練紅海，肖伸平，陳 剛，陳海東

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

基于自由矩陣不等式方法的中立型時滯系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)

練紅海，肖伸平，陳 剛，陳海東

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

針對一類不確定中立型時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，采用自由矩陣積分不等式（FMBII）方法進行深入研究。提出了一種簡化的FMBII，利用它估計Lyapunov-Krasovskii泛函的導(dǎo)數(shù)，得到具有更低保守性的時滯相關(guān)穩(wěn)定判據(jù)。最后，通過2個數(shù)值實例，將本文方法與文獻[4], [5], [7], [8]所提方法進行比較。數(shù)值實例結(jié)果表明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

自由矩陣積分不等式；中立型時滯系統(tǒng)；穩(wěn)定性

0 引言

在實際應(yīng)用系統(tǒng)中，許多系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都是利用時滯狀態(tài)和時滯狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)，通過中立型泛函微分方程來描述，例如：無損傳輸線、微波振蕩器、汽水管道的動態(tài)處理以及分布網(wǎng)絡(luò)等[1]。時滯在系統(tǒng)中頻繁出現(xiàn)，常常引起系統(tǒng)不穩(wěn)定并產(chǎn)生振蕩[2-5]。因此，國內(nèi)外學(xué)者針對不同類型中立型時滯系統(tǒng)（neutral delay systems，NDS）的穩(wěn)定性問題進行了討論和研究，并取得了大量的研究成果[2-8]。

中立型時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要有2類方法：直接的Lyapunov方法和輸入-輸出方法，而直接的Lyapunov方法在分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，更加簡單有效。針對時變NDS，文獻[2]和文獻[3]利用增廣Lyapunov-Krasovskii泛函方法，獲得了相應(yīng)的穩(wěn)定條件。文獻[5]利用自由權(quán)矩陣方法研究了NDS魯棒穩(wěn)定和鎮(zhèn)定，文獻[6]也提出了該方法。文獻[8]利用時滯分割方法，使其泛函包含更多的信息，得到了具有較低保守性的NDS穩(wěn)定準則，此方法由于將時滯分成了若干個區(qū)間，泛函也分成了若干段，增加了推導(dǎo)的復(fù)雜性和計算的運行時間。要獲得保守性小的穩(wěn)定條件主要從2方面入手：一是選擇合適的泛函；二是對其泛函導(dǎo)數(shù)進行嚴格約束。因此，許多學(xué)者提出了不同的積分不等式約束泛函導(dǎo)數(shù)的積分項，如Jense、Wirtinger積分不等式等。Zeng Hongbing等在文獻[9]和[10]提出了2類不同的自由矩陣積分不等式（free-matrix-based integral inequality，F(xiàn)MBII）。

本文在文獻[10]提出的FMBII基礎(chǔ)上，對其做了簡化，提出了一種簡化的FMBII。利用FMBII約束Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項，獲得NDS的魯棒時滯相關(guān)穩(wěn)定判據(jù)。最后，2個數(shù)值實例表明了本文提出的方法具有更低的保守性，相比已有結(jié)果更有優(yōu)越性。

本文采用如下標號。

Rn和Rn×m分別代表實數(shù)域的n維向量空間和n×m的矩陣空間；

X-1和XT分別代表矩陣的逆和轉(zhuǎn)置；

0和I分別表示合適維數(shù)的零矩陣和單位矩陣；

Sym{Y}=Y+YT表示矩陣Y與其轉(zhuǎn)置之和；

“*”表示矩陣中的對稱項。

1 系統(tǒng)描述

2 主要結(jié)果

3 數(shù)值算例

例1 考慮標稱NDS式（4）具有如下矩陣參數(shù)：

對不同的c，由定理1、文獻[4]和[5]中的穩(wěn)定判據(jù)，得到最大時滯上界h如表1所示。從表1可知，定理1所得最大時滯上界與文獻[4]，[5]相比，具有一定的優(yōu)越性。

表1 不同c下的最大時滯上界hTable 1 Maximum upper bounds of h with c the variable

注3 文獻[5]提出的自由權(quán)矩陣方法，在推導(dǎo)時滯相關(guān)條件方面被視為一種有效方法。這個數(shù)值實例表明本文提出的方法優(yōu)于文獻[5]。

例2 考慮具有結(jié)構(gòu)不確定性的NDS式（1）具有如下矩陣參數(shù)：

對不同的 ，由定理1、文獻[7]和[8]中的穩(wěn)定判據(jù)得最大時滯上界h如表2所示。從表2可知，本文提出的方法比文獻[8]使用的時滯分段方法（分段數(shù)甚至達到q=5）和文獻[7]使用的廣義系統(tǒng)方法，具有更低的保守性。

表2 不同 下的最大時滯上界hTable 2 Maximum upper bounds of h with the variable

注4 時滯分段方法被廣泛用于推導(dǎo)具有保守性小的時滯相關(guān)條件，時滯分段的數(shù)量越多，得到條件的保守性越小。但時滯分段的數(shù)量直接影響所得線性矩陣不等式的維度，分割數(shù)量越大，矩陣維數(shù)也越大，計算負擔也急劇增加。

4 結(jié)論

本文提出了一種簡化的FMBII，并利用提出的FMBII進一步研究NDS的穩(wěn)定性問題。先構(gòu)造一個合適的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，并利用簡化的FMBII估計其導(dǎo)數(shù)的積分項，得到2個新的NDS時滯相關(guān)穩(wěn)定條件。最后，通過數(shù)值算例展示了本方法的可行性和優(yōu)越性。簡化的FMBII能應(yīng)用到其他時滯系統(tǒng)，例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)、模糊控制系統(tǒng)以及電力系統(tǒng)等。

[1]SAKTHIVEL R，MATHIYALAGAN K，MARSHAL ANTHONI S. Robust Stability and Control for Uncertain Neutral Time Delay Systems[J]. International Journal of Control，2012，85(4)：373-383.

[2]肖伸平，曾紅兵. 中立型時變時滯系統(tǒng)時滯相關(guān)穩(wěn)定性[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，23(4)：58-61. XIAO Shenping，ZENG Hongbing. On Delay-Dependent Stability of Neutral Systems with Time-Varying Delay[J]. Journal of Hunan University of Technology，2009，23(4)：58-61.

[3]白 雷，肖伸平，曾紅兵，等. 中立型變時滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，26(1)：50-54.

BAI Lei，XIAO Shenping，ZENG Hongbing，et al. Analysis on Robust Stability of Neutral Systems with Time-Varying Delay[J]. Journal of Hunan University of Technology，2012，26(1)：50-54.

[4]HAN Qinglong. Robust Stability of Uncertain Delay-Differ-Ential Systems of Neutral Type[J]. Automatica，2002，38 (4)：719-723.

[5]WU Min，HE Yong，SHE Jinhua. New Delay-Dependent Stability Criteria and Stabilizing Method for Neutral Systems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2005，49 (12)：2266-2271.

[6]HE Yong，WU Min，SHE Jinhua，et al. Delay-Dependent Robust Stability Criteria for Uncertain Neutral Systems with Mixed Delays[J]. Systems & Control Letters，2004，51 (1)：57-65.

[7]YUE Dong，HAN Qinglong. A Delays-Dependent Stability Criterion of Neutral Systems and Its Application to a Partial Element Equivalent Circuit Model[C]// IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs. [S. l.]：IEEE， 2004，6(12)：5438-5442.

[8]ZHANG Xianming，HAN Qinglong. A New Stability Criterion for a Partial Element Equivalent Circuit Model of Neutral Type[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs，2009，56(10)：798-802.

[9]ZENG Hongbing，HE Yong，WU Min，et al. Free-Matrix-Based Integral Inequality for Stability Analysis of Systems with Time-Varying Delay[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2015，60(10)：2768-2772.

[10]ZENG Hongbing，HE Yong，WU Min，et al. New Results on Stability Analysis for Systems with Discrete Distributed Delay[J]. Automatica，2015，60(C)：189-192.

[11]SEURET A，GOUAISBAUT F. Wirtinger-Based Integral Inequality：Application to Time-Delay Systems[J]. Automatica，2013，49(9)：2860-2866.

（責任編輯：鄧 彬）

Stability Criteria for Neutral Delay Systems Based on Free Matrix Inequalities

LIAN Honghai，XIAO Shenping，CHEN Gang，CHEN Haidong
（School of Electrical and Information Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

In view of the robust stability exhibited by an uncertain neutral system with time delays, an intensive research has thus been conducted by adopting the free-matrix-based integral inequality (FMBII) method. A simplified FMBII is proposed for the estimation of the derivative of Lyapunov- Krasovskii functional, thus obtaining the delaydependent stability criteria with less degree of conservation. Finally, a comparison has been made between the current proposed method and the existing methods (see [4], [5], [7]and[8]), with the numerical example results verifying the validity and superiority of the currenth proposed approach.

free-matrix-based integral inequality；neutral delay systems；stability

TP13

A

1673-9833(2016)05-0037-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2016.05.008

2016-07-25

國家自然科學(xué)基金資助項目（61304064），國家火炬計劃基金資助項目（2015GH712901），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2015JJ3064），湖南省教育廳科學(xué)研究優(yōu)秀青年基金資助項目（15B067），廣東省特種光纖材料與器件工程技術(shù)研究開發(fā)中心開放基金資助項目

練紅海（1990-），男，湖南永州人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向為魯棒控制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，時滯系統(tǒng)，E-mail：1132830550@qq.com

肖伸平（1965-），男，湖南永州人，湖南工業(yè)大學(xué)教授，主要從事魯棒控制，過程控制，時滯系統(tǒng)等方面的教學(xué)與研究，E-mail：xsph_519@163.com