劉俊，周鵬

(燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004)

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譜聚類在給水管網(wǎng)分區(qū)優(yōu)化中的應用

劉俊，周鵬

(燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004)

利用圖劃分技術和圖論算法實現(xiàn)給水管網(wǎng)分區(qū)。根據(jù)給水管網(wǎng)分析，確定分區(qū)數(shù)量，建立權重鄰接矩陣并計算圖拉普拉斯矩陣及其特征向量，通過多路圖劃分對隱藏在特征向量中的聚類信息進行數(shù)據(jù)挖掘，采用遺傳算法和K均值方法實現(xiàn)最佳節(jié)點聚類。利用PageRank和最短路徑算法確定水表和閥門位置，最終實現(xiàn)給水管網(wǎng)優(yōu)化分區(qū)。實際給水管網(wǎng)模型分區(qū)實例表明所提方法在給水管網(wǎng)分區(qū)的有效性。

給水管網(wǎng)；分區(qū)；聚類；優(yōu)化

給水管網(wǎng)分區(qū)是在系統(tǒng)性能影響最小的情況下通過安裝閥門、水表形成獨立供水區(qū)域，便于優(yōu)化調度、漏損控制等各方面的管理，以適應信息化、智能化、精細化的要求[1-5]。管網(wǎng)分區(qū)目的是獲得規(guī)模均等，壓力、水質均衡的分區(qū)。由于管網(wǎng)的高度復雜性以及眾多技術要求和制約因素，使得分區(qū)這一問題面臨較大挑戰(zhàn)。

目前，管網(wǎng)分區(qū)優(yōu)化方法主要有圖論算法和復雜網(wǎng)絡聚類算法。圖論分區(qū)算法主要使用搜索算法獲得管網(wǎng)拓撲結構。其中，廣度優(yōu)先搜索算法在DMA規(guī)模約束下，搜索與某一節(jié)點路徑最短的節(jié)點集，當滿足設定規(guī)模時，搜索終止，則可得到滿足要求的分區(qū)。這類方法可獲得各種分區(qū)方案供決策者選定[6]，或者通過模型分析獲得水力最優(yōu)方案[7]。相比于廣度優(yōu)先搜索算法的局部搜索，深度優(yōu)先搜索算法可從整體上獲得給水管網(wǎng)樹狀結構，并通過優(yōu)化算法獲得減壓閥最佳位置，進而實現(xiàn)分區(qū)[8],或者確定各水源供水范圍[9]。另外，也可以最短路徑算法為基礎，通過壓力均衡性確定分區(qū)[10]，或者通過管道介數(shù)中心性選定閥門、水表位置，以實現(xiàn)分區(qū)[11]。

在復雜網(wǎng)絡聚類中，同一聚類內節(jié)點連接緊密，而不同聚類間節(jié)點連接相對稀疏，這與管網(wǎng)分區(qū)的內在要求一致。相應聚類算法包括計算機科學中的圖劃分和社會學中的社團發(fā)現(xiàn)。圖劃分將復雜網(wǎng)絡聚類轉換為優(yōu)化問題，如Nardo等[12]人使用多層次遞歸二分法自動獲得規(guī)模均等的分區(qū)布局。社團發(fā)現(xiàn)則將分區(qū)問題轉換為模塊度等啟發(fā)式規(guī)則的設計問題，其中刁克功等[13]在管網(wǎng)分區(qū)中首次引入社區(qū)發(fā)現(xiàn)貪心算法進行給水管網(wǎng)分區(qū)。Giustolisi等[14]引入管道權重提出了給水管網(wǎng)設施模塊度，可以發(fā)現(xiàn)更小規(guī)模的結構。另外,也有其他相似度的度量方式用于給水管網(wǎng)分區(qū)，如按照節(jié)點位置信息采用K-均值聚類，以此為基礎形成供水管網(wǎng)規(guī)劃方案[15]，或者按照節(jié)點水壓波動相似性分區(qū)，確定最優(yōu)壓力監(jiān)測點[16]。

筆者提出一種基于復雜網(wǎng)絡譜聚類和圖論算法的給水管網(wǎng)分區(qū)方法。目的是在盡量降低分區(qū)不利影響的前提下，根據(jù)給水管網(wǎng)拓撲結構，利用數(shù)據(jù)挖掘發(fā)現(xiàn)隱含在其中的結構聚類信息，確定節(jié)點聚類，繼而實現(xiàn)滿足要求的分區(qū)。

1 給水管網(wǎng)分區(qū)方法

所提出的分區(qū)流程主要包含3個部分：

1)數(shù)據(jù)輸入：管網(wǎng)分析與模擬，確定分區(qū)數(shù)量，建立權重矩陣。

2)實現(xiàn)分區(qū)：圖拉普拉斯矩陣求解，根據(jù)第二特征向量，采用多路圖劃分確定各分區(qū)內節(jié)點聚類，即確定分區(qū)范圍。

3)確定閥門、水表位置：PageRank算法確定每個分區(qū)中心節(jié)點，水源到該節(jié)點的最短路徑中確定水表位置，其他分區(qū)間連接管道則為閥門位置。

1.1 給水管網(wǎng)分區(qū)數(shù)量的確定

給水管網(wǎng)分區(qū)數(shù)量需要根據(jù)分區(qū)目的、系統(tǒng)規(guī)模、分區(qū)大小、成本等綜合確定。本方法旨在通過發(fā)現(xiàn)給水管網(wǎng)內在聚類結構，實現(xiàn)分區(qū)設計，因此，在獲得指定數(shù)量的分區(qū)時，每個分區(qū)的規(guī)模不是嚴格相同。

1.2 規(guī)范化拉普拉斯矩陣

(1)

(2)

圖的拉普拉斯矩陣為L=D-A，其元素Lij表示為

(3)

矩陣L的所有特征值稱為圖G的拉普拉斯譜，最小特征值λ1對應的特征向量稱為第一特征向量，不包含任何聚類信息，所需要的聚類信息存在于其他的特征向量，稱為第二特征向量。

傳統(tǒng)圖劃分最小割算法以最小化割邊為目標，這可能導致分區(qū)時規(guī)模的不均衡。為此采用規(guī)范化割集準則，規(guī)范化拉普拉斯矩陣為

(4)

譜平分法利用第二小特征值對應的特征向量實現(xiàn)兩個分區(qū)的優(yōu)化劃分。如果需要得到多個分區(qū)，則需要對子分區(qū)重復該方法。為了提高分區(qū)效率，采用NJW多路譜算法[17]，即根據(jù)多個第二最小特征向量，通過聚類算法直接獲得指定數(shù)量的分區(qū)。矩陣E的最大特征值為1，其他特征值均小于1。對于社團結構比較明顯的管網(wǎng)，有些特征值接近于1，其對應的第二特征向量中，同一社團內部節(jié)點的值接近。對于社團結構不明顯的一般給水管網(wǎng)，少量第二特征向量也可獲得良好分區(qū)[18]。第二特征向量確定方法如下：

1)確定管道權重。管徑、流量大的管道承擔的輸配水功能越重要，兩節(jié)點連接越緊密，選擇管道權重為wij=DijQij，Dij、Qij分別為管道ij的管徑與流量。

2)計算矩陣E前k-1個最大的第二特征值所對應的特征向量，x1,…,xk-1，構造矩陣X=[x1,…,xk-1]∈Rn×(k-1)。

4)將Y的每一行看做Rk-1空間中的一個點。

1.3 基于遺傳算法的譜聚類

給水管網(wǎng)分區(qū)信息可通過特征向量數(shù)據(jù)挖掘方法獲得。本文采用遺傳算法與K均值算法實現(xiàn)數(shù)據(jù)挖掘。K均值算法將屬性相同的點劃分到一個聚類，并用聚類中心代表該聚類。聚類質量由誤差平方和度量，見式(5)。

,ci)2

(5)

式中：SSE為誤差平方和；Ci為某個聚類i；ci為聚類中心，代表某個聚類；y為空間點；dist為空間點的歐幾里得距離；m為聚類個數(shù)。

K均值算法取決于初始化聚類中心，是一種局部優(yōu)化算法。為了實現(xiàn)最優(yōu)化分區(qū)，采用遺傳算法優(yōu)化聚類中心。種群中每個個體對應于各個聚類中心，以SSE最小化為目標函數(shù)，通過線性排序確定個體適應度，交叉、變異逐漸產(chǎn)生新的子代。為了提高搜索速度，在每次得到聚類劃分后，用校正后的聚類中心代替?zhèn)€體中原來的聚類中心。

1.4 確定閥門、水表位置

在確定分區(qū)范圍后，接下來要確定水表和閥門的位置。在每個分區(qū)中均存在中心節(jié)點，一般是拓撲連接緊密的節(jié)點，即度較高的節(jié)點，這意味著該節(jié)點是流量的樞紐節(jié)點，則水源到該樞紐節(jié)點的最短供水路徑應該是該分區(qū)的主要供水路徑，主要供水路徑必經(jīng)過分區(qū)間連接管道，則這個管道即為進水點，也就是水表位置，其他連接管道則為閥門位置。本文中將給水管網(wǎng)視為權重無向圖，利用PageRank算法確定各節(jié)點的中心性。設每個節(jié)點的中心性為xi，節(jié)點i的中心性與它的鄰居節(jié)點中心性呈正比。

(6)

1.5 分區(qū)均衡性

每個分區(qū)規(guī)模應相當，分區(qū)內壓力應均衡。為此提出兩個分區(qū)評價指標。

1)分區(qū)規(guī)模均衡性SU

(7)

式中：Si為節(jié)點用水量；M為分區(qū)數(shù)量；N為管網(wǎng)用水節(jié)點數(shù)；n為每個分區(qū)內用水節(jié)點數(shù)。

各分區(qū)SU越接近，分區(qū)規(guī)模越均衡。

2)壓力均衡性PU

(8)

1.6 分區(qū)間運行關系

DMA按進水點數(shù)量和流量關系可分為單進口、多進口和串聯(lián)DMA，如圖1所示，其中，DMA2和DMA3為單進口類型，DMA4為多進口，上述3個分區(qū)共同特征是均只有流量流入而無流出。而DMA1除滿足本區(qū)用水外，還需向DMA2供水，因此，DMA1為串聯(lián)類型，有流量的流入和流出。目前的分區(qū)方法為了方便管理并減少計量誤差，一般DMA設計優(yōu)先選擇單進口、無流出類型[19]。但DMA設計影響因素多、情況復雜，有時難以滿足上述原則，同時單進口DMA也存在系統(tǒng)彈性能力降低、難以滿足消防流量要求和末端水質下降等問題，因此，根據(jù)具體情況也可選擇多進口DMA，但進水口數(shù)量不宜太多，否則進水點處減壓閥會引起壓力波動[20]?？刹捎弥?、副進水口設計，即在正常供水時只開啟主進水口，而當高峰用水或消防時，可開啟副進水口。當遠離干管的DMA其供水路徑需要經(jīng)過其他分區(qū)時，或者管理、技術等多因素綜合比較后串聯(lián)DMA具有優(yōu)勢時，也可選擇串聯(lián)類型DMA。

圖1 DMA類型及運行關系[21]Fig.

2 分區(qū)實例

以圖2所示環(huán)狀給水管網(wǎng)[22]為例驗證所提分區(qū)方法的有效性。該給水管網(wǎng)含有1個水源，36個用水點，58根管道，具有復雜的環(huán)狀結構。設定分區(qū)數(shù)量為4個。

圖2 4個分區(qū)的給水管網(wǎng)結構Fig.

4個分區(qū)的方案如圖2所示。每個分區(qū)的規(guī)?？梢姳?，從表中可知每個分區(qū)的規(guī)模與平均規(guī)模有一定偏差。如前所述，如果分區(qū)時強調每個分區(qū)應含有相同的規(guī)模(用水量)，則必將破壞給水管網(wǎng)內部的聚類結構。而依據(jù)聚類算法，屬性相似的節(jié)點組成一個分區(qū)，這可從整體上降低分區(qū)對給水管網(wǎng)結構的影響。分區(qū)后的壓力分析見表2。由表2可知，每個分區(qū)壓力范圍相似，平均壓力有微小差別。壓力均衡性較好，PU值均低于平均壓力的10%，說明分區(qū)后管網(wǎng)性能沒有明顯降低，對系統(tǒng)性能的影響較小。

表1 分區(qū)規(guī)模分析

Table 1 Analysis of size of DMAs

分區(qū)節(jié)點數(shù)用水量/(L·s-1)SU/%DMA11012．3345．40DMA287．24-14．62DMA386．84-19．34DMA4107．50-11．56

表2 分區(qū)壓力分析

Table 2 Analysis of pressure of DMAs

分區(qū)壓力/kPa最大值最小值平均值PUDMA1546．45441．00517．6431．36DMA2541．06414．05494．2145．77DMA3543．21422．38491．9644．49DMA3552．13446．00505．6837．83

K均值算法是局部優(yōu)化方法，遺傳算法是一種全局優(yōu)化方法，二者結合將增加收斂速度，由圖3可知，經(jīng)過25次進化后種群即實現(xiàn)收斂。另外，每一代的最佳個體都能搜索到最佳聚類。

圖3 最優(yōu)解及種群收斂變化Fig.

在確定分區(qū)邊界后，需要確定每個分區(qū)的進水點和設置閥門的管道。為此根據(jù)PageRank算法分析每個節(jié)點的中心性，給水管網(wǎng)末端節(jié)點中心性較低，中心性較高的前1/3節(jié)點見圖4。

圖4 部分節(jié)點中心性Fig.

利用最短路徑算法可得每個分區(qū)水表位置，其他分區(qū)邊界管道則為閥門位置。由圖2分區(qū)結構可知，基于譜聚類的分區(qū)方法將干管節(jié)點也納入分區(qū)，因此,DMA1和DMA4具有流量流入流出，為串聯(lián)分區(qū)，DMA2和DMA3則為單進口分區(qū)。串聯(lián)分區(qū)結構的引入，使得DMA1和DMA4內節(jié)點分區(qū)前后水流路徑不變，分區(qū)對這些節(jié)點沒有影響。

3 結論

提出了基于譜聚類的給水管網(wǎng)分區(qū)方法，同時可確定每個分區(qū)的進水點和閥門位置，并以一個真實給水管網(wǎng)說明本分區(qū)方法的可行性。本方法將給水管網(wǎng)拓撲結構通過譜方法映射到高維向量空間，并依據(jù)聚類將拓撲相似節(jié)點劃分到一個分區(qū)，遺傳算法與K均值算法相結合提高了算法效率，同時,本方法具有較強的健壯性，可根據(jù)要求實現(xiàn)不同規(guī)模的分區(qū)設計。

本文中不僅確定了分區(qū)邊界，也給出了進水點位置，下一步工作可在此基礎上通過優(yōu)化進水點減壓閥，將各分區(qū)內壓力控制在合理范圍，從而在整體上降低漏損。

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(編輯 王秀玲)

Spectral clustering for optimal design of district metered areas in water distribution systems

LiuJun，ZhouPeng

(College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, P. R. China)

Design of district metered areas(DMAs) in water distribution system was performed based on complex network spectral clustering and graph theory. First the number of DMAs was determined, and graph weighted adjacency matrix and Laplacian matrix were established. Thenk-way spectral clustering algorithm was used to discover the optimal clusters hidden behind eigenvectors of Laplacian matrix, leading to the best layout of DMAs using genetic algorithm andK-means. PageRank and shortest path algorithm were adopted to ascertain the location of meters in DMAs and valves between DMAs to achieve the optimal design of DMAs eventually. And a real water distribution system was tested and the results showed that the proposed method was effective in DMAs design.

water distribution systems；district metered area; clustering; optimization

2016-03-10

國家自然科學基金(51508492);河北省自然科學基金(E2015203079);燕山大學博士基金(B864)

劉俊(1982-),男,博士,主要從事水資源與給水排水系統(tǒng)設計與運行優(yōu)化研究,(E-mail) sdlj2008@163.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China (No. 51508492); Natural Science Foundation of Hebei Province (No. E2015203079); Doctor Foundation of Yanshan University (No. B864)

10.11835/j.issn.1674-4764.2016.06.019

TU991

A

1674-4764(2016)06-0142-06

Received:2016-03-10

Author brief：Liu Jun (1982-), assistant professor, PhD, main research interests: optimal design and operation of water resources and urban water distribution and drainage systems, (E-mail) sdlj2008@163.com.