陳毅強(qiáng) 劉子建

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410082

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電動汽車車身的回傳射線矩陣剛度鏈分析方法

陳毅強(qiáng) 劉子建

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410082

基于LifeDrive純電動汽車模塊化結(jié)構(gòu)形式，通過拓?fù)鋬?yōu)化得到一款純電動汽車車架結(jié)構(gòu)；建立了基于梁單元的車架結(jié)構(gòu)回傳射線矩陣計算模型；由模型得到車架梁單元尺寸以及車身與車架之間的多個耦合力，以更合理的剛度鏈方法優(yōu)化了車身簡化模型的主斷面參數(shù)；利用有限元方法計算了車身與車架的承載度。結(jié)果證明設(shè)計的車架與車身結(jié)構(gòu)滿足目標(biāo)承載度和剛度性能的要求，該方法為非承載式電動汽車車身及車架的概念設(shè)計提供了參考。

純電動汽車；車架設(shè)計；承載度；回傳射線矩陣法

0 引言

能源危機(jī)和環(huán)境保護(hù)要求汽車產(chǎn)品向微型化、低排放方向發(fā)展，作為解決能源和環(huán)保問題方案之一的電動汽車越來越受到人們的關(guān)注。純電動汽車車身的正向設(shè)計技術(shù)已成為各國汽車研發(fā)的一個重點(diǎn)。

新型材料的應(yīng)用、客戶需求多樣化正在影響純電動汽車車身結(jié)構(gòu)朝著模塊化、平臺化方向發(fā)展。典型的如寶馬i系列車采用了LifeDrive架構(gòu)，它由Life和Drive兩個獨(dú)立的模塊組成，Life模塊是乘員艙部分，采用超輕量化且高強(qiáng)度CFRP碳纖維復(fù)合材料構(gòu)成，Drive模塊包括懸架、蓄電池組、驅(qū)動系統(tǒng)和碰撞防護(hù)結(jié)構(gòu)等。

這種模塊化架構(gòu)車輛采取非承載式車身時，通常認(rèn)為載荷均由車架承擔(dān)，并沒有考慮車身的承載作用。此外，如何合理設(shè)計純電動汽車的車架，目前還沒有成熟的理論和方法[1]。

國內(nèi)外學(xué)者研究車身及車架設(shè)計優(yōu)化方法取得了多項(xiàng)進(jìn)展。如田海豹[2]提出了用于車身結(jié)構(gòu)概念設(shè)計階段的剛度鏈方法，通過建立以主斷面、接頭等為節(jié)點(diǎn)的車身剛度鏈模型，進(jìn)行車身載體剛度優(yōu)化和輕量化設(shè)計，并給出了承載式車身設(shè)計的實(shí)例。文獻(xiàn)[2]使用傳遞矩陣法計算車身剛度，用于梁結(jié)構(gòu)分支較多的非承載式電動車車架分析時會產(chǎn)生子剛度鏈分解復(fù)雜、計算效率低的問題。扶原放等[3]依據(jù)微型電動汽車車架結(jié)構(gòu)的受力特性及材料性能要求，考慮多種行駛沖擊載荷對車架的作用，建立了設(shè)計優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。高云凱等[4]基于拓?fù)鋬?yōu)化方法研究了某非承載式電動汽車車身。周姍姍[5]利用客車有限元模型，基于車身承載度分析對車身結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)研究。Cavazzuti等[6]基于有限元方法研究了以車架結(jié)構(gòu)性能為約束、以質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)的汽車底盤框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法。Hodkinson等[7]研究了電動汽車的輕量化設(shè)計流程、車身結(jié)構(gòu)分析方法以及有限元仿真方法。梁晨等[8]以某非承載式車身及車架為例，利用有限元方法研究了彎曲和扭轉(zhuǎn)工況下的車身及車架對整車的剛度貢獻(xiàn)率。

如何在非承載式車身的概念設(shè)計階段就充分考慮車架和車身對于載荷的貢獻(xiàn)，形成合理的設(shè)計方法，并獲得車身整體輕量化效果，這一問題仍然沒有較好的解決方法。因此，研究非承載式車身與車架承載度優(yōu)化分配的方法，以及先進(jìn)的車架設(shè)計方法，對于提升純電動汽車整車輕量化水平和綜合性能都具有重要意義。

1 車架結(jié)構(gòu)設(shè)計

1.1 承載度分配與剛度設(shè)計目標(biāo)值的確定

本文研究的純電動汽車結(jié)構(gòu)形式如圖1所示，車架承載度設(shè)計流程如圖2所示。

圖1 純電動汽車結(jié)構(gòu)形式

圖2 承載度設(shè)計流程

在總體結(jié)構(gòu)方案基本確定的情況下，選擇不同的車身承載度目標(biāo)值會得到不同的車身與車架的質(zhì)量比。本文研究A00級電動汽車，參考文獻(xiàn)[8]中的非承載式SUV車身對整車剛度的貢獻(xiàn)，設(shè)定車身與車架承載度的目標(biāo)比值為3∶7，車身與車架通過接口連接，前座椅中心位置下方為撓度測量點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中電動汽車設(shè)計過程中的性能指標(biāo)確定方法，此處最大撓度設(shè)定為0.497mm?？紤]彎曲工況下的載荷為多點(diǎn)集中載荷，分析過程中可將車身、車架都按照簡支梁計算。先繪制車架簡化受力圖(圖3)，此時可得車架的彎曲剛度計算公式[9]：

圖3 車架受多點(diǎn)集中載荷受力圖

(1)

式中，EI為彎曲剛度值，N·m2；yx為測定點(diǎn)撓度值，m；x為前軸中心位置到測定點(diǎn)的距離，m；l為軸距，m；Pi為各點(diǎn)加載載荷，N；ai為前軸中心到加載點(diǎn)的距離，m；bi=l-ai，m；j為前軸前載荷項(xiàng)數(shù)；k為至撓度測定點(diǎn)的載荷項(xiàng)數(shù)；n為后軸前載荷項(xiàng)數(shù)；m為總載荷項(xiàng)數(shù)。

由式(1)計算出EI=2.76 MN·m2。車架承載度目標(biāo)值為0.7時，測量點(diǎn)最大撓度約束值為1.43yx=0.7115mm。

根據(jù)普通車型扭轉(zhuǎn)剛度結(jié)果統(tǒng)計數(shù)據(jù)[10]，此A00級車扭轉(zhuǎn)角目標(biāo)值θ不應(yīng)超過0.5°，前懸架支座處位移可表示為

ΔL=(b/2)tanθ

(2)

其中,ΔL為前懸支座位移;b為前懸支座間距。本文中b=610mm，由式(2)可計算出前懸支座處最大位移約束為2.71mm。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

車架所受靜載荷F1包括乘客、電池組、電機(jī)的載荷，大小約為4500N，如表1所示。

表1 主要載荷部件

部件名稱數(shù)量質(zhì)量(kg)位置電池包165車架中部電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)140前軸中部電機(jī)控制器15前輪內(nèi)側(cè)乘員及座椅4340車架中部

載荷均施加于設(shè)計域的上表面，并將電池對車架的載荷考慮為多點(diǎn)集中載荷[11]，加載方向均垂直于地面。在靜載荷基礎(chǔ)上對模型施加彎矩載荷F=1.8F1與扭轉(zhuǎn)載荷M=0.5F2l，其中F2為前軸載荷。根據(jù)剛度和頻率要求，以結(jié)構(gòu)整體的體積約束作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)的剛度最大化作為優(yōu)化的約束條件，以前座椅測量點(diǎn)處撓度及前懸支座處最大位移為邊界條件[12]，建立拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計域，如圖4所示。

圖4 車架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計域

選擇材料為45鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為355MPa。剛度約束條件下以體積為目標(biāo)函數(shù)，剛度要求為約束條件(文中反映為測量點(diǎn)撓度及最大扭轉(zhuǎn)角度)，單元密度為設(shè)計變量；頻率約束條件下以一階模態(tài)頻率為目標(biāo)函數(shù)，體積分?jǐn)?shù)為約束條件，單元密度為設(shè)計變量，設(shè)定收斂容差為0.001，若兩次迭代之差小于0.001，則認(rèn)為優(yōu)化收斂并停止計算[12]。經(jīng)迭代計算后單元密度取0.17，優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。

圖5 車架結(jié)構(gòu)材料分布

考慮各總成的布置以及工藝要求，采用截面為矩形的型鋼制作車架，將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡化成圖6所示的形式，但此時只確定了車架的結(jié)構(gòu)形式，還沒有確定矩形鋼管的厚度，因此還需要進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計。

圖6 車架結(jié)構(gòu)圖

2 基于剛度鏈的車架建模與分析

圖6所示車架模型的分支梁較多，當(dāng)一個節(jié)點(diǎn)與多個單元相連時，采用基于傳遞矩陣的剛度鏈方法建模時不易確定傳遞路徑和節(jié)點(diǎn)的傳遞矩陣[13]，且計算量大，而利用回傳射線矩陣法(methodofreverberaton-raymatrix,MRRM)則可以避免這些缺陷。MRRM方法對所有單元列相位關(guān)系的列式方式與對所有節(jié)點(diǎn)列散射關(guān)系的方式相同，總體相位矩陣和散射矩陣分別是將各節(jié)點(diǎn)的局部相位矩陣和散射矩陣放置在矩陣的對角線上得到的分塊對角矩陣，列式非常統(tǒng)一。MRRM基本思路是：依據(jù)兩組關(guān)系建立整體結(jié)構(gòu)的回傳矩陣，第一組關(guān)系為節(jié)點(diǎn)的近端位移和遠(yuǎn)端位移的關(guān)系，由節(jié)點(diǎn)的力和力矩的平衡關(guān)系建立；第二組關(guān)系為桿件的近端位移與遠(yuǎn)端位移的關(guān)系，由局部坐標(biāo)系的設(shè)定得到。由回傳矩陣即可求得整體結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的位移和內(nèi)力的精確解[14]。

2.1 結(jié)構(gòu)描述

將梁的中心線相連，得到車架結(jié)構(gòu)的簡化線框模型，節(jié)點(diǎn)以大寫字母I、J、K…表示，則桿件表示為〈I,J〉、〈J,K〉等。圖7中，各桿件的編號表示為〈1,2〉，〈2,3〉，…，〈27,28〉。

圖7 車架簡化線框模型

車架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為28，梁單元總數(shù)為48，f1～f5為車身與車架之間的耦合力，利用對稱關(guān)系，先考慮1/2模型的分析。

2.2 建模方法

2.2.1 定義坐標(biāo)系

首先，對車架結(jié)構(gòu)建立整體坐標(biāo)系(X,Y,Z)，如圖7所示。以與節(jié)點(diǎn)1相連的三根梁為例，對梁單元建立對偶坐標(biāo)系，如圖8所示，各梁單元的長度記為l〈1,2〉，l〈2,3〉，…，l〈27,28〉。

圖8 梁單元局部坐標(biāo)系

2.2.2 單元物理量的表示方法

在整體坐標(biāo)系(X,Y,Z)下，定義節(jié)點(diǎn)J(J=1,2,…,28)的廣義力和廣義位移向量分別為

(3)

其中，pJ中包含沿X軸、Y軸、Z軸的集中力和繞三個坐標(biāo)軸的力矩，uJ中包含沿X軸、Y軸、Z軸三個方向的位移和轉(zhuǎn)角。

在局部坐標(biāo)系(x,y,z)〈J,K〉下，梁單元任意截面的廣義力和廣義位移向量分別為

(4)

其中，f〈J,K〉中包含z方向的軸力、x和y方向上的剪力、繞z軸的扭矩、繞x和y軸的彎矩；δ〈J,K〉中包含三個沿x、y和z軸的線位移和三個繞x、y、z的轉(zhuǎn)角。

2.2.3 力平衡關(guān)系與位移協(xié)調(diào)關(guān)系

車架結(jié)構(gòu)的梁與梁之間的連接點(diǎn)簡化為無集中質(zhì)量的剛性節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)J處有平衡關(guān)系：

(5)

式中，T〈J,K〉為66階轉(zhuǎn)換矩陣；F〈J,K〉為節(jié)點(diǎn)J處61階內(nèi)力向量，包含軸剪力和扭矩彎矩和；F為外力向量；fi(i=1,2,3,4,5)為車架與車身的耦合力向量。

(6)

A〈J,K〉和D〈J,K〉由空間桿系結(jié)構(gòu)的剛度矩陣得到：

A〈J,K〉=

(7)

D〈J,K〉=

(8)

式中，EA、GJ分別為車架梁單元的抗壓剛度和剪切剛度。

根據(jù)式(5)和式(6)可得第一組關(guān)系，即包含節(jié)點(diǎn)近端位移、遠(yuǎn)端位移的力和力矩平衡關(guān)系：

(9)

(10)

式中，mJ為與節(jié)點(diǎn)J相連的桿件數(shù)量。

在節(jié)點(diǎn)3與節(jié)點(diǎn)17處，F(xiàn)≠0，fi≠0；在節(jié)點(diǎn)1、4、5、7處，F(xiàn)=0，fi≠0；其他節(jié)點(diǎn)處，F(xiàn)=0，fi=0。

除了上述力和力矩平衡關(guān)系外，車架的梁結(jié)構(gòu)在連接節(jié)點(diǎn)處還滿足位移協(xié)調(diào)條件:

(11)

(12)

2.2.4 車架結(jié)構(gòu)的回傳矩陣

通過力平衡方程式(9)和位移協(xié)調(diào)方程式(11)可得到節(jié)點(diǎn)的波源向量s和傳遞分配矩陣S。則有如下關(guān)系：

a=Sd+s

(13)

其中，a和d是所有節(jié)點(diǎn)的近端位移向量aJ與遠(yuǎn)端位移向量dJ組成的向量：

(14)

式(13)中有12mJ個方程，24mJ+5個未知數(shù)，分別為節(jié)點(diǎn)近端和遠(yuǎn)端沿三個坐標(biāo)軸方向上的位移、轉(zhuǎn)角、力和力矩，如果考慮5個未知耦合力，則還需要建立另外一組關(guān)系。

在局部坐標(biāo)系中，桿件的遠(yuǎn)端位移可以用近端位移表示：

d=PUa

(15)

對于某一桿件〈J,K〉，式(15)中的d包含節(jié)點(diǎn)J的遠(yuǎn)端位移d〈J,K〉實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)K的近端位移a〈K,J〉，但兩者可能存在正負(fù)號的差異。利用相位矩陣p可以將兩者關(guān)系表示為

d〈J,K〉=pa〈J,K〉

(16)

J=1,2,…,mJK=1,2,…,n

式(15)中的U為轉(zhuǎn)列矩陣，用于改變向量a中元素的排列次序，使之與向量d中的元素相對應(yīng)，例如d〈J,K〉對應(yīng)a〈K,J〉；P為整體相位矩陣，表示為

P=diag(p,p,…,p)

由式(12)和式(15)可得：

a=(I-R)-1s

(17)

R=SPU

式中，I為6×6階單位矩陣。

由于耦合力未知，為了避免未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，需要確定彎曲工況下部分節(jié)點(diǎn)的位移。根據(jù)已確定的車架最大撓度以及邊界條件進(jìn)行三次擬合可以近似得到車架彎曲工況下的變形曲線，如圖9所示。

圖9 車架結(jié)構(gòu)變形擬合曲線

由圖9可以得到y(tǒng)i(i=1,3,4,5,7)，即節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)5、節(jié)點(diǎn)7在整體坐標(biāo)系中沿Z軸負(fù)方向的位移：

(18)

由于與節(jié)點(diǎn)1、3、4、5和7連接的單元的近端或遠(yuǎn)端狀態(tài)向量a〈J,K〉中的元素v〈J,K〉可以由擬合曲線的坐標(biāo)得到，由式(13)和式(15)可以得到的12mJ個方程中，含12mJ個未知數(shù),其中包含5個已知的節(jié)點(diǎn)位移v1、v3、v4、v5、v7，其大小對應(yīng)式(18)中的y值和5個未知的耦合力。車架梁截面采用30 mm×30 mm的矩形，厚度設(shè)為t，因此由不受外力作用的節(jié)點(diǎn)的關(guān)系可解出梁單元厚度t。由式(17)可以得到a, 由式(13)可以得到d，將a和d代入式(9)可得到內(nèi)力向量F〈J,K〉，由此可以求得車架結(jié)構(gòu)與車身結(jié)構(gòu)之間的耦合力fi。

3 剛度分析與承載度驗(yàn)證

參考白車身彎曲剛度試驗(yàn)加載方法[15]，加載力F=3000N，加載點(diǎn)位于前座椅安裝位置左右對稱處，方向垂直向下(整體坐標(biāo)系Y軸負(fù)方向)。根據(jù)式(9)、式(15)、式(16)和式(18)解得梁單元厚度ti以及車身與車架之間耦合力fi如表2所示，fi為正值表示其為拉力，為負(fù)值表示其為壓力。車架最終梁單元厚度t取3.686mm。

表2 車架梁單元厚度及車身與車架耦合力

耦合點(diǎn)撓度yi梁厚度ti(mm)耦合力fi(N)y13．560-169．680y24．110233．480y33．4905．116y43．74029．490y53．530-101．280

為了達(dá)到設(shè)定的承載度目標(biāo)值，需要優(yōu)化車身在耦合力fi(i=1,2,…,5)作用下的主斷面參數(shù)，車身結(jié)構(gòu)采用基于線框的簡化幾何模型，簡化模型梁單元的中心線由車身A級曲面(圖10)上采集的特征點(diǎn)連接而成，并且遵照以下簡化原則：①先考慮車身主要承載梁結(jié)構(gòu)，暫不考慮地板、頂蓋等覆蓋件；②暫不考慮焊點(diǎn)特性；③曲梁用多段直梁近似逼近。車身側(cè)圍及頂板的梁單元分布參考傳統(tǒng)車型，底板梁單元分布根據(jù)乘員座椅位置及與車架的接合位置確定，得到車身梁單元簡化模型如圖11所示。

圖10 車身A級曲面

圖11 車身梁單元分布及主斷面位置

在車身剛度鏈分析方法[16]中，只在前座椅中心處施加垂直于地面向下的載荷。對于本文研究的非承載式電動汽車車身，在進(jìn)行車身的截面優(yōu)化時，需要用f1、f2、f3、f4、f5代替彎曲工況下座椅安裝點(diǎn)處左右對稱的加載力F，將耦合力加載到車身與車架的接合點(diǎn)后的力學(xué)模型上，如圖12所示(圖12a為文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[17]中模型加載方式，圖12b為本文對應(yīng)的加載方式)。車身主斷面簡化為薄壁矩形，如圖13所示。

[17]的車身剛度鏈計算方法，以輕量化為目標(biāo)建立約束函數(shù)，優(yōu)化設(shè)計模型如下：

(a)車身剛度鏈單元劃分及加載方式[17]

(b)非承載式車身剛度鏈單元劃分及加載方式圖12 車身剛度鏈單元劃分及加載方式

圖13 簡化梁截面

(19)式中，Δz為位于前座椅中心處的測量點(diǎn)最大撓度，其大小不應(yīng)超過車身與車架整體變形時的約束值4.97×10-4m;ΔL為前懸支座處位移量。

利用MATALB遺傳算法工具箱計算各主斷面的最優(yōu)截面尺寸，計算結(jié)果如表3所示。根據(jù)表3中的計算結(jié)果可以得到主斷面面積A、慣性矩Iy=∫Ay2dA、慣性矩Iz=∫Az2dA和極慣性矩Ip=∫A(y2+z2)dA在車身主斷面節(jié)點(diǎn)上的分布情況，如圖14所示。

根據(jù)圖14可以看出，編號為3、8、10、12的梁對車身剛度影響較為顯著。這與此類車身梁單元剛度靈敏度分布情況[17]吻合，說明優(yōu)化結(jié)果合理。

為驗(yàn)證上述方法的準(zhǔn)確性，利用ANSYS分別建立車身、車架以及車身與車架耦合的beam188梁單元模型，彎曲工況下變形云圖見圖15～圖17，車身與車架耦合整體扭轉(zhuǎn)工況下的變形云圖見圖18。

根據(jù)位移云圖得到前座椅中心測量點(diǎn)處變形量如表4所示，測量點(diǎn)處的撓度在容許的變形范圍內(nèi)，扭轉(zhuǎn)工況下前懸支座處位移ΔL=2.627mm<2.71mm,滿足扭轉(zhuǎn)性能要求。

表3 車身主斷面截面參數(shù) mm

圖14 主斷面面積、慣性矩和極慣性矩分布情況

圖15 彎曲工況下車身變形

圖16 彎曲工況下車架變形

圖17 彎曲工況下車身與車架耦合變形

圖18 扭轉(zhuǎn)工況下車身與車架耦合變形

根據(jù)基于剛度的承載度評價方法,車架的剛度與車身及車架總體剛度的比值即為車架的承載度[18]，根據(jù)式(1)分別得到車架的彎曲剛度K1=2.803MN·m2、車身和車架耦合整體的彎曲剛度K=3.84MN·m2?？梢杂嬎愠鲕嚰軓澢鷦偠扰c整體彎曲剛之比即承載度為0.73，與設(shè)定的目標(biāo)承載度非常接近，滿足設(shè)計要求。

表4 測量點(diǎn)撓度值 mm

4 結(jié)語

本文根據(jù)LifeDrive模塊化車架的載荷情況，拓?fù)鋬?yōu)化后得到了電動汽車車架結(jié)構(gòu)。建立了車架的回傳射線矩陣計算模型，當(dāng)車架梁結(jié)構(gòu)變動時，只需增加或減少相應(yīng)的方程即可，避免了基于傳遞矩陣法的剛度鏈方法難以確定車架載荷的傳遞路徑和計算量大的缺陷，便于建立車架與車身之間的耦合計算模型。本方法用于非承載式車身整體的優(yōu)化設(shè)計，明顯拓展了車身剛度鏈設(shè)計方法的應(yīng)用范圍，提高了計算效率。最后，利用有限元方法計算驗(yàn)證了實(shí)例車身、車架簡化模型剛度與承載度的分配滿足預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值要求。

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(編輯 王旻玥)

AnalysisMethodofReverberation-rayMatrixStiffnessChainforElectricVehicleBodies

ChenYiqiangLiuZijian

StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufactureforVehicleBody,HunanUniversity,Changsha, 410082

BasedonLifeDrivepureelectricvehiclemodularstructures,apureelectricvehicleframestructurewasobtainedbytopologyoptimizationmethod.Thereverberation-raymatrixmodelofframestructurewasestablishedbasedonthebeamelements.Accordingtothereverberation-raymatrixcalculationmodel,thethicknessesoftheframebeamelementsandtheforcesbetweenthebodyandframewereobtained,themainsectionalparametersofsimplifiedmodelofvehiclebodywasoptimizedwithamorereasonablemethod.Theloadingdegreebetweenbodyandframewascalculatedbyfiniteelementmethod.Resultsshowthattheframeandthebodystructuresmeettherequirementsofthetargetloadingdegreeandstiffnessperformance,andthismethodprovidesreferencetothebodyandframeconceptualdesignofelectricvehicle.

pureelectricvehicle;framedesign;loadingdegree;methodofreverberation-raymatrix

2016-01-13

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)資助項(xiàng)目(2010CB328002)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475152)

U463.82

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.021

陳毅強(qiáng)，男，1991年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)殡妱悠囓嚿斫Y(jié)構(gòu)正向設(shè)計方法與結(jié)構(gòu)優(yōu)化。劉子建(通信作者)，男，1953年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。