包振忠,秦國良,耿艷輝,和文強

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

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譜元法應用于渦聲傳播問題的研究

包振忠,秦國良,耿艷輝,和文強

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

為了滿足計算氣動聲學對低色散、低耗散高精度數(shù)值離散格式的需求,將高精度譜元法結合聲比擬理論應用于求解氣動聲學問題。以偽聲壓的時間二階導數(shù)作為非齊次波動方程的聲源項,空間離散采用譜元法,時間離散應用隱式Newmark法,并在外邊界采用C-E-M吸收邊界條件,求解了由兩個相距為2r0的等環(huán)量點渦組成的同向旋轉渦對的發(fā)聲問題。旋轉渦對的不可壓縮流場通過復位勢理論獲得,聲源由流場量計算得來,并將數(shù)值結果與應用多級匹配展開法得到的解析解進行比較,可得數(shù)值解與分析解吻合較好。研究結果表明:應用高精度譜元法進行空間離散時,每波長的網(wǎng)格數(shù)為11時可達到很高的精度;網(wǎng)格數(shù)一定的情況下,時間步長越小得到的數(shù)值解與分析解之間的誤差就越小;另外,證明了將偽聲壓對時間的二階導數(shù)作為聲源項,能夠高精度求解不可壓縮流動引起的氣動聲學問題。

計算氣動聲學;譜元法;聲比擬理論;吸收邊界條件;有限元;同向旋轉渦對

隨著各種交通工具速度的快速提升,輻射的氣動噪聲也急劇增大。氣動噪聲不僅引起環(huán)境污染甚至還會造成結構的疲勞和破壞,會對人的生理和心理構成嚴重影響。隨著計算流體力學(CFD)的飛速發(fā)展,數(shù)值模擬被廣泛應用于工程實踐,但傳統(tǒng)的CFD方法無法滿足氣動聲學問題的研究,計算氣動聲學(CAA)對計算格式提出了比較苛刻的要求[1-2]。由于聲波在傳播過程中衰減很慢且聲學量相對于流動量在量級上要小得多,這就要求數(shù)值方法本身必須是高精度數(shù)值方法,其數(shù)值噪聲要盡量小,避免聲波脈動量被數(shù)值誤差所掩蓋,即該高精度方法具有極低的數(shù)值色散和耗散以確保能夠高精度模擬聲波的長距離傳播。另外,傳統(tǒng)的CFD所求解的區(qū)域較小,數(shù)值模擬總在有限的區(qū)域內(nèi)進行,聲波在傳播過程中具有低耗散特性相較于流場的數(shù)值模擬,聲場的數(shù)值模擬需要更多的計算花費。為減少計算量,聲波在計算域開放邊界必須能無反射出入,采用適當?shù)奈者吔鐥l件[3]才能達到這一效果。

湍流產(chǎn)生的噪聲大都起源于流動中的渦結構,因此在計算氣動聲學中常使用渦源作為人工聲源來分析噪聲產(chǎn)生的機理[4]。雙渦流動結構是復雜流場中的常見現(xiàn)象,大型民機增升裝置后緣襟翼側緣所卷起的旋渦即為典型的雙渦流動[5]。Manfred等用有限元法求解了不可壓縮N-S方程和非齊次波動方程,結合聲比擬理論將流場信息插值到聲場網(wǎng)格中,得到了雙渦流動發(fā)聲的數(shù)值解[6-7]。Zhu等采用高階有限差分格式結合黏聲分離法對雙渦流動發(fā)聲問題進行了數(shù)值模擬[8-9]。Farshchi等采用線性和非線性黏聲分離技術,并使用高階色散保持格式進行數(shù)值離散,求解了雙渦流動發(fā)聲問題,結果表明,線性計算在保持計算精度的條件下大幅降低了計算時間[10]。Ekaterinaris發(fā)展了黏聲分離技術,并用高階迎風格式對控制方程進行了離散求解,驗證了數(shù)值格式具有較好的數(shù)值精度[11-12]。

本文基于Chebyshev譜元法對控制方程進行空間離散,時間離散應用隱式Newmark法并結合聲比擬理論從流場中提取聲源,對同向旋轉渦對的發(fā)聲問題進行了數(shù)值模擬,并研究了數(shù)值精度的影響因素[13-14],為更好地求解計算氣動聲學問題提供了一定的理論依據(jù)。

1 控制方程

自1952年Lighthill提出聲比擬理論以來,Lighthill方程

(1)

在氣動聲學問題中得到廣泛應用,其中Tij為Lighthill應力張量,在絕熱無黏的情況下表達式為

Tij=ρuiuj

(2)

p′=pi+pa

(3)

由不可壓縮連續(xù)性方程和動量方程可得偽聲壓,滿足條件[16]

(4)

將式(4)代入式(1)可得

(5)

式(5)提供了一種只用偽聲壓的二階時間導數(shù)即可作為聲源來計算聲壓的方法,該方法等價于文獻[9]中所提的黏聲分離法,初始條件為

(6)

2 數(shù)值算法

對邊界條件的處理是聲波傳播的一個關鍵問題,由于計算機資源和區(qū)域的限制,所以在數(shù)值模擬波動問題時需要對求解區(qū)域進行邊界截斷。由于截斷在邊界處會引起波的反射,影響數(shù)值求解區(qū)域,為了減小波的反射,本文采用C-E-M吸收邊界條件[17]

(7)

結合吸收邊界條件,式(5)相應的Galerkin變分形式為

?pa,w∈H1(Ω),t∈[0,T]

(8)

式中:ΓI為邊界;w為檢驗函數(shù)。

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2.1 空間離散

(9)

式中:M、C、K、S分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和源項,具體離散過程和表達式可參見文獻[18]。

2.2 時間離散

式(9)在時域上的求解一般有隱式和顯式兩種逐步積分途徑,顯式逐步積分方法一般是條件穩(wěn)定的,隱式方法是絕對穩(wěn)定的?？紤]到算法的穩(wěn)定性,本文選擇隱式Newmark方法,遞推公式為

(10)

3 數(shù)值算例

3.1 數(shù)值模型

圖1 同向旋轉渦對配置

在不可壓縮、無黏的條件下,渦對產(chǎn)生的流場可用復位勢函數(shù)來表示,即

(11)

式中:z=x+iy=reiθ;b=r0eiωt。

由式(11)可得計算聲源時需要的流場量

(12)

聲壓波動的分析解[18]可通過匹配漸近展開法獲得,即

(13)

式中:k=2ω/c0;J2(kr)、Y2(kr)分別為第1、2類二階貝塞爾函數(shù);ψ=2(ωt-θ)。

計算區(qū)域選為400 m×400 m的方形區(qū)域,將源項區(qū)域限定在中間范圍的200 m×200 m區(qū)域?？偣?jié)點數(shù)Nd=(NmNx+1)(NnNy+1),旋轉半徑r0=1 m,環(huán)量Γ=1.005 31 m2/s,聲速c0=1 m/s,波長λ≈39 m,Mr=0.079 6。本文在模擬中取均勻單元,單元內(nèi)的插值節(jié)點數(shù)為2,在全部區(qū)域的網(wǎng)格都為均勻網(wǎng)格。

3.2 數(shù)值結果

圖2給出了式(5)中的源項在t=100 s時的云圖和三維圖,其中時間步長Δt=0.1 s,網(wǎng)格間距Δx=3.64 m,此時每波長的網(wǎng)格數(shù)約為11。由圖2可看出四極子源項的特征,且源項區(qū)域足夠大,使得截斷處源項的幅值遠小于最大值,僅為其0.25%;原點處具有奇異性,源項梯度特別大。為了消除這一奇異性,Manfred等采用Scully渦核模型[19],Ekaterinaris等采取了對原點附近的源項進行截斷的辦法[12]。本文采用文獻[12]的方法,即r/r0≤1.5時不存在源項。

(a)源項云圖

(b)源項三維圖圖2 源項分布圖

同向旋轉渦對在240 s時產(chǎn)生的聲壓場如圖3所示。由圖3可看出,產(chǎn)生的聲場為旋轉的雙螺旋形結構,吸收邊界條件的應用可吸收外向聲波,不影響聲場中解的精度,聲波傳遞出去基本沒有引起反射。

(a)同向旋轉渦對聲場云圖

(b)同向旋轉渦對聲場三維圖圖3 240 s時同向旋轉渦對聲場

為了比較不同網(wǎng)格間距對數(shù)值結果的影響,分別計算了Δx=9.52,6.45,3.92,2.82 m、Δt=2.0 s時的聲場,聲壓沿x正半軸方向的變化情況如圖4所示。隨著傳播距離的增加,聲壓總體呈現(xiàn)衰減的趨勢。Δx=9.52 m時,由于其網(wǎng)格間距太大,與其他節(jié)點數(shù)時的解有明顯偏差,其他聲壓型線整體基本一致,幅值和相位都沒有太大偏差。

圖4 不同網(wǎng)格間距時x方向的聲壓型線

Δx=3.64 m、不同時間步長時聲壓沿x正半軸方向的變化曲線如圖5所示。由圖5可看出,在靠近原點附近數(shù)值解與分析解差別較大,這是由消除原點奇異性對源項的截斷所引起的。另外,隨著時間步長的減小,聲壓型線與分析解之間的差別也越來越小,但是幅值仍稍微低于分析解,可能和譜元算法在計算離散波動方程時的耗散有關。色散誤差除了在Δt=2.0 s時較大,其余時間步長均很小,與分析解吻合較好。具體譜元方法求解波動方程及數(shù)值精度的相關因素分析可參照文獻[20]。

圖5 不同時間步長時x方向的聲壓型線

(0,58.2)點處聲壓數(shù)值解和分析解隨求解時間的變化如圖6所示,原點附近的聲波到達該點后,聲壓數(shù)值解與分析解匹配很好,只有在波峰與波谷處略微小于分析解。這是由為消除原點奇異性對源項進行截斷,而導致總體源項偏小所引起的。240 s處聲壓數(shù)值解與分析解的比較如圖7所示。由圖7可看出,數(shù)值解與分析解的相位、幅值都比較吻合,在分界線處沒有明顯的數(shù)值跳躍。

圖6 (0,58.2)點處聲壓隨時間的變化

圖7 240 s時數(shù)值解與分析解的比較

4 結 論

本文實現(xiàn)了將高精度譜元法結合聲比擬理論應用于求解氣動聲學的問題,并對由兩個點渦形成的同向旋轉渦對聲場進行了數(shù)值模擬。為了分析影響數(shù)值精度的原因,計算了不同網(wǎng)格、不同時間步長情況下的聲場,并將計算結果與用多極匹配展開法得來的分析解進行了對比。結果表明:應用譜元法進行空間離散時,采用極少的節(jié)點數(shù)就可達到很高的精度;節(jié)點數(shù)一定的情況下,時間步長越小得到的數(shù)值解與分析解之間的誤差越小,但花費的計算資源越多。用數(shù)值算例驗證了將偽聲壓對時間的二階導數(shù)作為聲源項,可用來求解不可壓縮流動引起的氣動聲學問題。

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(編輯 趙煒 荊樹蓉)

Investigation of Vortex Sound Propagation Using Spectral Element Method

BAO Zhenzhong,QIN Guoliang,GENG Yanhui,HE Wenqiang

(School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In order to meet the requirements of low dispersive and low dissipative numerical discretization schemes in computational aero-acoustics, the spectral element method combined with Lighthill’s acoustic analogy theory for the simulation of aeroacoustic problems is investigated. Taking the second temporal derivative of pseudopressure as the source of the inhomogeneous wave equation, and space discretization using spectral element method time discretization using implicit Newmark method, under the C-E-M absorbing boundary condition the acoustic field generated by a co-rotating spinning vortex pair is solved. This co-rotating vortex pair consists of two point vortices separated by a fixed distance of 2r0with a circulation intensityΓ. The incompressible flow field is obtained using the complex potential theory, and the acoustic source terms are computed using these hydrodynamic quantities. The acoustic pressure results are evaluated by comparing them with the analytical solution obtained from the matched asymptotic expansion (MAE) method The numerical solutions are in good agreement with the analytical solutions. The results show that the spectral element method can obtain high accuracy using only eleven grids in one wavelength. In the case of the same number of grids, the smaller the time step, the smaller the error between numerical solution and analytical solution. Finally, it is proved that the aero-acoustic problems induced by incompressible flows can be solved with high accuracy by using the second temporal derivative of the pseudopressure as the acoustic source.

computational aero-acoustics; spectral element method; acoustic analogy theory; absorbing boundary condition; finite element method; co-rotating spinning vortex pair

2016-05-20。 作者簡介:包振忠(1992—),男,博士生;秦國良(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助項目(2012CB026004)。

時間:2016-09-14

10.7652/xjtuxb201611017

O121.8;G558

A

0253-987X(2016)11-0110-06

網(wǎng)絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160914.1803.002.html