“平行四邊形的面積”教學(xué)研究報告

長沙市丁麗數(shù)學(xué)名師工作室瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

人教版五年級上冊第五單元“多邊形的面積”第一課時安排的是平行四邊形的面積。教材的編寫思路是：通過數(shù)方格發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積就是它的底乘高；然后通過剪拼（即割補(bǔ)，下統(tǒng)稱剪拼），將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形；接著觀察剪拼前后圖形之間的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式；最后是應(yīng)用公式解決問題?；趯W(xué)生已有的知識經(jīng)驗，我們?nèi)绻唇滩牡木幣彭樞騺硭伎?，不得不面對幾個問題：1.為什么要用方格？2.為什么要剪拼？3.為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形？我們面對新的問題時，依靠“提示”的幫助確實可以使問題得以解決。但如果沒有這些“拐杖”，該怎么辦？數(shù)學(xué)不能像“魔術(shù)師帽子里蹦出來的兔子”，始終以神秘的姿態(tài)出現(xiàn)，只管結(jié)論而不考慮緣由，這不利于孩子獲得獨立研究問題的方法，培養(yǎng)尋根究底的探索精神。更何況，就平行四邊形而言，靠學(xué)生自己直面這一新圖形，通過主動聯(lián)系與轉(zhuǎn)化獲得圖形面積的計算公式是很困難的。

不同版本教材中對多邊形面積的編排順序不盡相同。例如，香港數(shù)學(xué)教材中將三角形面積作為多邊形面積學(xué)習(xí)的第一課時，而人教版教材則選擇平行四邊形面積為多邊形面積學(xué)習(xí)的第一課時。不論怎樣的安排，平行四邊形面積的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生掌握了平行四邊形的特征以及長方形、正方形面積計算公式的基礎(chǔ)上。它是學(xué)生學(xué)習(xí)梯形面積等多邊形、組合圖形面積以及圓的面積與立體圖形表面積計算的基礎(chǔ)。筆者也曾嘗試從三角形面積入手學(xué)習(xí)多邊形面積，這是可行的。更何況，《九章算術(shù)》中沒有對平行四邊形面積的研究，僅有“方田術(shù)”“圭田術(shù)”，未提及其余多邊形面積的計算，緣由有二：一是依據(jù)現(xiàn)有的兩個圖形面積的算法足以解決其余多邊形的面積計算問題，二是從《九章算術(shù)》解決當(dāng)時實際生活問題的背景來看，求平行四邊形的面積并不多見。對平行四邊形面積教學(xué)的研究頗多，本研究強(qiáng)調(diào)的是基于學(xué)生第一次學(xué)習(xí)面積公式推導(dǎo)的討論。因為這既是學(xué)生第一次經(jīng)歷面積公式推導(dǎo)的過程，也是整個小學(xué)階段最后一次涉及平行四邊形面積計算的學(xué)習(xí)（進(jìn)入中學(xué)，學(xué)習(xí)的是平行四邊形的性質(zhì)及判定定理）。所以，對這樣一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生到底應(yīng)該學(xué)什么、老師應(yīng)該教什么顯然是本課設(shè)計的起點。對平行四邊形面積的教學(xué)，老師們一般的做法是重結(jié)論和應(yīng)用，忽視了這節(jié)課作為第一次面積公式推導(dǎo)所應(yīng)承載的價值。

基于此，我們將教與學(xué)的目標(biāo)進(jìn)行了重新定位：

1.進(jìn)一步理解面積，掌握平行四邊形的面積計算公式，經(jīng)歷探索平行四邊形面積計算公式的過程。

2.通過猜測、比較、驗證等活動，學(xué)生探究平行四邊形面積的計算公式，積累新圖形面積計算公式推導(dǎo)的經(jīng)驗；在面對新的數(shù)學(xué)問題時，嘗試獲得問題解決的辦法。

3.學(xué)生體驗學(xué)習(xí)成功的愉悅，提高主動獲取知識的能力。

本課定位在通過平行四邊形面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅會計算一個具體的平行四邊形的面積，還能積累推導(dǎo)面積計算方法的經(jīng)驗——基于已有的面積算法提出猜測，進(jìn)而驗證，獲得結(jié)論。這將為新的圖形面積計算公式的獲得提供解決的策略，讓每一個圖形面積的解決都可循道而行。按照這樣的思路，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)嘗試。

二、實踐

片段一：研究鋪墊

師：（板書：平行四邊形的面積）今天，我們一起研究平行四邊形的面積。關(guān)于圖形的面積，你會算哪些？怎么算？

生：我學(xué)過長方形和正方形的面積計算公式。長方形面積等于長乘寬，正方形面積等于邊長乘邊長。

（教師依次在黑板上張貼長方形、正方形教具，并在圖形下方板書面積算法，然后張貼平行四邊形教具）

師：回答得很對。我們?nèi)绻谝延械拈L方形、正方形面積算法的基礎(chǔ)上能研究出新圖形——平行四邊形的面積算法就好。

片段二：研究一個具體的平行四邊形的面積

圖1　

師（拿出一個半透明的小平行四邊形）：我為每個同學(xué)都準(zhǔn)備了一個平行四邊形，現(xiàn)在我們看看能否先算出它的面積來？請動手測量你需要的數(shù)據(jù)，獨立研究。

學(xué)生拿出材料袋中統(tǒng)一規(guī)格的半透明平行四邊形進(jìn)行操作。教師巡視，與個別學(xué)生溝通算法，解決數(shù)據(jù)測量等問題。

師：我注意到，不少同學(xué)已經(jīng)算出了它的面積。接下來請幾個學(xué)生說說自己的研究結(jié)果。為了能讓更多的人聽明白，建議大家按照屏幕上顯示的這樣表達(dá)。（如圖1所示）誰先來試一試？

生1：我得到的結(jié)果是40平方厘米。我是像計算長方形的面積一樣，找到平行四邊形的長和寬，測量得出長是8厘米，寬是5厘米，所以它的面積是40平方厘米。

師：能帶上你的平行四邊形上臺介紹一下你所說的平行四邊形的長和寬嗎？

生1（在實物展臺下指認(rèn)并解說）：下面這條長的邊是長，斜著的邊是寬。

師：哦，原來是這樣。我們四年級專門學(xué)習(xí)過平行四邊形各部分的名稱，為了方便溝通，我們都統(tǒng)一成一個說法，行嗎？誰來介紹一下？

生2：他說的長其實是平行四邊形的底，斜著的邊叫腰。（師貼出算法圖，并板書，如圖2所示）

師（問生1）：你是這么算的嗎？

生1（點頭）：是的。師：還有不同的意見嗎？生3：我算出來的不一樣！我得到的結(jié)果是32平方厘米。我測量的是平行四邊形的底和高，底是8厘米，高是4厘米，它的面積是32平方厘米。（師貼出另一算法圖，并板書，如圖3所示）

師：同一個平行四邊形，兩位同學(xué)得到了兩種不同的結(jié)果。顯然，這里面要么有一個是錯的，要么兩個都存在問題。你支持誰的觀點呢？能說說你的理由嗎？

圖2　

圖3　

生4：我同意第二種算法。因為如果沿著高剪開，左邊被剪下的小三角形移到右邊就可以變成長方形。所以，我認(rèn)為方法二對。

生5：我倒認(rèn)為方法一對。方法二還要剪，剪完再去拼。但是我們以前學(xué)過平行四邊形，它有不穩(wěn)定性，一拉就可以變成長方形，所以直接用長方形面積公式計算就行。

師：其他同學(xué)的意見呢？

生6：好像都有道理。不知道該支持誰了。

師：無論怎樣，我知道同一個圖形的面積肯定只有一個。既然兩方各有理由，我們不如另想辦法來確認(rèn)它的面積如何？

生：好！

師（拿出方格紙）：借助這個工具如何？

生7：對，我們可以數(shù)格子。

師生一起數(shù)出這個平行四邊形的面積等于32個1平方厘米的方格（如圖4所示）。

圖4　

師：如此看來，哪種方法對？

生：第二種方法對。

片段三：研究平行四邊形的面積算法

師：我們一起看看第二種方法為什么對。（動畫演示剪拼的方法）仔細(xì)看，什么變了，什么沒變？

生：形狀變了，但是面積沒變。

師：剛才借助方格紙，同學(xué)們確認(rèn)了第二種算法。既然這種方法可行，那我們能否用這個方法再來算幾個平行四邊形？至于第一種算法為什么不對，待會我們再回頭研究。

教師在方格紙上出示3個不同方向、不同大小的平行四邊形（如圖5所示），請學(xué)生口答面積，再分別將平行四邊形剪拼成長方形以確認(rèn)算法。

圖5　

師：研究一個具體的平行四邊形面積不是我們的終極目標(biāo)，因為世界上還有形形色色的其他不同形狀、大小的平行四邊形。別忘了，我們還要寫出它的算法?；蛘哒f，如果沒有格子，也不動手剪拼了，我們怎么計算平行四邊形的面積呢？

生8：我剛才注意到，我們每次剪拼，都是把平行四邊形變成長方形。所以可以用平行四邊形的底直接乘高。

師：誰聽明白了她的意思？能不能談一談你的理解？

生9：將平行四邊形剪拼成長方形，平行四邊形只是形狀變了，面積沒變?？梢杂瞄L方形的面積公式直接計算出面積。

師：那我直接在這兒寫長乘寬嗎？

生9：現(xiàn)在的長方形的長是由平行四邊形的底變來的，長方形的寬就是平行四邊形的高，所以可以寫底乘高。

師：你們都聽明白了嗎？試著和你的同伴說說它的算法和緣由。

學(xué)生交流后，教師板書平行四邊形面積的算法：平行四邊形面積=底×高。

師：這節(jié)課，在全體同學(xué)的努力下，我們的研究告一個段落。關(guān)于我們今天研究的內(nèi)容，誰還有疑問嗎？

生1：老師，之前我的做法為什么不對呢？我也是將平行四邊形變成長方形的??！

師：你真是個富有鉆研精神的孩子！我這里準(zhǔn)備了一個平行四邊形框架，請你上臺和大家討論一下！

（生1上臺操作，拉動平行四邊形框，使之變成長方形）

生11：你這樣拉動是不行的，它的面積變了。

生1：沒變??！

生11：我來拉給你看！（將平行四邊形框架一直往下壓，面積接近零）你剛才看不明顯，現(xiàn)在是不是可以看明顯些？

生1：是的，確實面積變了。

師：兩個孩子都了不起！我也為你們準(zhǔn)備了一個演示。（課件演示在平行四邊形上逐步疊加顯示長方形，如圖6所示）就算這個平行四邊形的面積我不知道，但是我知道8×5可以被看成在算一個長是8、寬是5的長方形的面積，對吧？如果平行四邊形的面積可以用底邊8乘以斜邊5，那就意味著它們的面積相等。實際上，它們的面積相等嗎？大家仔細(xì)觀察，你們發(fā)現(xiàn)了什么問題嗎？

圖6　

生12：長方形框架變成平行四邊形后，寬變成了斜邊，它的面積就變小了。

師：說得很好。正是這個原因，平行四邊形不能沿用長方形鄰邊直接相乘的方法來計算面積。至于是不是還有其他新的算法，到了中學(xué)我們會進(jìn)一步研究。

片段四：回顧梳理面積算法的研究方法

師：我們今天學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

生：平行四邊形的面積。

師：它是怎樣算的？

生：平行四邊形的面積等于底乘高。

師：說得挺好！有同學(xué)在今天學(xué)習(xí)之前就知道平行四邊形的面積計算公式嗎？

生13：我以前看過書，知道它的計算公式，只是今天我才知道為什么要這么算。

圖7　

師：知其然更知其所以然，了不起！學(xué)習(xí)中，“為什么這樣”比“是什么”往往重要得多?，F(xiàn)在，我們一起梳理回顧平行四邊形的面積計算公式是怎么得到的。今天，我們在已學(xué)的長方形和正方形的面積計算公式基礎(chǔ)上研究平行四邊形的面積，首先做的是什么？

生：我們算了一個小平行四邊形的面積。

師：是的。面對一個新圖形，大家都提出了自己的算法，進(jìn)而驗證算法，找出緣由，并通過正確的計算概括了一個面積算法。隨著我們的研究不斷進(jìn)行，已知面積算法的圖形會越來越多。今后，我們還會學(xué)習(xí)更多的圖形，如果要研究它們的面積，你們會怎么算呢？能談?wù)剢幔?/p>

生14：我知道以后還會學(xué)習(xí)三角形、梯形、圓形的面積，我們也可以在已知圖形中找?guī)褪帧?/p>

練習(xí)略。除了基本的面積計算練習(xí)外，主要設(shè)計了體驗等底等高三角形的變化這一練習(xí)。

三、討論

1.為什么平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是學(xué)生第一次真正處理面積計算問題？

顯然，學(xué)生此前學(xué)習(xí)過長方形面積的計算。但長方形面積的計算公式僅僅是根據(jù)面積和面積單位的定義直接得出的。正如長方形和正方形的周長（甚至所有直線圖形的周長）的計算公式（如果有一個公式的話）都只是根據(jù)周長的定義直接得出的。直到處理圓的周長時，才是真正面臨處理周長的問題。在處理平行四邊形的面積時，學(xué)生第一次需要用到面積單位的定義之外的手段（比如割補(bǔ)）。從這個意義上說，我們認(rèn)為平行四邊形面積的計算是學(xué)生真正處理面積問題的第一課。

2.教學(xué)面積計算問題的第一課，需要注意什么？

說這節(jié)課是真正處理面積計算問題的第一課，就意味著后續(xù)還有更多節(jié)類似的課。作為第一節(jié)課的教學(xué)，要注意什么呢？我們認(rèn)為，要幫助學(xué)生形成一種處理面積計算問題的基本范式：首先，考察問題，注意到自己當(dāng)前掌握的相關(guān)知識、技能和方法；其次，創(chuàng)造條件把這些知識、技能和方法用到當(dāng)前的問題中，嘗試解決當(dāng)前的問題；第三，當(dāng)前被解決了的問題又成為新的知識，并形成新的技能和方法，而這些新的知識、技能和方法又成為解決下一個新問題的武器。如此不斷前進(jìn)。正如波利亞在《怎樣解題》中談到的那樣：任何一個數(shù)學(xué)問題在被面對時，常常令解決者思索——見過嗎？如果沒見過一樣的，見過類似的嗎？幾乎每一個數(shù)學(xué)問題的解決都建立在已有問題解決的基礎(chǔ)之上。在我們談以學(xué)生為主體的今天，與一個具體知識點的掌握相比，學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)顯然被放置在了更高的位置。從這個意義上講，我們要用一節(jié)課帶一類課。

具體到本課中，處理平行四邊形的面積，當(dāng)前只有長方形面積的相關(guān)知識、技能和方法可用。于是，有的學(xué)生通過類比直接將其應(yīng)用到平行四邊形的面積計算中（類比是很可貴的。盡管類比得到的結(jié)果不一定是正確的，但這也絲毫無損類比的可貴），而有的學(xué)生通過剪拼將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。這就完成了上述第一、二步。在此基礎(chǔ)上，我們讓學(xué)生理解：現(xiàn)在我們的“武器庫”中又多了一個平行四邊形的面積計算公式，還多了一個轉(zhuǎn)化的方法。下次碰到新的圖形問題（比如要計算三角形、梯形的面積）時，我們可以想辦法轉(zhuǎn)化成長方形、正方形、平行四邊形的面積進(jìn)行處理，只要能完成這種轉(zhuǎn)化，就可以解決新問題，同時增加新“武器”。

3.這種思路可以遷移到其他內(nèi)容的教學(xué)中嗎？

這種一節(jié)課帶一類課、幫助學(xué)生逐步掌握一些研究問題的基本范式的思路，可以遷移到其他內(nèi)容的教學(xué)中。比如學(xué)習(xí)長方體和正方體序列知識，我們是先了解其各構(gòu)成要素的基本關(guān)系，如對邊如何，鄰邊如何，頂點如何，棱如何等，接下來研究立體圖形表面積的計算，體積的計算。這就形成了在小學(xué)研究立體圖形的基本范式，以后學(xué)習(xí)圓柱、圓錐和球等立體圖形時，學(xué)生可以主動從這些方面著手研究。盡管有些問題不一定能解決，如球的表面積和體積等，但學(xué)生有了認(rèn)識問題的基本范式，就能提出這些問題。這對培養(yǎng)學(xué)生的思維是大有裨益的。

（執(zhí)筆：丁麗、徐旺、李闖）