胡宇達(dá) 戎艷天

燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島,066004

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磁場(chǎng)中軸向變速運(yùn)動(dòng)載流梁的參強(qiáng)聯(lián)合共振

胡宇達(dá) 戎艷天

燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島,066004

研究磁場(chǎng)環(huán)境中軸向變速運(yùn)動(dòng)載流梁在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的參強(qiáng)聯(lián)合共振問(wèn)題，應(yīng)用彈性力學(xué)理論、電磁場(chǎng)基本理論以及哈密頓變分原理，得到軸向變速運(yùn)動(dòng)載流梁的非線性磁彈性耦合振動(dòng)方程。利用伽遼金積分法對(duì)其進(jìn)行時(shí)間變量和空間變量的離散化，進(jìn)而運(yùn)用多尺度法以及坐標(biāo)變換的方法求得系統(tǒng)主共振-主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)方程。通過(guò)算例，得到了系統(tǒng)隨不同參數(shù)變化的幅頻響應(yīng)曲線圖、時(shí)間歷程圖、相軌跡圖、龐加萊映射圖和共振系統(tǒng)的動(dòng)相平面軌跡圖，分析了軸向速度、軸向拉力、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電流密度及強(qiáng)迫激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)主共振-主參數(shù)共振特性的影響，結(jié)果表明系統(tǒng)呈現(xiàn)典型的非線性振動(dòng)特征和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

載流梁；主共振-主參數(shù)共振；磁場(chǎng)；軸向運(yùn)動(dòng)

0 引言

近年來(lái)，軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電導(dǎo)磁結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域的重要設(shè)備中，如電磁驅(qū)動(dòng)、電磁發(fā)射及磁懸浮運(yùn)輸?shù)仍O(shè)備，而工程實(shí)際中相關(guān)構(gòu)件因受到外部機(jī)械力、電磁力作用及運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)變化的影響，會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，振動(dòng)會(huì)影響設(shè)備的正常運(yùn)行，甚至帶來(lái)重大的安全隱患和經(jīng)濟(jì)損失。因此研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)條件下磁彈性多場(chǎng)耦合系統(tǒng)非線性共振問(wèn)題具有重要理論意義和實(shí)際意義。文獻(xiàn)[1]以變速運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁為模型，研究了其在外部諧波激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)[2]基于Timoshenko梁理論和幾何非線性因素的作用，推導(dǎo)出了磁場(chǎng)環(huán)境中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電導(dǎo)磁梁的磁彈性振動(dòng)方程。文獻(xiàn)[3]研究了軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的主參數(shù)共振問(wèn)題，并以偏微分和積分-偏微分這兩種非線性模型為例，針對(duì)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)和穩(wěn)定性進(jìn)行了比較分析。文獻(xiàn)[4]針對(duì)非線性運(yùn)動(dòng)梁在不受外激勵(lì)和受到外激勵(lì)兩種不同情況下的參數(shù)激勵(lì)問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5] 基于弗洛凱理論，分析了橫向磁場(chǎng)環(huán)境中四邊簡(jiǎn)支約束下的軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電矩形薄板的參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]以Timoshenko梁為基本模型，研究了其做軸向變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的參數(shù)共振問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]運(yùn)用伽遼金法和多尺度法分析了磁場(chǎng)中軸向變速運(yùn)動(dòng)薄板的非線性參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)[8]以軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性梁為模型，利用勞斯-赫爾維茨判據(jù)分析了參數(shù)共振的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]分析了單自由度非線性系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)。文獻(xiàn)[10]利用平均法針對(duì)梁的黏彈性阻力對(duì)其穩(wěn)定性的影響進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[11]研究了懸臂梁受到周期性變化的軸向拉力和磁場(chǎng)等參數(shù)共同作用下的非線性參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題。本文針對(duì)磁場(chǎng)環(huán)境中軸向變速運(yùn)動(dòng)載流梁的主共振-主參數(shù)聯(lián)合共振問(wèn)題進(jìn)行研究，重點(diǎn)推導(dǎo)軸向變速運(yùn)動(dòng)載流梁的磁彈性耦合振動(dòng)方程，并對(duì)系統(tǒng)的非線性參強(qiáng)聯(lián)合共振問(wèn)題進(jìn)行解析求解，同時(shí)通過(guò)數(shù)值算例，分析了電磁、運(yùn)動(dòng)、力等參量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 軸向運(yùn)動(dòng)梁基本方程

研究在恒定磁場(chǎng)B=(0,B0,0)(B0為磁感應(yīng)強(qiáng)度)環(huán)境中受均布軸向拉力F0x和均布橫向載荷Pz作用的載流梁，該梁沿形心軸x方向以速度C=(C,0,0)做軸向變速運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，梁長(zhǎng)為l，寬為b，高為h，密度為ρ，通入電流的電流密度矢量Je=(J0x(t),0,0)，記w(x,t)為梁的橫向位移，t為時(shí)間變量。

圖1 磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)梁力學(xué)模型

1.1 軸向運(yùn)動(dòng)梁動(dòng)能

軸向變速運(yùn)動(dòng)梁的橫向速度為

(1)

則梁的動(dòng)能可表示為

(2)

式中，A為梁的橫截面積,A=bh。

1.2 軸向運(yùn)動(dòng)梁勢(shì)能

梁的勢(shì)能由軸向拉力作用下引起的應(yīng)變勢(shì)能U1、梁的彎曲應(yīng)變勢(shì)能U2以及梁的中面應(yīng)變勢(shì)能U3三部分組成。則梁的總勢(shì)能U可表示為

(3)

式中，E為彈性模量;I為截面慣性矩。

1.3 外力虛功

(1)機(jī)械力虛功。外加橫向均布強(qiáng)迫激勵(lì)Pz在虛位移上所做的虛功為

(4)

(2)電磁力虛功。這里研究的是良導(dǎo)體，略去磁化及位移電流的影響，并設(shè)J為梁內(nèi)電流密度矢量。利用磁彈性線性化假設(shè)[12]，可得Lorentz力的表達(dá)式為

(5)

式中，i、j、k為各坐標(biāo)軸的單位向量；Jx為由于外加磁場(chǎng)作用而在導(dǎo)電梁內(nèi)產(chǎn)生的沿x軸方向的感應(yīng)電流密度分量,Jx=-σ0v0zB0；σ0為電導(dǎo)率。

由式(5)可得梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度所受電磁力

(6)

從而得電磁力虛功為

(7)

1.4 應(yīng)用哈密頓原理建立振動(dòng)方程

哈密頓原理是著名的力學(xué)積分原理之一，根據(jù)哈密頓原理有：

(8)

其中，t1、t2為兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)；δT為動(dòng)能變分表達(dá)式;δU為勢(shì)能變分表達(dá)式。

將式(2)～式(4)及式(7)代入式(8)中，經(jīng)過(guò)變分運(yùn)算，得到軸向變速運(yùn)動(dòng)梁的非線性磁彈性振動(dòng)方程：

(9)

2 振型函數(shù)的假設(shè)與伽遼金積分

對(duì)于兩端鉸支軸向運(yùn)動(dòng)梁，在考慮一階模態(tài)的情況下，設(shè)滿足兩端鉸支邊界條件的位移解為

(10)

同時(shí)，取軸向運(yùn)動(dòng)速度、軸向拉力、橫向強(qiáng)迫激勵(lì)以及電流密度分別為

(11)

式中，C0為軸向運(yùn)動(dòng)恒定速度；C1為軸向時(shí)變速度擾動(dòng)量；F0為軸向運(yùn)動(dòng)恒定拉力；F1為軸向時(shí)變拉力擾動(dòng)量；P0為橫向均布強(qiáng)迫激勵(lì)的幅值；J0為電流密度的幅值；ω1為速度參數(shù)頻率；ω2為拉力參數(shù)頻率；ω3為橫向均布強(qiáng)迫激勵(lì)頻率；ω4為電流密度頻率。

將式(10)、式(11)代入式(9)，并應(yīng)用伽遼金積分法，最終得到以位移形式表示的量綱一化的振動(dòng)微分方程：

(12)

式中，ω0為系統(tǒng)固有頻率。

3 主共振-主參數(shù)聯(lián)合共振理論分析

為了研究參強(qiáng)聯(lián)合共振問(wèn)題，在式(12)的阻尼項(xiàng)、參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)、非線性項(xiàng)和強(qiáng)迫激勵(lì)項(xiàng)前引入小參數(shù)ε，這樣將式(12)的振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)化為

(13)

下面采用多尺度法[13]求解振動(dòng)微分方程的近似解，選用兩個(gè)時(shí)間尺度T0=τ，T1=ετ來(lái)討論系統(tǒng)微分方程的一次近似解，則可將系統(tǒng)的參強(qiáng)聯(lián)合共振的一次近似解析解表示為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(14)

將式(14)代入式(13)中展開，令ε的同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等得

(15)

(16)

零次近似方程式(15)的解可表示為如下復(fù)數(shù)形式：

(17)

(18)

式中，cc表示等號(hào)右端項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)部分。

當(dāng)Ω1≈2，Ω2≈2，Ω3≈1，Ω4≈1，即滿足速度參數(shù)頻率和拉力參數(shù)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率的2倍相近，并且外界強(qiáng)迫激勵(lì)頻率和電流密度頻率與系統(tǒng)固有頻率相近時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生主共振-主參數(shù)共振。

在對(duì)非線性系統(tǒng)共振問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，令

(19)

式中，σ1、σ2、σ3、σ4為頻率調(diào)諧值。

將式(19)代入式(18)中，整理得

(20)

為了避免久期項(xiàng)出現(xiàn)，消除式(20)中久期項(xiàng)的條件為

(21)

取復(fù)函數(shù)A0表示為如下形式：

(22)

其中，a和φ都為T1的實(shí)函數(shù)。

將式(22)代入式(21)中，并分離實(shí)部和虛部，則實(shí)部a′、虛部aφ′可分別表示為

(23)

(24)

β1、β2、β3、β4對(duì)T1求導(dǎo)分別為

(25)

φ′=σ1/2=σ2/2=σ3=σ4=σ

(26)

進(jìn)一步考慮式(23)～式(26)，最終求得

(27)

(28)

為便于對(duì)式(27)、式(28)進(jìn)行求解，采取變量變換方法，設(shè)

m=a(T1)cosβ4(T1)

(29)

n=a(T1)sinβ4(T1)

(30)

由式(29)、式 (30)并考慮式(23)～式(26)，可得

(31)

(32)

同樣，對(duì)于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)(m′=0，n′=0)有

(33)

(34)

解得

(35)

(36)

又因m2+n2=a2，則可得系統(tǒng)主共振-主參數(shù)共振下的幅頻響應(yīng)方程為

(37)

4 算例及結(jié)果分析

下面以兩端鉸支軸向變速運(yùn)動(dòng)銅制梁為例進(jìn)行分析。主要參數(shù)取值：梁長(zhǎng)l=0.3 m，寬b=0.02 m，高h(yuǎn)=0.01 m，軸向恒定拉力F0=40 kN，彈性模量E=108 GPa，密度為ρ=8920 kg/m3，泊松比ν=0.33，電導(dǎo)率σ0=5.7143×107S/m。圖2～圖29分別給出了共振幅值與調(diào)諧參數(shù)、時(shí)變拉力擾動(dòng)量幅值、強(qiáng)迫激勵(lì)力幅值以及磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值的關(guān)系曲線。

圖2～圖17為振動(dòng)幅值a隨調(diào)諧參數(shù)εσ的變化規(guī)律圖。由圖可見，在給定的調(diào)諧參數(shù)εσ的取值范圍內(nèi)，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度的增大，多值區(qū)域也會(huì)逐漸變小。與此同時(shí)，曲線也會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，而這些跳躍現(xiàn)象正是幅頻響應(yīng)曲線多值性的表現(xiàn)，這也是非線性問(wèn)題的重要特征之一。

圖2 C1=0的幅頻響應(yīng)圖

圖3 C1=2 m/s的幅頻響應(yīng)圖

圖4 C1=3 m/s的幅頻響應(yīng)圖

圖5 C1=5 m/s的幅頻響應(yīng)圖

圖6 F1=0的幅頻響應(yīng)圖

圖7 F1=1 kN的幅頻響應(yīng)圖

圖8 F1=2 kN的幅頻響應(yīng)圖

圖9 F1=2.5 kN的幅頻響應(yīng)圖

圖2～圖9中取C0=80 m/s，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2。當(dāng)F1=1 kN時(shí)，由圖2～圖5可見，在給定的調(diào)諧參數(shù)εσ的取值范圍內(nèi)，隨著時(shí)變速度擾動(dòng)量C1從零開始增大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)由五個(gè)變?yōu)槿齻€(gè)，當(dāng)時(shí)變速度擾動(dòng)量繼續(xù)增大時(shí)，穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)又變?yōu)槲鍌€(gè)，兩共振峰值間的區(qū)域先減小后增大。由圖6～圖9可見，當(dāng)C1=6 m/s時(shí)，在給定的調(diào)諧參數(shù)εσ的取值范圍內(nèi)，時(shí)變拉力擾動(dòng)量F1從零開始增大時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)由五個(gè)變?yōu)槿齻€(gè)，當(dāng)時(shí)變拉力擾動(dòng)量繼續(xù)增大，穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)又變?yōu)槲鍌€(gè)，兩共振峰值間的區(qū)域先減小后增大。

圖10～圖17中取C0=80 m/s，C1=6 m/s，F(xiàn)1=1 kN。當(dāng)J0=2 A/mm2，P0=50 N/m時(shí)，如圖10～圖13所示， 在給定的調(diào)諧參數(shù)εσ的取值范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小對(duì)振幅曲線的變化規(guī)律的影響比較明顯，初始階段，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)由三個(gè)變成五個(gè)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度繼續(xù)增大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)由五個(gè)變?yōu)槿齻€(gè)，兩共振峰值間的區(qū)域先增大后減小，并且隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，多值區(qū)域逐漸減小。當(dāng)B0=0.042 T，P0=0時(shí)，如圖14～圖17所示，在給定的εσ的取值范圍內(nèi)，隨著電流密度的不斷增大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)由五個(gè)變?yōu)槿齻€(gè)，兩共振峰值間的區(qū)域以及系統(tǒng)多值區(qū)域逐漸減小，振幅有隨電流密度的增大而增大的趨勢(shì)，可以通過(guò)控制電流密度以達(dá)到減小振幅的目的。

圖10 B1=0的幅頻響應(yīng)圖

圖11 B1=0.01 T的幅頻響應(yīng)圖

圖12 B1=0.02 T的幅頻響應(yīng)圖

圖13 B1=0.05 T的幅頻響應(yīng)圖

圖14 J0=0.1 A/mm2的幅頻響應(yīng)圖

圖15 J0=0.5 A/mm2的幅頻響應(yīng)圖

圖16 J0=1.0 A/mm2的幅頻響應(yīng)圖

圖17 J0=2.5 A/mm2的幅頻響應(yīng)圖

給定C0=80 m/s，C1=6 m/s，J0=2 A/mm2，圖18～圖25為取不同磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)共振振幅隨時(shí)變拉力擾動(dòng)量F1和強(qiáng)迫激勵(lì)載荷幅值P0的變化規(guī)律曲線圖，如圖所示，振幅曲線的多值性對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小比較敏感。

圖18 B0=0的振幅-參數(shù)激勵(lì)曲線圖

圖19 B0=0.02 T的振幅-參數(shù)激勵(lì)曲線圖

圖26～圖29中取參數(shù)值C0=80 m/s，C1=6 m/s，F(xiàn)1=1 kN，P0=50 N/m，其中實(shí)線為J0=0下的振幅-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線，虛線為J0=2 A/mm2下的曲線。如圖所示，調(diào)諧參數(shù)εσ的大

圖20 B0=0.03 T的振幅-參數(shù)激勵(lì)曲線圖

圖21 B0=0.06 T的振幅-參數(shù)激勵(lì)曲線圖

圖22 B0=0.01 T的振幅-強(qiáng)迫激勵(lì)曲線圖

圖23 B0=0.02 T的振幅-強(qiáng)迫激勵(lì)曲線圖

圖24 B0=0.03 T的振幅-強(qiáng)迫激勵(lì)曲線圖

圖25 B0=0.05 T的振幅-強(qiáng)迫激勵(lì)曲線圖

圖26 εσ=0.0082的振幅-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線圖

圖27 εσ=0.01的振幅-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線圖

圖28 εσ=0.035的振幅-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線圖

小對(duì)振幅曲線變化規(guī)律的影響比較明顯。在J0=0，即不通電流情況下，所有曲線均呈左右對(duì)稱分布形式，對(duì)稱軸位于B0=0處；起初在給定的B0的取值范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大對(duì)振幅的影響不是很明顯，但當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大到一定值時(shí)，振幅值會(huì)急劇下降，由此可得，在保持軸向運(yùn)動(dòng)速度、軸向拉力、強(qiáng)迫激勵(lì)以及電流密度等參量不變的情況下，可以通過(guò)控制外加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)控制振幅的目的。在J0=2 A/mm2，即通電流情況下，圖形不再對(duì)稱，并發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，對(duì)應(yīng)之前不通電流的單解區(qū)域，現(xiàn)在出現(xiàn)多解。

圖30、圖31所示為給定參數(shù)的固定值為C0=80 m/s，C1=6 m/s，F(xiàn)1=1 kN，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2，在不改變系統(tǒng)物理參變量的情況下，一些初始條件發(fā)生變化時(shí)得到的動(dòng)相平面軌跡，圖中箭頭方向指示軌跡的運(yùn)動(dòng)方向。當(dāng)選取不同的調(diào)諧參數(shù)εσ值時(shí)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)不相同，穩(wěn)態(tài)解對(duì)應(yīng)的振動(dòng)幅值(a表示)一般也不相同。圖30中有兩個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)S1(a=0.0565)和S3(a=0.1603)，一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)S2(a=0.093)；圖31中有三個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)，分別是S1(a=0.0455)、S4(a=0.1225)和S5(a=0.1683)，兩個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)S2(a=0.108)和S3(a=0.112)。圖30、圖31中穩(wěn)態(tài)解的大小與圖7中的大小一致，并且可以看出，圖7中上面兩分支曲線及最下面分支曲線是穩(wěn)定的，而中間部分的兩分支曲線是不穩(wěn)定的，其他幅頻特性曲線也有相類似的性質(zhì)。由圖可得，改變系統(tǒng)的初始條件，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響很大。

圖29 εσ=0.05的振幅-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線圖

圖30 εσ=0.01的動(dòng)態(tài)平面軌跡圖

圖31 εσ=0.012的動(dòng)態(tài)平面軌跡圖

圖32、圖33所示為在不改變初始條件的情況下，物理參量發(fā)生變化時(shí)得到的動(dòng)相平面軌跡圖，圖中箭頭方向指示軌跡的運(yùn)動(dòng)方向。由圖可見，當(dāng)選取不同的物理參量時(shí)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)也不相同(圖中選取的參數(shù)的固定值為C0=80 m/s，F(xiàn)1=1 kN，B0=0.01 T，J0=2 A/mm2)。圖32為當(dāng)P0=50 N/m時(shí)選取不同的時(shí)變速度擾動(dòng)量時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)，其中時(shí)變速度C1=0時(shí)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)S1，其共振幅值大小a=0.1454；C1=5 m/s時(shí)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)S2，其共振幅值a=0.1492。圖33為當(dāng)C1=6 m/s，選取不同的強(qiáng)迫激勵(lì)幅值時(shí)對(duì)應(yīng)的三個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)，激勵(lì)幅值大小P0=30 N/m時(shí)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)S1，其共振幅值a=0.0322；P0=70 N/m時(shí)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)S2，其共振幅值a=0.1658；P0=150 N/m時(shí)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)S3，其共振幅值a=0.1797。從圖中可得，改變系統(tǒng)物理參量的大小，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響也很明顯。

圖32 C1=0 m/s,C1=5 m/s動(dòng)相平面軌跡圖

圖33 P0=30 N/m，P0=70 N/m,P0=150 N/m動(dòng)相平面軌跡圖

圖34～圖42中,軸向拉力F0=10 kN，時(shí)變拉力擾動(dòng)量F1=1 kN，電流密度J0=2 A/mm2時(shí)，選取不同的軸向恒定速度C0，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0和強(qiáng)迫激勵(lì)幅值P0，從而得到反映系統(tǒng)具體運(yùn)動(dòng)形式的時(shí)間歷程圖(時(shí)程圖)、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。圖34～圖36為取C1=8 m/s，B0=0.02 T，

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖34 軸向速度C0=65 m/s時(shí)的系統(tǒng)單周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖35 軸向速度C0=80 m/s時(shí)的系統(tǒng)二倍周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖36 軸向速度C0=95 m/s時(shí)的系統(tǒng)單周期響應(yīng)

P0=5.5 kN/m時(shí)，改變軸向恒定速度C0得到的時(shí)間歷程圖、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當(dāng)軸向恒定速度取C0=65 m/s時(shí)，龐加萊映射圖表現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)，軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)呈現(xiàn)為單周期運(yùn)動(dòng)；增大軸向恒定速度，當(dāng)C0=80 m/s時(shí)，龐加萊映射圖表現(xiàn)為兩個(gè)分散的點(diǎn)，系統(tǒng)呈現(xiàn)為二倍周期運(yùn)動(dòng)；繼續(xù)增大軸向恒定速度，當(dāng)C0=95 m/s時(shí)，龐加萊映射圖又變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)進(jìn)入單倍周期運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。

圖37～圖39所示為取C0=80 m/s，C1=6 m/s，P0=5.5 kN/m時(shí)，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度B0得到的時(shí)間歷程圖(時(shí)程圖)、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度取B0=0時(shí)，龐加萊映射圖顯示為多個(gè)點(diǎn)，并呈現(xiàn)為封閉曲線，軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)呈現(xiàn)為概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，當(dāng)B0=0.06 T時(shí)，龐加萊映射圖顯示為兩個(gè)分散的點(diǎn)，系統(tǒng)呈現(xiàn)為二倍周期運(yùn)動(dòng)；繼續(xù)增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，當(dāng)B0=0.08 T時(shí)，龐加萊映射圖又變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)表現(xiàn)為單倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖37 磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0時(shí)的系統(tǒng)概周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖38 磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0.06 T時(shí)的系統(tǒng)二倍周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖39 磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0.08 T時(shí)的系統(tǒng)單周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖40 磁感應(yīng)強(qiáng)度P0=4 kN/m時(shí)的系統(tǒng)單周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖41 磁感應(yīng)強(qiáng)度P0=5.5 kN/m時(shí)的系統(tǒng)二倍周期響應(yīng)

(a)時(shí)程圖

(b)相軌跡圖 (c)龐加萊映射圖圖42 磁感應(yīng)強(qiáng)度P0=9.95 kN/m時(shí)的系統(tǒng)三倍周期響應(yīng)

圖40～圖42所示為取C0=80 m/s，C1=6 m/s，B0=0.02 T時(shí)，改變強(qiáng)迫激勵(lì)幅值P0得到的時(shí)間歷程圖、相軌跡圖以及龐加萊映射圖。當(dāng)強(qiáng)迫激勵(lì)幅值取P0=4 kN/m時(shí)，龐加萊映射圖為一個(gè)點(diǎn)，軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)為單倍周期運(yùn)動(dòng)；增大強(qiáng)迫激勵(lì)幅值，當(dāng)P0=5.5 kN/m時(shí)，龐加萊映射圖為兩個(gè)分散的點(diǎn)，系統(tǒng)表現(xiàn)為二倍周期運(yùn)動(dòng)；繼續(xù)增大強(qiáng)迫激勵(lì)幅值，當(dāng)P0=9.95 kN/m時(shí)，龐加萊映射圖變?yōu)槿齻€(gè)點(diǎn)，軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)為三倍周期運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)論

(1)系統(tǒng)的主共振-主參數(shù)共振幅頻響應(yīng)具有跳躍和明顯的多值變化現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)解的數(shù)值及穩(wěn)定性依賴于初始值。

(2)隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度的增大，會(huì)出現(xiàn)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)解過(guò)渡到多個(gè)穩(wěn)態(tài)解的情況，且多值區(qū)域呈現(xiàn)右移趨勢(shì)。

(3)隨著磁場(chǎng)、速度、激勵(lì)力等參數(shù)的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的單倍、多倍周期及概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

[1] Yan Qiaoyun，Ding Hu，Chen Liqun.Nonlinear Dynamics of Axially Moving Viscoelastic Timoshenko Beam under Parametric and External Excitations[J].Applied Mathematics and Mechanics，2015，36(8)：971-984.

[2] 胡宇達(dá)，張立保.軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電導(dǎo)磁梁的磁彈性振動(dòng)方程[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2015，36(1)：70-77. Hu Yuda，Zhang Libao.Magneto-elastic Vibration Equations for Axially Moving Conductive and Magnetic Beams[J].Applied Mathematics and Mechanics，2015，36(1)：70-77.

[3] Chen Liqun，Yang Xiaodong.Steady-state Response of Axially Moving Viscoelastic Beams with Pulsating Speed：Comparison of Two Nonlinear Models[J].International Journal of Solids and Structures，2005，42(1)：37-45.

[4] Chakraborty G，Mallik A K.Parametrically Excited Non-linear Traveling Beams with and without External Forcing[J].Nonlinear Dynamics，1998，17(4)：301-324.

[5] 胡宇達(dá)，孫建濤，張金志.橫向磁場(chǎng)中軸向變速運(yùn)動(dòng)矩形板的參數(shù)振動(dòng)[J].工程力學(xué)，2013，30(9)：299-304. Hu Yuda，Sun Jiantao，Zhang Jinzhi.Parametric Vibration of Axially Accelerating Rectangular Platein Transverse Magnetic Field[J].Engineering Mechanics，2013，30(9)：299-304.

[6] Tang Youqi，Chen Liqun，Yang Xiaodong.Parametric Resonance of Axially Moving Timoshenko Beams with Time-dependent Speed[J].Nonlinear Dynamics，2009，58(4)：715-724.

[7] Hu Yuda，Zhang Jinzhi.Principal Parametric Resonance of Axially Accelerating Rectangular Thin Plate in Magnetic Field[J].Applied Mathematics and Mechanics，2013，34(11)：1405-1420.

[8] Chen Liqun，Tang Youqi，Lim C W.Dynamic Stability in Parametric Resonance of Axially Accelerating Viscoelastic Timoshenko Beams[J].Journal of Sound and Vibration，2010，329(5)：547-565.

[9] Tondl A.Parametric Vibration of a Non-linear System[J].Archive of Applied Mechanics，1976，45(5)：317-322.

[10] Matyash V I.Parametric Vibration of Viscoelastic Beams[J].Polymer Mechanics，1974，10(1)：95-99.

[11] Barun P，Santosha K D.Nonlinear Vibrations and Frequency Response Analysis of a Cantilever Beam under Periodically Varying Magnetic Field[J].Mechanics Based Design of Structures and Machines，2011，39(3)：378-391.

[12] 周又和，鄭曉靜.電磁固體結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[13] 劉延柱，陳立群.非線性振動(dòng)[M].北京：高等教育出版社，2001.

(編輯 王旻玥)

Combined Parametric and Forced Resonance of an Axially Accelerating and Current-Carrying Beam under Magnetic Field

Hu Yuda Rong Yantian

Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures，Yanshan University，Qinhuangdao,Hebei, 066004

Combired parametric and forced resonance of an axially accelerating and current-carrying beam which was subjected to harmonic excitation under magnetic field was investigated. The elastic mechanics theory, electromagnetic field theory and Hamilton variational principle were applied to establish the nonlinear magnetoelastic coupling vibration equation of the axially accelerating and current-carrying beam. The time variables and the space variables were firstly discretized using Galerkin integral method, then multiscale method and coordinate transformation method were utilized and the amplitude-frequency response equation was obtained. Through calculation examples, the corresponding amplitude frequency response curves with different parameters, the time history response diagrams, phase plot, poincare map and dynamic phase trajectory graph of the resonance system were acquired and the effects of axial velocity, axial tension, magnetic induction intensity, electric current density and forced excitation on primary resonance-principal parametric resonance characteristics of the system were analyzed. The results show that the system presents typical nonlinear vibration characteristics and complex dynamics behavior.

current-carrying beam；primary resonance-principal parametric resonance；magnetic field；axial movement

2016-06-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472239)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2015203023)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究資助重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD20131055)

O322; O442

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.013

胡宇達(dá)，男，1968年生。燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)與控制、電磁彈性力學(xué)。發(fā)表論文100余篇。戎艷天，女，1990年生。燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院碩士研究生。