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每次都是由一兩個(gè)典型的數(shù)學(xué)悖論引起的。幸虧數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈的努力和執(zhí)著的追求，才使得每次危機(jī)都化險(xiǎn)為夷。但許多人為之付出了艱辛的汗水，甚至生命的代價(jià)。比如，古希臘的希帕索斯，為了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，不惜反對(duì)自己的老師而獻(xiàn)出了生命。又如卡爾達(dá)諾，他因?yàn)橐黄撐暮退睦蠋熕麃啺l(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)并與之在米蘭決斗。雖然并不是騎士用長(zhǎng)劍決斗或者牛仔用左輪手槍?zhuān)∏∮捎跊Q斗，卡爾達(dá)諾公式得以流芳百世……所以說(shuō)，數(shù)學(xué)是真理的化身一點(diǎn)也不為過(guò)，因?yàn)樗粸槿说母星槎笥摇?/p>

數(shù)學(xué)要發(fā)展，不能只為實(shí)用，需要建立公理體系。三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，數(shù)學(xué)要進(jìn)一步發(fā)展壯大，需要一套完整的理論體系支持，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識(shí)。公理化方法便是一種有效的手段。大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其他演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其他所有三段論法，從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)。近代數(shù)學(xué)中的群論也經(jīng)歷了一個(gè)公理化的過(guò)程。人們分別研究了許多具體的群結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，就用一個(gè)滿足一定條件的公理集合來(lái)定義群，形成一個(gè)群的公理系統(tǒng)，并在這個(gè)系統(tǒng)上展開(kāi)群的理論，推導(dǎo)出一系列定理。

數(shù)學(xué)是美的。從數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)看，盡管經(jīng)歷了這么多次危機(jī)，但最后都徹底解決了，并且每次解決都沒(méi)有推翻之前的結(jié)論，而是建立在之前的結(jié)論上。這是多么的和諧！和諧性是美的最基本、最普遍的一個(gè)特征，任何美的東西無(wú)一不給人以和諧之感。

數(shù)學(xué)美在簡(jiǎn)單明了。一是理論前提的簡(jiǎn)單性，獨(dú)立的概念簡(jiǎn)單明確，以最少的公理來(lái)建立理論；二是理論表述的簡(jiǎn)單性，以最簡(jiǎn)單的方式抓住現(xiàn)象的本質(zhì)，定理和公式簡(jiǎn)單明晰。著名的皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)就是邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單美的一個(gè)典范。

數(shù)學(xué)美在對(duì)稱(chēng)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓。圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形——圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心，圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形——任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸。對(duì)稱(chēng)美的形式很多，對(duì)稱(chēng)美也不只是數(shù)學(xué)家獨(dú)自欣賞的，人們對(duì)對(duì)稱(chēng)美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛(ài)的對(duì)數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。

（作者單位：益陽(yáng)市第一中學(xué)）