郭 輝，屈 哲，鄭 虹

(青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555)

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案例教學(xué)在大學(xué)?？茢?shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用

郭 輝，屈 哲，鄭 虹

(青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555)

圍繞實(shí)現(xiàn)大學(xué)?？茖哟螌W(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)，以運(yùn)籌學(xué)中的加工方式選擇問題為教學(xué)案例，通過將案例教學(xué)法具體運(yùn)用到該問題的準(zhǔn)備、分析、討論、歸納總結(jié)等各教學(xué)階段，論證了案例教學(xué)在大學(xué)專科數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的必要性、可行性、有效性問題。

案例教學(xué)；數(shù)學(xué)建模；?？?；線性規(guī)劃

一、案例與案例教學(xué)

案例就是為實(shí)現(xiàn)一定的教學(xué)目的，以事實(shí)為素材編寫的對(duì)某一實(shí)際情境的客觀描述。案例通常具有真實(shí)性、完整性、典型性和啟發(fā)性等特點(diǎn)。教學(xué)中所選擇的案例應(yīng)該能夠引人深思，啟迪思路，幫助學(xué)生深化理解教學(xué)內(nèi)容[1]。

案例教學(xué)，即教育者以案例為基本教學(xué)材料，通過師生之間、學(xué)生之間的多向互動(dòng)、平等對(duì)話和積極研討等形式，通過分析解決案例所設(shè)定的問題，做出決策的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)不僅強(qiáng)調(diào)教師的“教”(引導(dǎo))，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的“學(xué)”(研討)，主要特點(diǎn)包括：(1)明確的目的性，即在案例教學(xué)中，案例的編寫和教學(xué)設(shè)計(jì)，都為了實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)；(2)結(jié)果多元性，即案例教學(xué)不刻意尋找惟一答案，但可從多種解答中選出最佳答案；(3)學(xué)生的主體地位，在案例教學(xué)中，學(xué)生是案例教學(xué)的主體，教師的職責(zé)是精心編寫案例，指導(dǎo)課堂討論，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，積極參與到案例所描述的情境中，充分體驗(yàn)案例角色，對(duì)案例進(jìn)行分析、討論，在此過程中相互學(xué)習(xí)提高；(4)較強(qiáng)的綜合性，案例的分析需要學(xué)生具備相應(yīng)的理論知識(shí)，還應(yīng)審時(shí)度勢(shì)、權(quán)衡應(yīng)變、果斷決策，需要學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)和交流技巧來處理案例中涉及的問題，提高分析和解決實(shí)際問題的能力[2]。

二、大學(xué)?？茢?shù)學(xué)建模課程的教學(xué)規(guī)劃

(一)大學(xué)專科教育培養(yǎng)目標(biāo)

大學(xué)?？平逃俏覈?guó)高等教育的重要組成部分，其培養(yǎng)目標(biāo)和對(duì)象不同于普通本科教育，目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，對(duì)象是面向生產(chǎn)和服務(wù)一線崗位所需要的技術(shù)技能型人才。這類人才主要從事技術(shù)性管理或高智能技術(shù)操作或技術(shù)服務(wù)，其知識(shí)能力結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是:專業(yè)技術(shù)知識(shí)面寬、實(shí)踐能力強(qiáng)。

(二)數(shù)學(xué)建模在大學(xué)?？平逃w系中的作用

數(shù)學(xué)作為大學(xué)專科重要的基礎(chǔ)課程，不僅能夠培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力，而且在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)理性精神方面也發(fā)揮重要作用，同時(shí)還是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，在人才培養(yǎng)過程中起基礎(chǔ)性作用。但目前大學(xué)?？茢?shù)學(xué)教學(xué)存在著理念落后、學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不足、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力較低等問題，這些問題制約著大學(xué)專科學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，根據(jù)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》，大學(xué)專科數(shù)學(xué)教學(xué)改革應(yīng)該體現(xiàn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的總目標(biāo)，體現(xiàn)學(xué)生邏輯思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，教學(xué)應(yīng)由“教師為中心”向“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”轉(zhuǎn)變。而作為聯(lián)系數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問題橋梁作用的數(shù)學(xué)建模教學(xué)正好適應(yīng)了這一要求，體現(xiàn)了大學(xué)專科數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重應(yīng)用性的特點(diǎn)，所以大學(xué)專科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模就成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要抓手。

(三)大學(xué)?？茢?shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持案例教學(xué)

數(shù)學(xué)建模采取案例教學(xué)就是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過對(duì)實(shí)際案例的分析與討論，系統(tǒng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法綜合分析和解決實(shí)際問題，把學(xué)生從課堂的被動(dòng)位置推到主動(dòng)位置上，學(xué)生通過對(duì)實(shí)際問題分析、討論和比較，尋求解決問題的最佳方案，這種教學(xué)方法有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，較好地解決理論聯(lián)系實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模教學(xué)強(qiáng)調(diào)對(duì)實(shí)際問題的分析和討論，要求學(xué)生從不同立場(chǎng)、不同角度分析問題，注重問題的解決過程和解決方法，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和創(chuàng)新能力[3]。這一過程體現(xiàn)了應(yīng)用型人才的培養(yǎng)要求，與大學(xué)?？平逃囵B(yǎng)目標(biāo)一致，因此，在大學(xué)?？茢?shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持案例教學(xué)法。

三、數(shù)學(xué)建模課程案例教學(xué)實(shí)施方案

數(shù)學(xué)建模課程案例教學(xué)實(shí)施方案大致可分為準(zhǔn)備階段、分析階段、討論階段和總結(jié)階段[4]，案例教學(xué)實(shí)施流程如圖1所示。本部分通過以運(yùn)籌學(xué)中線性規(guī)劃模型中的加工方式選擇問題為例，論證數(shù)學(xué)建模采取案例教學(xué)的實(shí)施方案。

圖1 案例教學(xué)實(shí)施流程

(一)準(zhǔn)備階段

準(zhǔn)備階段是順利實(shí)施數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)的重要保證，為了培養(yǎng)學(xué)生掌握線性規(guī)劃的理論和方法，教師根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫如下實(shí)際案例：某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)4000件A產(chǎn)品，該產(chǎn)品可以自己加工，也可以外協(xié)加工，生產(chǎn)的固定成本、單件成本每種生產(chǎn)形式的最大加工數(shù)量等具體要求如表1所示，針對(duì)這一生產(chǎn)過程，該企業(yè)怎樣安排產(chǎn)品加工，才會(huì)使生產(chǎn)總成本最小。這一教學(xué)案例實(shí)際上就是為培養(yǎng)學(xué)生掌握“加工方式選擇問題”而設(shè)計(jì)的[5]。為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的，教師應(yīng)首先進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，明確案例教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程和教學(xué)手段，然后確定案例教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，最后擬定具體的案例教學(xué)計(jì)劃，明確學(xué)生需要在課前查閱的運(yùn)籌學(xué)相關(guān)知識(shí)，理解線性規(guī)劃模型解決問題的范圍和方案，掌握加工方式選擇這類問題特點(diǎn)及其所需的建模方法，要求學(xué)生在課前準(zhǔn)備期間掌握Lingo，Matlab等相關(guān)數(shù)學(xué)軟件在運(yùn)籌學(xué)中的運(yùn)用等，再根據(jù)學(xué)生的課前準(zhǔn)備情況進(jìn)行合理分組。

表1 企業(yè)產(chǎn)品加工具體要求

(二)案例分析階段

作為案例教學(xué)的組織者，教師在該階段需全面分析案例教學(xué)本身的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，把握案例中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，以便處理課堂討論的時(shí)間分配、提示程度等問題；確定案例涉及的基本原理，引導(dǎo)學(xué)生在思考和討論案例時(shí)學(xué)習(xí)運(yùn)用相應(yīng)的理論與方法。案例教學(xué)還需教師剖析案例所蘊(yùn)含的深層次的教育價(jià)值，明確各個(gè)案例之間的教學(xué)聯(lián)系，將《數(shù)學(xué)建?！氛T課的教學(xué)作為一個(gè)整體通盤考慮，從而使案例教學(xué)克服就事論事、各個(gè)案例的教學(xué)支離破碎的弊端。

具體到每一次案例教學(xué)，教師需要從學(xué)生的課前準(zhǔn)備情況和案例內(nèi)容兩個(gè)方面進(jìn)行深入分析，根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)對(duì)所編寫的教學(xué)案例寫出細(xì)致而全面的案例分析提綱，這樣教師可以有效地調(diào)控整個(gè)教學(xué)過程，為教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)引導(dǎo)與評(píng)價(jià)提供依據(jù)。在案例分析過程中教師應(yīng)掌握各分組不同學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況，根據(jù)對(duì)學(xué)生的分析進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生分組，使各分組都組成最佳組合，分組確定后，各小組需對(duì)案例的解決方案進(jìn)行深入分析，教師可根據(jù)學(xué)生的分析情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，將可能出現(xiàn)的根本性錯(cuò)誤及時(shí)予以糾正，將學(xué)生沒有掌握的必要性知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行啟發(fā)性講解，比如針對(duì)加工方式選擇問題，各小組在分析固定成本與生產(chǎn)方式的關(guān)系問題時(shí)，對(duì)于變量表示等技巧性問題，若學(xué)生運(yùn)用不恰當(dāng)，教師需采取啟發(fā)教學(xué)法給予必要的提示，例如根據(jù)案例所設(shè)定的條件，某一種生產(chǎn)方式可以被采用，也可以不被采用，若該種生產(chǎn)方式被采用，其固定成本才產(chǎn)生費(fèi)用，否則就不產(chǎn)生費(fèi)用，固定成本與生產(chǎn)方式的這種關(guān)系應(yīng)該采用0-1變量來表示[6]，否則最優(yōu)的數(shù)學(xué)模型將難以建立，具體可設(shè)第j(j=1,2,3) 種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品數(shù)量為xj件，令：

中j=1,2,3

由此可得第j種生產(chǎn)方式的費(fèi)用可表示為：

cj=ajy1+cjxj

式中aj是固定成本，cj單位產(chǎn)品成本。

(三)案例討論階段

在數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)中，教師和學(xué)生在對(duì)案例進(jìn)行分析之后，就進(jìn)入了組織討論階段，案例討論是案例教學(xué)的主體和中心環(huán)節(jié)。案例討論就是以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生自主地、獨(dú)立地深入思考，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析與處理案例所涉及的問題，在數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)中，可先進(jìn)行小組討論后進(jìn)行班級(jí)討論。小組討論在個(gè)人分析的基礎(chǔ)上，小組成員集體對(duì)案例進(jìn)行細(xì)致、深入、全面地討論，對(duì)解決問題的多種選擇方案的取舍、利弊及其后果進(jìn)行重點(diǎn)討論，小組成員之間相互交流，每位學(xué)生都積極發(fā)言、參與討論，然后各小組寫出全面詳細(xì)的分析報(bào)告，進(jìn)行全班討論。班級(jí)討論需要由每個(gè)小組選派一名代表做中心發(fā)言，向全班同學(xué)陳述本小組的案例分析報(bào)告，主要包括對(duì)案例的理解、分析、判斷、論證和決策過程，解決問題的實(shí)施方案和步驟說明，并對(duì)實(shí)施效果進(jìn)行分析，小組其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充，各小組都匯報(bào)完各自的工作后，教師組織全體學(xué)生對(duì)各小組的工作進(jìn)行分析、討論、評(píng)價(jià)，最佳結(jié)果往往是在激烈地爭(zhēng)論和反復(fù)交流中逐步得到。

對(duì)于加工方式選擇這一教學(xué)案例，在確定生產(chǎn)方式的費(fèi)用核算這一關(guān)鍵點(diǎn)后，就需要通過討論進(jìn)一步明確實(shí)現(xiàn)總成本最低的約束條件，產(chǎn)品總數(shù)量約束為：x1≤1500,x2≤2000，yj和xj的關(guān)系線性化為：xj≤Myj，j=1,2,3，其中M是一很大的常數(shù)，此處可取為4000。當(dāng)xj>0時(shí)，yj=1，xj=0時(shí)，為使總成本f最小，則yj=0；變量約束為：xj≥0，且為整數(shù)，j=1，2，3。

確定約束條件后，總成本的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)設(shè)為：

f=(500y1+8x1)+(800y2+5x2)+(600y3+7x3)

至此初步建立起了該案例的數(shù)學(xué)模型，由于決策變量既有0-1變量又有整數(shù)變量，所以可用混合線性規(guī)劃最終建立該案例的數(shù)學(xué)模型[7]，根據(jù)最終的討論結(jié)果，建立混合線性規(guī)劃模型為：

f=(500y1+8x1)+(800y2+5x2)+(600y3+7x3)

圖2 案例教學(xué)實(shí)施流程

圖3 Lingo求解結(jié)果

圖4 求解結(jié)果的總結(jié)分析

數(shù)學(xué)模型成功建立后，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解，各小組所采用的數(shù)學(xué)軟件可能不同，通過對(duì)各種數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行比較，由于Lingo軟件作為求解線性規(guī)劃問題的專業(yè)軟件，比Matlab簡(jiǎn)潔實(shí)用[8]，易于學(xué)生理解掌握，所以可以選用Lingo軟件對(duì)該案例模型進(jìn)行求解，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型編寫的Lingo計(jì)算程序如圖2所示，求解結(jié)果如圖3所示，對(duì)求解結(jié)果的總結(jié)分析如圖4所示。

根據(jù)對(duì)Lingo軟件的運(yùn)行結(jié)果分析可得，為使總成本最小，企業(yè)對(duì)該批產(chǎn)品的最優(yōu)加工方案：采用外協(xié)加工Ⅰ加工2000件，采用外協(xié)加工Ⅱ加工2000件，不采用本企業(yè)的加工方式，總成本最低為25400元。

案例討論是案例教學(xué)的主要形式，在這一過程中，教師不再是傳統(tǒng)的課程內(nèi)容的講授者，而要成為案例討論的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生也不再是傳統(tǒng)意義上的學(xué)習(xí)者，而是積極的參與者和分享者，不斷在交流中吸取他人的成功理念，提高自己分析問題解決問題的能力[9]。案例討論的有效進(jìn)行，依賴于教師和學(xué)生角色的成功轉(zhuǎn)化和有效引導(dǎo)和參與。

(四)案例教學(xué)歸納總結(jié)

在教師的積極引導(dǎo)下，經(jīng)過全班同學(xué)的激烈討論，得到案例的最優(yōu)解決方案，教師需根據(jù)該最優(yōu)解決方案，結(jié)合學(xué)生對(duì)案例分析和交流的情況做出歸納和總結(jié)，總結(jié)教學(xué)中選擇的案例是否符合大學(xué)?？平逃囵B(yǎng)目標(biāo)，是否符合教學(xué)設(shè)計(jì)要求，是否可以提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，案例教學(xué)在課前準(zhǔn)備、分析、討論、歸納總結(jié)等各階段的組織是否恰當(dāng)，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是否突出，對(duì)教學(xué)實(shí)施的安排是否與教學(xué)設(shè)計(jì)相符，案例教學(xué)是否達(dá)到了預(yù)期目的等等，通過歸納和總結(jié)本次案例教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)為下一次案例教學(xué)積累成功經(jīng)驗(yàn)。

結(jié)語

為提高大學(xué)專科層次學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)其培養(yǎng)目標(biāo)，通過在運(yùn)籌學(xué)的“加工方式選擇問題”中運(yùn)用案例教學(xué)法，論證了案例教學(xué)在大學(xué)專科數(shù)學(xué)建模教學(xué)中是非常必要、可行和有效的，研究表明數(shù)學(xué)建模采取案例教學(xué)符合應(yīng)用型人才的培養(yǎng)要求，能夠顯著提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和創(chuàng)新精神，可以作為實(shí)現(xiàn)大學(xué)?？茖W(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的一種教學(xué)手段。

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(責(zé)任編輯：高 曼)

10.3969/j.issn.1009-2080.2016.06.023

2016-11-09

青島濱海學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2014J10)。

郭輝(1971-)，男，山東青島人，青島濱海學(xué)院講師，碩士。

G642.4

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1009-2080(2016)06-0101-04