王競(jìng)進(jìn)

探解題方法 悟價(jià)值取向
——基于一道中考試題的分析

王競(jìng)進(jìn)

對(duì)于一道高質(zhì)量的中考試題，教師既要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探求試題的解法，又要挖掘試題背后所隱含的教學(xué)價(jià)值。教師在平時(shí)的教學(xué)中要以試題或例題為載體，使得解題教學(xué)從純粹的學(xué)習(xí)解題方法走向?qū)W習(xí)學(xué)科思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

例題教學(xué)；解法分析；運(yùn)算能力；價(jià)值取向

一道高質(zhì)量的中考試題，能夠反映出命題者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的深度領(lǐng)悟、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的準(zhǔn)確把握以及對(duì)今后教學(xué)工作的期待和導(dǎo)向。有研究者提出，衡量中考數(shù)學(xué)試題質(zhì)量的高低，首先是看在符合中考性質(zhì)的前提下，其試題立意的高低。試題的基本價(jià)值立場(chǎng)、價(jià)值態(tài)度以及所表現(xiàn)出來(lái)的基本價(jià)值傾向和對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)與促進(jìn)作用就是試題的價(jià)值取向。筆者以為2016年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試題第18題就是一道高質(zhì)量的試題，本題無(wú)論在知識(shí)立意還是能力考查方面，都充分體現(xiàn)了命題者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握和對(duì)今后教學(xué)工作的導(dǎo)向。本文試以此題為例，探究不同的解答方法，感悟其蘊(yùn)含的價(jià)值取向。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上。若將△AEF沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)G處，則EF=_______。

圖1

二、試題解答探究

本題的圖形中是否隱含著基本圖形呢？由于四邊形ABCD是菱形且∠A=60°，因此，其中隱含著兩個(gè)等邊三角形，分別為△ABD和△BCD。同時(shí)，圖形中的△AEF與△CEF是關(guān)于EF折疊，因此AG必定被折線EF垂直平分，點(diǎn)O為線段AG的中點(diǎn)，因此，利用圖形的性質(zhì)構(gòu)造分別含有線段EO和FO的兩個(gè)三角形相似，便可求得其長(zhǎng)度，因此，得到如下解法。

【解法一】如圖2，連接BG、AG、BD，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD，垂足為H。設(shè)AG、BF交于點(diǎn)O。

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB∥CD，BC= CD。

因?yàn)椤螦=60°，所以∠C=60°，所以△BCD是等邊三角形。

因?yàn)辄c(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，所以∠BGC=90°，∠ABG=90°。

除了上述的解法一外，是否還有其他解法呢？由于圖形中的△AEF與△GEF是關(guān)于EF折疊，因此AG必定被折線EF垂直平分，即四邊形AEGF的對(duì)角線互相垂直，由菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，可以聯(lián)想到類推對(duì)角線互相垂直的四邊形面積也等于對(duì)角線乘積的一半，因而從圖形面積的等積角度展開探索，得到了如下的解法。

【解法二】如圖2，連接BG、AG、BD，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD，垂足為H。設(shè)AG、BF交于點(diǎn)O。

圖2

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB∥CD，BC= CD。

因?yàn)椤螦=60°，所以∠C=60°，所以△BCD是等邊三角形。

因?yàn)辄c(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，所以∠BGC=90°。

因?yàn)椤鰽EF與△GEF是關(guān)于 EF折疊的，△AEF≌△GEF，所以AE=EG，AF=FG。

解法一與解法二都是利用隱含的線段BG與邊CD垂直關(guān)系，分別構(gòu)造相似的兩對(duì)三角形求得邊長(zhǎng)以及應(yīng)用勾股定理求得線段長(zhǎng)。能否直接以線段EF為直角三角形的邊進(jìn)行入手呢？因此，沿著這樣的思路，得到了如下的解法。

【解法三】如圖3，連接BG、AG、BD，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)I。

圖3

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠A=60°，所以∠IDF=60°，DF=2DI，F(xiàn)I=

同方法二，可得AF=FG。設(shè)DI=x，則DF=2x，F(xiàn)I=

Rt△GFI中，IF2+GI2=FG2，即解得即AF=FG=2-2x=

當(dāng)然，如果將菱形ABCD放到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，那么圖形中的點(diǎn)B、C、D、G的坐標(biāo)都是確定的，因此，圖形中的點(diǎn)E、F的坐標(biāo)也是確定的，則線段EF的長(zhǎng)度也是確定的，由此可以得到了基于坐標(biāo)系的第四種解法。（具體過(guò)程略）

三、教學(xué)價(jià)值取向分析

首先，重視課本例題、習(xí)題的教學(xué)。

本題源于蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第95頁(yè)第21題：在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。

（1）將矩形紙片沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處(如圖4-①)，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)；

（2）將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合(如圖4-②)，求折痕GH的長(zhǎng)。

圖4-①

圖4-②

本題較好地體現(xiàn)了命題設(shè)計(jì)源于課本又高于課本的理念，本題的設(shè)計(jì)重心落腳在考查學(xué)生對(duì)特殊平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圖形變換的性質(zhì)、圖形的全等、相似和勾股定理等知識(shí)的掌握，同時(shí)考查了學(xué)生運(yùn)算能力和方程思想的運(yùn)用。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要重視教材中典型例題和習(xí)題的應(yīng)用，靈活地以課本習(xí)題為母題進(jìn)行深入研究、適度的演變、引申和拓展，科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、分析、總結(jié)、發(fā)展，以鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的形成。

其次，重視基本圖形的積累教學(xué)。

一道綜合題中往往都蘊(yùn)含著一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形，只要平時(shí)加強(qiáng)基本圖形的教學(xué)，掌握好基本圖形及其性質(zhì)，能從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，再?gòu)幕緢D形出發(fā)進(jìn)行推理，由基本圖形的類比、變化中得到解題思路，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜圖形的基本化。本題的解法盡管并不唯一，但他們都抓住了圖形中的基本圖形，因而出現(xiàn)了從不同的思維角度解決問(wèn)題的策略。解法一，能夠根據(jù)菱形ABCD中∠A=60°，聯(lián)想到圖形中隱含著兩個(gè)等邊三角形，并從等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)入手，構(gòu)造了兩對(duì)三角形相似求得線段長(zhǎng)；解法二，根據(jù)圖形中隱含的四邊形對(duì)角線互相垂直，聯(lián)想到由菱形的面積公式，并類推其面積也等于對(duì)角線乘積的一半，再?gòu)膱D形面積相等這一角度展開探索求得結(jié)果；解法三，直接以所求線段為直角三角形的斜邊構(gòu)造直角三角形，以直角三角形為基本圖形展開探求對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)的過(guò)程；解法四，能夠根據(jù)圖形的特征將其放到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，得到圖形中的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的函數(shù)表達(dá)式，因此，抓住圖形中的基本點(diǎn)E、F的坐標(biāo)求得線段EF的長(zhǎng)度。

最后，重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。

從考生考后反饋的信息來(lái)看，不少學(xué)生認(rèn)為本題的解題思路有了，但由于自己的計(jì)算基本功不扎實(shí)，而導(dǎo)致沒有能夠求得正確的結(jié)果?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！薄霸凇?dāng)?shù)與代數(shù)’的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。”因此，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的核心素養(yǎng)之一，平時(shí)的教學(xué)不可忽視，更不能以“運(yùn)算耽誤時(shí)間”“影響思考時(shí)間”而降低運(yùn)算能力的培養(yǎng)。教學(xué)中，我們要讓學(xué)生養(yǎng)成計(jì)算步步有根據(jù)、有充足的理由的習(xí)慣，提醒學(xué)生注意運(yùn)算的順序，提高運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性。

［1］左坤.中考數(shù)學(xué)試題的價(jià)值取向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2010（12）.

［2］董林偉.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)［M］.南京：江蘇科技出版社，2014.

［3］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

G633.6

A

1005-6009（2016）54-0034-03

王競(jìng)進(jìn)，江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)（江蘇建湖，224000）教師，高級(jí)教師，鹽城市學(xué)科帶頭人。