葛姝翌,曹毅,丁澤華,劉凱,丁銳

(1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,214122,江蘇無(wú)錫;2.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,200240,上海;3.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,200240,上海;4.江南大學(xué)江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,214122,江蘇無(wú)錫)

?

利用分形理論的3T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

葛姝翌1,4,曹毅1,2,3,4,丁澤華1,4,劉凱1,4,丁銳1,4

(1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,214122,江蘇無(wú)錫;2.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,200240,上海;3.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,200240,上海;4.江南大學(xué)江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,214122,江蘇無(wú)錫)

為綜合得到三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)混聯(lián)機(jī)構(gòu),利用分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,提出了一種全新有效的混聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合方法,主要思想是將混聯(lián)構(gòu)型轉(zhuǎn)化為連桿機(jī)構(gòu),機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D作為連桿機(jī)構(gòu)的主體,運(yùn)動(dòng)副作為桿件的組成元素。根據(jù)分形理論,對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行有序分形,并通過(guò)輸出位移子集的排列組合和適配運(yùn)動(dòng)副,實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的多樣化。提出了可用于求解復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的多路徑輸出的路徑法則,并且規(guī)定了用于推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)副位移子集的串并聯(lián)計(jì)算方法。根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形方式,將混聯(lián)機(jī)構(gòu)按有、無(wú)橫向支鏈分為2種類型。建立了分形與混聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)系模型,在數(shù)理邏輯關(guān)系上使機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分形理論得到了統(tǒng)一。采用Matlab編程的形式綜合出了3T1R四自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了其中一個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì),并驗(yàn)證了構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性。

混聯(lián)機(jī)構(gòu);構(gòu)型綜合;分形理論;三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng)

混聯(lián)機(jī)器人由于其兼具串聯(lián)機(jī)器人工作空間大、易于控制和并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛性好、累積誤差小、動(dòng)態(tài)性能好、精度高的優(yōu)點(diǎn),并能避免單純串、并聯(lián)機(jī)器人所帶來(lái)的問(wèn)題,從而得到了國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注,成為機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一個(gè)重要方向。目前主要有4種機(jī)構(gòu)型綜合研究方法,即:基于螺旋理論的約束綜合法[1-3];基于李代數(shù)的型綜合方法[4-5];基于自由度的列舉綜合方法[6];運(yùn)動(dòng)綜合方法[7]。許多學(xué)者在混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型理論方面做了大量有意義的工作[8-15],得到了許多新型混聯(lián)機(jī)構(gòu)。不難發(fā)現(xiàn),以上混聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合主要關(guān)注于支鏈的設(shè)計(jì)方法,但支鏈的布局較為單一,比較適用于縱向多支鏈開(kāi)環(huán)機(jī)構(gòu)。

然而,上述理論一般不適用于具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)和型綜合。機(jī)構(gòu)拓?fù)鋭?chuàng)新是機(jī)械發(fā)明最具挑戰(zhàn)性和發(fā)明性的核心內(nèi)容,因此對(duì)于混聯(lián)機(jī)構(gòu),尤其是具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)和綜合方法的研究,不僅具有重要的理論意義,還具有廣泛的應(yīng)用前景。

本文基于分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,提出了一種系統(tǒng)、簡(jiǎn)潔的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合理論和設(shè)計(jì)方法,通過(guò)建立混聯(lián)機(jī)構(gòu)與分形的關(guān)系模型并歸納出混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的具體步驟,綜合出了具有三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)運(yùn)動(dòng)特征的混聯(lián)機(jī)構(gòu),最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了其可行性。

1 分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

1.1 分形理論的基本概念

美國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot首次提出了分形幾何理論[16]。分形有2個(gè)定義:①如果一個(gè)集合在歐式空間中的豪斯多夫分形維數(shù)D嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)DT,則該集合為分形集,簡(jiǎn)稱為分形;②組成部分以某種方式與整體相似的形體稱為分形。

分形理論定義中的2個(gè)變量D和DT的含義是:它們都對(duì)歐氏空間中的每一個(gè)集合R賦予一個(gè)實(shí)數(shù),且將此實(shí)數(shù)定義為該集合的維數(shù),其中DT是較為直觀的拓?fù)渚S數(shù)。2個(gè)維數(shù)無(wú)需相等,其中DT必須是整數(shù),它們需要滿足Szpilrajn不等式

D≥DT

(1)

將分形理論應(yīng)用于機(jī)械領(lǐng)域,可發(fā)揮其簡(jiǎn)單客觀分析事物的優(yōu)勢(shì),不僅能夠直觀地表示機(jī)構(gòu)性能,同時(shí)也可以簡(jiǎn)化工程問(wèn)題,減少工作量。

1.2 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和支鏈構(gòu)成。靜平臺(tái)即為機(jī)架,動(dòng)平臺(tái)為機(jī)構(gòu)末端輸出平臺(tái),支鏈由運(yùn)動(dòng)副組建而成。

機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D是混聯(lián)機(jī)構(gòu)的主體構(gòu)造,其中心思想是:①將混聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為連桿機(jī)構(gòu);②確定機(jī)構(gòu)的拓?fù)洳季?③進(jìn)行路徑與支鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),從而實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體構(gòu)型設(shè)計(jì)。

為快速有效地生成不同的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,將分形理論引入到機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中,衍生出鏈分形、平臺(tái)分形、鏈臺(tái)分形3種分形方式[17],如圖1所示。

Ⅰ:鏈分形;Ⅱ:平臺(tái)分形;Ⅲ:鏈臺(tái)分形圖1 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D分形途徑

1.3 分形方式的具體分析

1.3.1 鏈分形的定義 如果通過(guò)1個(gè)或多個(gè)運(yùn)動(dòng)副連接2個(gè)平臺(tái),則稱該運(yùn)動(dòng)副的組合為支鏈。鏈分形是對(duì)支鏈進(jìn)行的分形(如圖1中Ⅰ所示),可以細(xì)分為縱向鏈分形和橫向鏈分形。

1.3.2 平臺(tái)分形的定義 平臺(tái)分形(如圖1中Ⅱ所示)是在已有支鏈的基礎(chǔ)上添加過(guò)渡平臺(tái)。需注意,拓?fù)錂C(jī)構(gòu)必須在已有支鏈的位置進(jìn)行平臺(tái)分形。

1.3.3 鏈臺(tái)分形的定義 鏈臺(tái)分形(如圖1中Ⅲ所示)是指在任意平臺(tái)上同時(shí)分形出1個(gè)支鏈和1個(gè)輸出動(dòng)平臺(tái)的分形方式,新生成的輸出動(dòng)平臺(tái)不與機(jī)構(gòu)的輸出動(dòng)平臺(tái)有任何聯(lián)動(dòng)關(guān)系,即該拓?fù)錂C(jī)構(gòu)具有多輸出動(dòng)平臺(tái)。

必須指出,鏈分形和平臺(tái)分形輸出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是閉環(huán)輸出結(jié)構(gòu),即輸出平臺(tái)有且僅有1個(gè),而鏈臺(tái)分形輸出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是開(kāi)環(huán)輸出結(jié)構(gòu),即輸出動(dòng)平臺(tái)數(shù)量大于1,適合多點(diǎn)協(xié)同工作環(huán)境。本文主要考慮前者,因此,鏈臺(tái)分形未在文中進(jìn)行詳細(xì)描述。

2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征和運(yùn)算法則的描述

從機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D轉(zhuǎn)化為混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的過(guò)程是:第一步,由機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D分析得到拓?fù)渎窂?第二步,由拓?fù)渎窂椒纸獾玫綑C(jī)構(gòu)支鏈;最后,通過(guò)已知支鏈末端輸出特征適配運(yùn)動(dòng)副。

2.1 路徑及路徑法則

2.1.1 路徑的概念 由上述3個(gè)步驟可知,路徑是混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的核心元件,故而路徑的設(shè)計(jì)及運(yùn)算法則具有重要意義。

按照一定的排列方式,路徑由連接各個(gè)平臺(tái)的支鏈組合而成,其中路徑始于靜平臺(tái),終于動(dòng)平臺(tái)。每條路徑所含支鏈間的關(guān)系定義為串聯(lián)關(guān)系,各路徑之間定義為并聯(lián)關(guān)系。通過(guò)此番定義,即可將動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集轉(zhuǎn)化為各個(gè)支鏈來(lái)進(jìn)行交集和并集的計(jì)算

(2)

式中:Bij為第j條路徑中第i個(gè)支鏈末端的輸出位移子集;Rj為路徑的輸出位移子集;P為機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集;I為第j條路徑的支鏈總數(shù);J為路徑總數(shù);#為串聯(lián)運(yùn)算符,&為并聯(lián)運(yùn)算符,其具體運(yùn)算將在第2.2.2小節(jié)中進(jìn)一步描述。需要補(bǔ)充的是,當(dāng)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在公用平臺(tái)或橫向支鏈時(shí),同一支鏈可以作為不同路徑的組成元素。

2.1.2 路徑法則 在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端輸出位移子集已知的情況下,基于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D得到全部符合要求的路徑及其支鏈配置的過(guò)程稱為路徑法則。由于情況復(fù)雜,故細(xì)分為以下2種情況進(jìn)行說(shuō)明。

(1)一般機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D。如果機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在公用平臺(tái),則支鏈可以被重復(fù)利用從而組建不同的路徑,如圖2所示。

圖2 一般機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

通用路徑總數(shù)的計(jì)算公式為

(3)

式中:n為公共平臺(tái)數(shù)量;ai1為在第i公共平臺(tái)中位于下位的支鏈的數(shù)量;ai2為在第i公共平臺(tái)中位于上位的支鏈的數(shù)量。

(2)存在橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D。對(duì)于圖3所示的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,不難發(fā)現(xiàn)各路徑中存在公用支鏈的狀況,其復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于第一種情況。

圖3 存在橫向支鏈的拓?fù)鋱D

由圖3可知,從靜平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)共有4條路徑,分別是B1B2、B1B5B3、B3B4、B4B5B2,則路徑的數(shù)量為

J=(a11a12)+(a11a22)+(a12a21)+(a12a22)

(4)

圖3是存在橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中最簡(jiǎn)單的一種形式,即只存在一個(gè)橫向鏈分形,且機(jī)構(gòu)滿足設(shè)計(jì)要求。若進(jìn)行多次橫向鏈分形,且每2個(gè)過(guò)渡平臺(tái)都能相互連接,將是橫向鏈分形最復(fù)雜的情況,同時(shí)也是運(yùn)用路徑法則判斷的最復(fù)雜的情況。逐一分析每個(gè)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,形成表1,并可從表1中歸納出路徑數(shù)量。

由于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D路徑情況復(fù)雜,因此添加2個(gè)變量用于推導(dǎo)路徑。

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的路徑數(shù)量an,是指由某一過(guò)渡平臺(tái)出發(fā)到達(dá)另一過(guò)渡平臺(tái)所經(jīng)過(guò)的路徑的數(shù)量。由表1可以得出an的關(guān)系式

(5)

(2)累計(jì)增加路徑數(shù)量cn,是指與將機(jī)構(gòu)拓?fù)渲械臋M向支鏈去除后的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑數(shù)量相對(duì)比所增加的路徑數(shù)量?？梢酝茖?dǎo)出

cn=n(n+1)an

(6)

通過(guò)分析可知,復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑求解過(guò)程可以分為2部分:①求解去除橫向支鏈?zhǔn)Ｏ碌囊话銠C(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑數(shù)量;②求解與一般拓?fù)鋱D相對(duì)比所增加的路徑數(shù)量,即累計(jì)增加路徑數(shù)量cn。兩者相加即可得到帶橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑數(shù)量。

表1 橫向支鏈路徑法則歸納

2.2 支鏈及串并聯(lián)計(jì)算法則

2.2.1 支鏈與分形的關(guān)聯(lián) 平臺(tái)分形和支鏈間存在密不可分的關(guān)系,主要體現(xiàn)在:機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的重要組成部分之一就是支鏈;鏈分形也是分形過(guò)程中的基礎(chǔ)分形方式之一。具體關(guān)系如圖4所示。

圖4 平臺(tái)分形與支鏈的關(guān)系

圖4中的鏈分形情況較復(fù)雜,由橫向鏈分形和縱向鏈分形構(gòu)成。支鏈及路徑與鏈分形的關(guān)系如圖5所示。

圖5 鏈分形與支鏈的關(guān)系

2.2.2 串并聯(lián)計(jì)算法則 從構(gòu)型的角度,機(jī)構(gòu)由路徑并聯(lián)而成,路徑由支鏈串聯(lián)而成;從數(shù)理邏輯的角度,各路徑輸出位移子集求交集生成機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集,各支鏈的輸出位移子集求并集生成對(duì)應(yīng)支鏈的輸出位移子集。為定義串并聯(lián)計(jì)算法則,引入2個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)——串聯(lián)運(yùn)算符號(hào)#和并聯(lián)運(yùn)算符號(hào)&,并給出運(yùn)算規(guī)則式(7)。由于運(yùn)動(dòng)副方位關(guān)系中存在非正則關(guān)系,故在計(jì)算中不引入方位關(guān)系。

(7)

式中:A、B為輸出位移子集;∪為求并運(yùn)算符;∩為求交運(yùn)算符。

2.3 運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)

運(yùn)動(dòng)副是組成支鏈的基本元素,因此運(yùn)動(dòng)副的描述對(duì)于混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。本文提出8位二進(jìn)制碼的表達(dá)方式,不僅可使運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)方式簡(jiǎn)單明了,并且能清楚地描述運(yùn)動(dòng)副的種類及其與基坐標(biāo)軸的位置關(guān)系、相鄰運(yùn)動(dòng)副軸線的方位關(guān)系以及平臺(tái)和支鏈間的連接關(guān)系。同時(shí),由于采用二進(jìn)制代碼的表達(dá)方式,所以后續(xù)可以進(jìn)行數(shù)字化設(shè)計(jì)。

2.3.1 運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)形式 依據(jù)運(yùn)動(dòng)副的類別和位置關(guān)系,單一運(yùn)動(dòng)副選用8位有效二進(jìn)制代碼中的5位進(jìn)行表達(dá),具體如表2所示。

表2 單一運(yùn)動(dòng)副的二進(jìn)制表示方法

單一運(yùn)動(dòng)副劃分為6種情況,如圖6所示。

圖6 運(yùn)動(dòng)副的描述

表2可劃分為前、后2部分,表征不同的含義。

(1)P0.4和P0.3為運(yùn)動(dòng)副類別位,若P0.3=1,表示運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副,若P0.4=1,則表示運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副,但二者不能同時(shí)為1。

(2)P0.2、P0.1和P0.0分別為運(yùn)動(dòng)副軸線的方向位,方向位的矢量方向與基坐標(biāo)軸方向一致。例如,若P0.0=1,則表示運(yùn)動(dòng)副的軸線與基坐標(biāo)的z軸平行。P0.1、P0.2可依此類推,且方向位最多只能有1位為1。

2.3.2 相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的方位關(guān)系 單一運(yùn)動(dòng)副中的方向位只能表示相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的部分方位關(guān)系。為全面表征各運(yùn)動(dòng)副之間的方位關(guān)系,本文補(bǔ)充3位二進(jìn)制碼以進(jìn)一步描述相鄰運(yùn)動(dòng)副間的方位關(guān)系,見(jiàn)表3。

表3 運(yùn)動(dòng)副方位關(guān)系的表達(dá)方法

因此,代表單一運(yùn)動(dòng)副的5位二進(jìn)制代碼和代表相鄰運(yùn)動(dòng)副方位關(guān)系的3位二進(jìn)制代碼,合成了運(yùn)動(dòng)副8位二進(jìn)制代碼的表達(dá)方式。需要指出的是,大多數(shù)方位關(guān)系均具有傳遞性,例如平行、同軸等。具有傳遞性的方位關(guān)系為正則方位關(guān)系,其余為非正則方位關(guān)系[18]。

3 3T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合

3.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合依據(jù)

基于機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)適配運(yùn)動(dòng)副并判定適配運(yùn)動(dòng)副的布局是否符合設(shè)計(jì)要求的過(guò)程,稱為混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)。根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形類別,混聯(lián)機(jī)構(gòu)可劃分成2類:第一類混聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在橫向支鏈,如圖7所示;第二類混聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D無(wú)橫向支鏈,如圖8所示。

圖7 第一類混聯(lián)機(jī)構(gòu) 圖8 第二類混聯(lián)機(jī)構(gòu)

從集合的角度來(lái)分析,混聯(lián)機(jī)構(gòu)是通過(guò)路徑按照一定的準(zhǔn)則并聯(lián)而成的,路徑的組成元素是支鏈;支鏈?zhǔn)怯蛇\(yùn)動(dòng)副通過(guò)自由度分配合成的,其組成關(guān)系依據(jù)式(2),運(yùn)算法則依據(jù)式(7)。

式(2)表明:混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合是對(duì)于選定的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)依據(jù)串并聯(lián)計(jì)算法則,首先確定路徑,其次確定支鏈,最后選取運(yùn)動(dòng)副,并判定其正確性的過(guò)程。

由上述分析可知,混聯(lián)機(jī)構(gòu)以機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D為基礎(chǔ),而機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的構(gòu)造以分形理論為核心。當(dāng)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D確定之后,路徑、支鏈亦隨之確定,再根據(jù)機(jī)構(gòu)輸出位移子集確定運(yùn)動(dòng)副的自由度分配。根據(jù)上述關(guān)聯(lián)內(nèi)容,建立如下分形與混聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)系模型

(8)

式中:Fdof為機(jī)構(gòu)自由度數(shù);Bi為第i個(gè)支鏈上的驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副數(shù)(i=1,2,…,aa);N為分形次數(shù);ap為被動(dòng)支鏈數(shù);aa為主動(dòng)支鏈數(shù);L為鏈分形次數(shù);P為平臺(tái)分形次數(shù);Pmin為最短支鏈的平臺(tái)分形次數(shù)。

基于分形理論的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型方法的特點(diǎn)是:

(1)以最短路徑為中心對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行展開(kāi),其他路徑是最短路徑輸出位移子集的父集,因此不存在瞬時(shí)性;

(2)由于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D是混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的基礎(chǔ),而拓?fù)鋱D可以通過(guò)分形理論實(shí)現(xiàn)其多樣性,因此該構(gòu)型設(shè)計(jì)方法可以實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的多樣化;

(3)可實(shí)現(xiàn)支鏈的替代化設(shè)計(jì),通過(guò)單元代換原理,將滿足條件的機(jī)構(gòu)代入到支鏈中,完成支鏈所要求的期望動(dòng)作,但需注意所代入的機(jī)構(gòu)中包含的支鏈數(shù)小于所設(shè)計(jì)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈數(shù)。

3.2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合步驟

根據(jù)上述設(shè)計(jì)方法,得到如下混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合步驟:

(1)根據(jù)給定的機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集,確定最簡(jiǎn)拓?fù)鋱D的鏈分形、平臺(tái)分形的次數(shù),并繪制機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D;

(2)運(yùn)用路徑法則分析該機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的輸出位移子集計(jì)算公式和路徑數(shù)量,并確定最短路徑所在的位置;

(3)根據(jù)步驟(2)中的計(jì)算公式,并參考各支鏈的串并聯(lián)關(guān)系,采用Matlab編程或者列舉的方式獲得滿足條件的路徑自由度和支鏈的輸出位移子集,完成適配運(yùn)動(dòng)副的過(guò)程;

(4)通過(guò)式(7)計(jì)算上述支鏈、路徑的輸出位移子集,得出機(jī)構(gòu)末端的輸出位移子集,并與預(yù)計(jì)輸出位移子集進(jìn)行對(duì)比,如果一致,則證明該設(shè)計(jì)方法可行;

(5)獲得混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型,繪制三維圖像。

為了更加清晰直觀地表現(xiàn)具體的構(gòu)型綜合設(shè)計(jì)步驟,繪制了流程圖,見(jiàn)圖9。

圖9 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合流程圖

3.3 3T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合

由于分形可以得到大量機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,因此本文的構(gòu)型綜合針對(duì)的是以已選定的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)圖為基礎(chǔ)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合,如圖10所示。

圖10 選定機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

基于3.1和3.2節(jié)中的綜合方法和步驟,對(duì)3T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合。通過(guò)路徑法則式(2)的分析,可知路徑共有4條

{B1B2,B1B3,B3B4,B2B4}

(9)

取B1B2為最短路徑,定義B1支鏈的輸出位移子集為T(U)T(V)T(W),B2支鏈的輸出位移子集為R(U)。對(duì)其他路徑的自由度進(jìn)行分析,可知除最短路徑以外的路徑的特征集合為具有3T1R特征或者3T1R父集特征的集合

{3T1R,3T2R,3T3R}

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行排列組合,并挑選符合構(gòu)型條件的組合,可得到除最短路徑之外所有路徑的組成形式。由于路徑可以共用同一支鏈且支鏈B1B2的各自輸出已知,因此只需研究支鏈B3B4的輸出即可。

一般選取最短路徑上的支鏈作為安裝驅(qū)動(dòng)的位置,即B1B2為主動(dòng)支鏈,剩余支鏈為被動(dòng)支鏈。為簡(jiǎn)化表達(dá),令路徑B1B2為E、B1B3為F、B3B4為G、B2B4為H,要求各支鏈滿足

(11)

依據(jù)式(11)求解支鏈B3、B4的輸出位移子集工作量較大,故采取Matlab編程的方法獲得較全面的結(jié)果。設(shè)計(jì)的程序如下:

1.clc;

2.clear all;

3.B1=[TxTyTz];

4.B2=[Rx];

5.A2=setdiff(E,B1);

6.A4=setdiff(F,B2);

7.a=length(Bi);

8.fori=0:a

9.S=nchoosek(B1,i);

10. [m1,n1]=size(S);

11. forj=1:m1

12.A1=S(j,:);

13.B3=union(A1,A2)

14.b=length(B2);

15. fork=0:b

16.S1=nchoosek(B2,k);

17. [m2,n2]=size(S1);

18. forl=1:m2

19.A5=S1(l,:);

20.B4=union(A5,A4)

21. end

22. end

23. end

24. end

從運(yùn)算結(jié)果中隨機(jī)選取一組數(shù)據(jù),即可得到所有支鏈的輸出位移子集,再按照?qǐng)D11的機(jī)構(gòu)拓?fù)浜?jiǎn)圖構(gòu)造出輸出為3T1R的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型。

值得注意的是,雖然上述構(gòu)型綜合方法針對(duì)的是圖10中的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,但是本文提出的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法同樣適用于其他自由度的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合。

4 機(jī)構(gòu)構(gòu)型驗(yàn)證及分析

4.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)輸出分析方法

為驗(yàn)證上述綜合出的3T1R四自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正確性,在此提出一種混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)輸出分析方法,其基本步驟是:

(1)分析混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型,將其抽象為機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和支鏈的疊加體;

(2)將支鏈拆分為運(yùn)動(dòng)副,并基于2.3節(jié)中的內(nèi)容,將運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制代碼的表現(xiàn)形式;

(3)運(yùn)用式(7)對(duì)支鏈中的運(yùn)動(dòng)副以串聯(lián)運(yùn)算方式推導(dǎo)出各支鏈的輸出位移子集;

(4)運(yùn)用路徑法則分析步驟(2)中所得的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,得到各路徑分支,并在此基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)理邏輯關(guān)系得到各路徑的輸出位移子集;

(5)通過(guò)路徑的并聯(lián)運(yùn)算方式得到混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集,即整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端運(yùn)動(dòng)特征。

4.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

從式(11)所得的結(jié)果中選取一組數(shù)據(jù)做進(jìn)一步設(shè)計(jì),從而得到該混聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的輸出位移子集,如表4所示。

表4 支鏈的輸出位移子集

根據(jù)選擇的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和適配的運(yùn)動(dòng)副繪制混聯(lián)機(jī)構(gòu),如圖11所示。

圖11 輸出3T1R的混聯(lián)機(jī)構(gòu)

為確保圖11所示混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出結(jié)果的正確性,需進(jìn)行驗(yàn)證,即核算各支鏈的輸出位移子集,并求取機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集與預(yù)期結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算過(guò)程如下

B1=B4=T(U)T(Y)T(W)=

(12)

(13)

由式(7)和式(12)、式(13),可推導(dǎo)出各路徑的輸出位移子集

B1#B2=B1#B3=B4#B2=B4#B3=

R(V)T(U)T(W)#R(U)=

(14)

由式(14)可得機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集

P=(B1#B2)&(B1#B3)&(B2#B4)&

R(U)T(U)T(V)T(W)

綜上所述,動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集與B1B2路徑的輸出位移子集相同,并與已知輸出相同,表明設(shè)計(jì)所得機(jī)構(gòu)的輸出結(jié)果正確,從而驗(yàn)證了上述混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性。

5 結(jié) 論

為綜合得到3T1R混聯(lián)機(jī)構(gòu),基于分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D,提出了一種混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法,主要思想是:將混聯(lián)構(gòu)型轉(zhuǎn)化為連桿機(jī)構(gòu),將機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D作為連桿機(jī)構(gòu)的主體,并將運(yùn)動(dòng)副作為桿件的組成元素。

(1)根據(jù)分形理論對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行有序分形,并通過(guò)輸出位移子集的排列組合和適配運(yùn)動(dòng)副,從而實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型的多樣化。

(2)提出了可用于求解復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的多路徑輸出的路徑法則,并給出了用于推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)副位移子集的串并聯(lián)計(jì)算方法。

(3)根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形方式,將混聯(lián)機(jī)構(gòu)分為2類。建立分形與混聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)系模型,在數(shù)理邏輯關(guān)系上使機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分形理論得到了統(tǒng)一。

(4)采用Matlab編程的形式綜合出了3T1R四自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了其中一種混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì),并驗(yàn)證了構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性。

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(編輯 葛趙青)

Type Synthesis of 3T1R Hybrid Mechanisms Based on Fractal Theory

GE Shuyi1,4,CAO Yi1,2,3,4,DING Zehua1,4,LIU Kai1,4,DING Rui1,4

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China; 2. Key Laboratory of System Control and Information Processing, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 3. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 4. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China)

To obtain the type synthesis of three-translational and one-rotational (3T1R) hybrid mechanisms, an efficient synthesis methodology is proposed based on fractal theory and topological graph. The major concept of this method is to transform the hybrid mechanism into linkage mechanism, whose main frame is determined by topological graph and whose links are composed of the assignment of kinematic pairs. Fractal theory is applied to the topological graph, and the permutation and combination of output displacement set and selecting suitable kinematic pairs are conducted to achieve the configuration diversity of hybrid mechanisms. The route rule for dealing with the topological graph is proposed, and the calculation rule of union-intersection-preserving for deriving the kinematic pair’s output is presented. According to fractal theory and topological graph, the hybrid mechanism is classified into two types. Thereafter, a relationship model of hybrid mechanism and fractal theory is established, so the mechanical design and fractal theory are unified in mathematics and logic. Matlab is utilized in type synthesis of 3T1R hybrid mechanism, and one of the configurations is achieved, demonstrating the validity of the proposed methodology.

hybrid mechanism; type synthesis; fractal theory; 3T1R

2016-03-25。 作者簡(jiǎn)介:葛姝翌(1992—),女,碩士生;曹毅(通信作者),男,副教授。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075,51505190);江蘇省“六大人才高峰”行動(dòng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(ZBZZ-012);系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(scip201506);機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)。

時(shí)間:2016-09-23

10.7652/xjtuxb201611012

TH112

A

0253-987X(2016)11-0075-08

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