一題多解，體味數(shù)學(xué)魅力——一道平面幾何證明題教學(xué)所感

張云

證明一個幾何問題，就是從所給的前提出發(fā)，利用定義、公理和已知定理推出欲證明的結(jié)論。對一個具體問題，我們首先要仔細考察題目的特征，理解題意，分清條件和結(jié)論，盡量發(fā)掘題目中涉及的一些概念的內(nèi)涵，在細致周密考察的基礎(chǔ)上，嘗試展開豐富的聯(lián)想，以求喚起對有關(guān)舊知識的回憶，開啟思維的大門。這個過程其實是將新問題轉(zhuǎn)化為自己所探究過的問題。其中豐富的聯(lián)想建立在對題目條件的分析以及條件與結(jié)論關(guān)系的探討上，在此基礎(chǔ)上再多角度思考問題，就可能產(chǎn)生多種解法。

如圖1，凸五邊形ABCDE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAD=∠AEB+∠ABE，點M為BE的中點。

證明：CD=2AM。

圖1　

分析：CD，AM可謂天各一方。思考這樣的問題，一般的思路有兩條：一是將長線段CD折半，顯然要取CD中點F，只要證明DF=AM即可；二是證明CD=x，x=2AM。如何尋找x就成為解決問題的關(guān)鍵。順著這樣的思路，可以得到下面的證明。

一、截長補短

思路1取線段CD的中點F，連接AF并延長至點G，使得AF=GF，連接DG。（如圖2）易證△ACF△GDF，所以GD=AC，∠G=∠CAF，則∠G+∠GAD=∠CAD=∠ABE+∠AEB。

圖2　

又AM，DF分別為EB，AG兩邊的中線，所以AM=DF，故CD=2AM。

此證法為“截長法”，轉(zhuǎn)化了其中的邊角關(guān)系，找到了目標(biāo)三角形，利用全等三角形中的對應(yīng)邊上的中線也相等得出了要證的結(jié)果。

思路2考慮結(jié)論要證明CD是AM的2倍，果斷作出AM的相應(yīng)倍數(shù)進行“補短”，得到新的線段，再通過三角形全等完成證明。

延長AM至點N，使得AM=NM，連接BN。（如圖3）易證△AME△NMB，所以∠ABN=∠CAD，再證△ABN△CAD，得到CD=AN=2AM。

圖3　

圖4　

二、旋轉(zhuǎn)重組

將△AEM繞點M旋轉(zhuǎn)180°（順時針、逆時針均可），得到△A′BM。（如圖4）

則∠ABM+∠A′BM=∠ABE+∠AEB，即∠ABA′=∠CAD，可證△ABA′△CAD，所以AA′=CD，故CD=2AM。旋轉(zhuǎn)后將題中兩個分開的角拼到一起，產(chǎn)生了一對新的對應(yīng)角，如此全等三角形也構(gòu)造出來了。此法與前面延長AM進行“補短”有異曲同工的效果。

三、補出中位線

題中結(jié)論是CD=2AM，考慮作出2AM的線段，由點M是中點，故可考慮延長EA至點F，使得點A為中點，AM為中位線，連接BF。（如圖5）再證BF與CD相等，可通過證明△AFB和△ADC全等實現(xiàn)。

而延長BA至點F，使得點A為中點，AM為中位線，連接EF，證出△ABF△ACD，結(jié)論可類似得出（如圖6）。

圖5　

圖6　

四、向量來幫忙

細致分析題目中的條件可以發(fā)現(xiàn)，其中的角度關(guān)系可改為：∠CAD+∠BAE=180°。而邊之間的長度關(guān)系是兩點間距離關(guān)系，對應(yīng)著平面向量的模，由此考慮將要求的線段用向量表示，利用平面向量知識求解。

所以，CD=2AM。

數(shù)學(xué)中的邏輯推理與證明對思維的嚴謹性要求較高，一串串由“因為……所以……”構(gòu)成的看似樸實無華的文字，實則每一步的推導(dǎo)都是合理和必然的。這其中的曲折與艱難時常讓人心生“山重水復(fù)疑無路”之感，而經(jīng)過思索后“柳暗花明又一村”的解題靈感，以及最終到達成功彼岸時那種“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”之感，怎能不讓你更加愿意“為伊消得人憔悴”呢？

通過對題目的思考分析，我們還可以得到如下事實：

（1）利用正弦定理，可得S△ABE=S△ACD。

（2）凸五邊形這個條件對結(jié)論沒有影響，滿足題中的邊角關(guān)系均可得到所求的線段倍數(shù)關(guān)系，即有一個三角形的中線長等于另一個三角形第三邊長的一半。

圖7　

圖8　

（3）若E與C、B與D（或者E與D、B與C）分別重合，則點M是線段CD的中點，且△ABC為直角三角形。

圖9　

圖10　

（4）若僅有E與C重合，由線段相等關(guān)系，易知點A為線段BD的中點，AM為中位線，所以AM=CD，且∠BCD=90°。

圖11　

平面幾何證明題對學(xué)生思維訓(xùn)練很有幫助，特別是輔助線的做法技巧性較強。在解決問題時，可以利用題目中出現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)、翻折、對稱等圖形變換，以及適當(dāng)添加的輔助線構(gòu)造出新的圖形，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，再利用全等三角形、相似三角形、勾股定理等知識求解。學(xué)生在解題中展開豐富的聯(lián)想，找出問題本質(zhì)，嘗試一題多解，既可以啟發(fā)思維，也能體會到數(shù)學(xué)的無窮魅力。

（作者單位：長沙市一中岳麓中學(xué)）