龍連春， 薛 飄， 劉金坡， 王鯤鵬， 譚 指

(1.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076)

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基于序列二次規(guī)劃算法的點陣夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

龍連春1， 薛 飄1， 劉金坡1， 王鯤鵬2， 譚 指2

(1.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076)

為了研究夾芯單胞變化對結(jié)構(gòu)承載能力的影響，建立了點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計模型，以結(jié)構(gòu)剛度最大為目標(biāo)函數(shù)，考慮體積約束及單胞尺寸約束對夾芯單胞尺寸分布進行優(yōu)化設(shè)計，并以四面體單胞夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計為例進行詳細(xì)方法說明. 采用序列二次規(guī)劃法求解優(yōu)化模型，完成了以結(jié)構(gòu)剛度最大為目標(biāo)的井字梁夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，驗證了模型、方法及優(yōu)化效果.

點陣夾芯結(jié)構(gòu)；四面體單胞；序列二次規(guī)劃算法

點陣夾芯結(jié)構(gòu)是近年來隨著材料制備工藝和成型加工技術(shù)的發(fā)展而出現(xiàn)的一類新型多功能材料結(jié)構(gòu)，它由2塊面板和夾于面板之間的超靜定的點陣夾芯構(gòu)成，由于它具有超輕質(zhì)、高比強度、高比剛度、高能量吸收等優(yōu)良機械性能，以及減震、散熱、吸聲、電磁屏蔽等特殊性質(zhì)，成為了一種備受矚目的性能優(yōu)異的多功能性工程材料結(jié)構(gòu). 2001年，Evans等[1]提出了點陣夾芯結(jié)構(gòu)概念；同年，Wicks等[2]分析對比了三角形桁架、實體材料、四面體單胞夾芯結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明，材料相同的前提下，點陣夾芯結(jié)構(gòu)具有更高的質(zhì)量效率. 點陣夾芯結(jié)構(gòu)常用單胞有正四面體單胞[3]、金字塔單胞和Kagome單胞等. 正四面體單胞點陣夾芯材料剛度和強度都較高，且有著較輕的質(zhì)量，同時由于面板的存在使得材料結(jié)構(gòu)在多種靜力學(xué)、動力學(xué)等復(fù)雜載荷作用下均具有優(yōu)良性能[4]. Kooistra等[5]對四面體單胞夾芯結(jié)構(gòu)進行了壓縮實驗研究，結(jié)果表明，在相同質(zhì)量下，四面體單胞夾芯板的承載能力優(yōu)于加強筋板以及泡沫夾芯板，并認(rèn)為夾芯面板失效模式與芯子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及材料的屈服應(yīng)變有關(guān). Chiras等[6]研究了四面體單胞夾芯結(jié)構(gòu)在剪切、彎曲和壓縮載荷下的力學(xué)性能，發(fā)現(xiàn)在面內(nèi)剪切載荷作用下結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出不對稱性的特點. 在彎曲載荷作用下，因芯子半徑的不同發(fā)生的破壞模式有明顯差異. 半徑較小時，結(jié)構(gòu)以剪切失效為主；半徑較大時，主要在面板部位發(fā)生屈曲. Wicks等[7]對二維桁架夾芯結(jié)構(gòu)在純彎曲載荷作用下進行了優(yōu)化設(shè)計. Chen等[8]采用低速動力壓縮試驗，揭示了多層夾芯板的失效機理和能量吸收能力，用動力屈曲理論解釋了結(jié)構(gòu)的應(yīng)變率效應(yīng). Dahiwale等[9]研究了點陣夾心結(jié)構(gòu)中夾心的高度和上下面板的厚度對結(jié)構(gòu)剛度的影響. 隋允康等[10]提出了將設(shè)計變量分為2層來求解桁架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的方法. 汪浩等[11]以輕質(zhì)金字塔點陣夾層平板結(jié)構(gòu)為對象，對其在不同撞水速度下的流- 固耦合動力學(xué)行為進行數(shù)值和理論計算分析，指出與同等質(zhì)量實體板相比，輕質(zhì)金字塔點陣夾層板最大變形均顯著降低. 泮世東等[12]為了提高金字塔單胞夾芯結(jié)構(gòu)的整體等效剪切強度，對面外剪切載荷作用下的金字塔單胞夾芯結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，提高了金字塔單胞夾芯結(jié)構(gòu)的整體等效剪切強度. Hyun等[13]在平壓剪切載荷工況下，利用有限元方法研究了Kagome單胞夾芯板和四面體單胞夾芯板的性能.

綜上所述，在新型單胞夾芯結(jié)構(gòu)研究方面，國內(nèi)外已經(jīng)開展了廣泛的研究工作，在數(shù)值模擬與實驗測試方面做了大量工作，但對于點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化工作還需進一步的深入.

1 點陣夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型及求解方法

1.1 點陣夾芯結(jié)構(gòu)的參數(shù)化構(gòu)造

在對點陣夾芯結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化時，首先對其結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化構(gòu)造. 點陣夾芯結(jié)構(gòu)由上下基板和夾芯層組成，由于上下基板的尺寸與整體結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，其長、寬、厚等尺寸根據(jù)結(jié)構(gòu)的外形尺寸確定. 其夾芯層的結(jié)構(gòu)及尺寸則與所選擇的單胞形狀與尺寸有關(guān).

這里選用四面體單胞夾芯結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化構(gòu)造與優(yōu)化設(shè)計. 四面體單胞及夾芯板如圖1所示. 四面體點陣夾芯結(jié)構(gòu)的單胞參數(shù)構(gòu)造如圖2所示，其中Rc為單胞桿的半徑，Lc為單胞桿的長度，相鄰桿的夾角為120°. 夾芯層的厚度為Hc，桿與基板的角度為θ=arcsin(Hc/Lc). 通過改變Rc、Lc和Hc的大小，實現(xiàn)四面體點陣夾芯結(jié)構(gòu)的參數(shù)化構(gòu)造.

1.2 點陣夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型與求解

1.2.1 優(yōu)化模型構(gòu)造

點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計主要體現(xiàn)在單胞的優(yōu)化設(shè)計上，將其結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型抽象成式(1)中的數(shù)學(xué)模型.

(1)

以四面體單胞點陣夾芯結(jié)構(gòu)為例，由于四面體單胞相鄰桿的夾角固定，當(dāng)厚度Hc確定時，圓桿的長度Lc、桿與基板的角度θ也隨之唯一確定，因此，設(shè)計變量可以從厚度和圓桿半徑之中合理選擇，目標(biāo)函數(shù)根據(jù)實際問題而定.

1.2.2 優(yōu)化流程及求解方法

在本文的點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中，目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量的關(guān)系難以顯式表達，為了得到每組設(shè)計變量對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，采用有限元軟件計算目標(biāo)函數(shù)值，構(gòu)造問題的二次規(guī)劃優(yōu)化模型. 具體分析及優(yōu)化設(shè)計流程如圖3所示.

點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題屬于非線性優(yōu)化問題. 序列二次規(guī)劃算法是處理中小規(guī)模非線性規(guī)劃問題最優(yōu)秀的算法之一，該算法很穩(wěn)定，對非線性較強的優(yōu)化問題也具有較高的計算收斂效率. 因此，本文采用序列二次規(guī)劃算法求解點陣夾芯結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題.

2 點陣夾芯井字梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

為了驗證上面提出的點陣夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型及算法，以結(jié)構(gòu)剛度最大(最大位移最小)為目標(biāo)，對四面體夾芯井字梁結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，得到最優(yōu)的設(shè)計方案.

2.1 井字梁及其優(yōu)化模型構(gòu)造

2.1.1 點陣夾心井字梁結(jié)構(gòu)

針對這些研究，本文試圖探討大學(xué)生詞匯知識與詞匯應(yīng)用能力熟練程度的關(guān)系，以了解他們所掌握的詞匯知識是否能區(qū)分不同的熟練程度。

點陣夾芯井字梁結(jié)構(gòu)單梁長230 mm，高40 mm，寬7 mm，幾何模型如圖4所示. 從夾芯井字梁幾何模型示意圖可知，由于夾芯井字梁具有對稱性，為了減少分析和優(yōu)化的計算量，取1/4結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計.

井字梁結(jié)構(gòu)的夾心層均勻布置正四面體單胞夾芯，1/4井字梁單胞布置如圖5所示.

2.1.2 優(yōu)化模型

優(yōu)化設(shè)計中，以夾芯單胞桿件半徑為設(shè)計變量，以單胞總體積作為約束條件，整體最大位移最小為優(yōu)化目標(biāo)進行優(yōu)化，優(yōu)化模型為

(2)

2.2 井字梁有限元分析建模

夾芯井字梁結(jié)構(gòu)整體材料為TC4，其彈性模量為110 GPa，泊松比為0.342. 有限元分析過程中，外部蒙皮采用shell181有限應(yīng)變殼單元(適用于薄、中等厚度的板殼結(jié)構(gòu)分析，支持線性、大扭轉(zhuǎn)、大應(yīng)變以及變厚度的非線性分析). 單胞桿件結(jié)構(gòu)采用beam188有限應(yīng)變梁單元(適合于從細(xì)長桿到短粗桿的梁結(jié)構(gòu)分析). 為了使夾芯單胞桿件與蒙皮相連，在蒙皮和單胞桿件相連的地方建立硬點，以便劃分單元時在硬點處生成節(jié)點，2種單元每個節(jié)點都有6個自由度，可以通過共節(jié)點的方法進行連接，組成整體有限元模型.

邊界條件為：在如圖6所示的夾芯井字梁左側(cè)邊緣限制X方向的位移自由度和Z方向的轉(zhuǎn)動自由度，前側(cè)邊緣限制Z方向的位移自由度和X方向的轉(zhuǎn)動自由度，在右側(cè)和后側(cè)底端限制Y方向的位移自由度；梁中段受到向下的均勻線分布力作用.

通過優(yōu)化計算，得到了在設(shè)計變量約束為0.39 mm≤xi≤1.00 mm、夾芯體積約束為2 717 mm3的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果. 單胞桿件半徑的優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

單胞桿半徑與位置對應(yīng)關(guān)系如圖7所示，其中，黑線的不同粗細(xì)代表不同的單胞桿半徑，依次為6磅代表半徑范圍為0.90～1.00 mm；4.5磅代表半徑范圍為0.70～0.79 mm；3磅代表半徑范圍為0.60～0.69 mm；2.25磅代表半徑范圍為0.50～0.59 mm；1.5磅代表半徑范圍為0.40～0.49 mm；0.75磅代表半徑為0.39 mm.

1/4井字梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中算法迭代收斂曲線如圖8所示.

從表1和圖8可知，設(shè)計變量單胞桿件半徑都得到了在變量約束范圍內(nèi)適當(dāng)?shù)陌霃街?，整個尋優(yōu)過程迭代收斂良好.

將初始設(shè)計模型、優(yōu)化結(jié)果模型的1/4模型通過有限元建模生成整體模型，按照2.2節(jié)所述邊界條件進行分析，結(jié)果對比如表2所示.

表1 單胞桿件優(yōu)化結(jié)果

項目位移/mm單胞總體積/mm3初始設(shè)計模型2.21410454.4優(yōu)化設(shè)計模型2.08810405.2

從表2可知，在結(jié)構(gòu)總體積基本相等的情況下，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計得到的模型相對于初始設(shè)計模型，剛度提高了5.7%，得到了比較滿意的優(yōu)化結(jié)果.

3 結(jié)論

1) 通過對四面體單胞夾芯井字梁的優(yōu)化設(shè)計計算，驗證了本文所提出的點陣夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型及優(yōu)化流程的實用性，優(yōu)化后的夾芯井字梁剛度有所提高，其單胞布局對工程應(yīng)用具有一定的參考意義.

2) 通過建立基于ISIGHT的多學(xué)科綜合優(yōu)化集成框架，得到了適當(dāng)?shù)膬?yōu)化結(jié)果. 序列二次規(guī)劃算法對于如點陣結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的這種多參數(shù)、非線性的問題具有較好的收斂性.

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(責(zé)任編輯 呂小紅)

Optimization of Lattice Sandwich Structure With Sequential Quadratic Programming Algorithm

LONG Lianchun1, XUE Piao1, LIU Jinpo1, WANG Kunpeng2, TAN Zhi2

(1.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2.Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing 100076, China)

To study the influence of the core cell on the structural carrying capacity, in this paper, lattice sandwich structure optimization model was established, which was elaborated by tetrahedron unit cell of sandwich structure. For the purpose of verifying the effectiveness of the optimization model and the solution, a sandwich tic-tac-toe beam structure with the goal of maximizing the stiffness of the structure was optimized by using the method of sequential quadratic programming.

lattice sandwich structure; tetrahedron unit cell; sequential quadratic programming algorithm

2016- 08- 04

國家自然科學(xué)基金資助項目(11272020)

龍連春(1963—)， 男， 教授， 主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的分析優(yōu)化以及超常環(huán)境下材料和結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為方面的研究， E-mail:longlc@bjut.edu.cn

TB 331

A

0254-0037(2016)12-1805-05

10.11936/bjutxb2016080018