杜家政， 馬笑輝， KIM Namho

(1.北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術(shù)學院， 北京 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

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基于子結(jié)構(gòu)的內(nèi)力約束連續(xù)體拓撲優(yōu)化

杜家政1， 馬笑輝1， KIM Namho2

(1.北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術(shù)學院， 北京 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

通過拓撲優(yōu)化可以得到傳力路徑，不同傳力路徑對應不同內(nèi)力載荷. 如果將內(nèi)力載荷作為目標或約束進行拓撲優(yōu)化，可以得到滿足不同需求的傳力路徑，為拓撲優(yōu)化的發(fā)展提供新思路和新方法. 為了得到不同內(nèi)力載荷需求的傳力路徑，基于子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標，以內(nèi)力為約束建立拓撲優(yōu)化模型，基于獨立、連續(xù)、映射(independent, continuous, mapping, ICM)方法和單位載荷法將內(nèi)力顯式化，通過累加獲得需要控制的傳力路徑上的內(nèi)力，通過迭代調(diào)整2個路徑上的內(nèi)力使其比值達到一個穩(wěn)定的值，從而獲得滿足內(nèi)力約束的傳力路徑. 算例表明：不同的內(nèi)力約束可以得到不同的傳力路徑.

拓撲優(yōu)化; 靈敏度分析; 傳力路徑; 內(nèi)力約束; 連續(xù)體結(jié)構(gòu)

美國航空事故分析報告顯示最近30年的航空事故中超過2/3的事故是由于載荷分析不足引起的，設計者的注意力更多關(guān)注強度、剛度、穩(wěn)定性等，而忽視導致事故高發(fā)的內(nèi)力載荷. 通過拓撲優(yōu)化可以得到傳力路徑，不同傳力路徑對應不同內(nèi)力載荷. 如果將內(nèi)力載荷作為目標或約束進行拓撲優(yōu)化可以得到滿足不同需求的傳力路徑，為拓撲優(yōu)化的發(fā)展提供新思路和新方法，具有重要的理論意義和工程價值.

拓撲優(yōu)化是以單元為拓撲變量，對于大型結(jié)構(gòu)，拓撲變量隨著單元數(shù)的增多而增多，導致求解困難. 借助子結(jié)構(gòu)的思想，可以將復雜結(jié)構(gòu)分解為多個子結(jié)構(gòu)，分別進行優(yōu)化，最后達到優(yōu)化整個結(jié)構(gòu)的目的. 張帆等[1]在客車拓撲優(yōu)化中引入子結(jié)構(gòu)法，將不進行優(yōu)化的部分凝聚為超單元參與拓撲優(yōu)化分析，大大地提高了優(yōu)化效率. 張保等[2]基于子結(jié)構(gòu)法對大型結(jié)構(gòu)進行數(shù)值敏度計算，通過節(jié)點重排將與設計變量有關(guān)的節(jié)點位移排到總位移列陣序的后面，對其進行區(qū)域分塊、聚縮，得到規(guī)模較小的矩陣，顯著提高了計算效率. 袁康等[3]基于子結(jié)構(gòu)法將大型冶金鑄造起重機劃分為三級子結(jié)構(gòu)，重點突出了六大結(jié)構(gòu)件，實現(xiàn)了整機三維有限元模型完整性和準確性.

子結(jié)構(gòu)法可以用來解決大規(guī)模問題、提高效率，本文采用子結(jié)構(gòu)的另一個目的是將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來，便于內(nèi)力作為優(yōu)化的約束條件或目標函數(shù)進行控制. 隋允康[4]在1996年提出獨立、連續(xù)、映射(independent, continuous, mapping, ICM)方法，將拓撲變量從依附于面積、厚度等尺寸優(yōu)化層次的變量中抽象出來，恢復了拓撲變量的獨立性，通過引入過濾函數(shù)將離散拓撲變量轉(zhuǎn)換為連續(xù)拓撲變量. 在大量研究成果積累的基礎上，2013年隋允康等[5]完善了連續(xù)體拓撲優(yōu)化的ICM方法. Lee等[6]采用伴隨法對內(nèi)力進行敏度分析，采用拓撲優(yōu)化的方法將內(nèi)力作為約束進行傳力路經(jīng)的優(yōu)化設計，在不同內(nèi)力約束下得到了不同的拓撲結(jié)構(gòu).

為了得到不同內(nèi)力載荷需求的傳力路徑，基于子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標，以內(nèi)力為約束建立拓撲優(yōu)化模型，通過累加獲得需要控制的傳力路徑上的內(nèi)力，通過迭代調(diào)整2個路徑上的內(nèi)力使其比值達到一個穩(wěn)定的值，從而獲得滿足內(nèi)力約束的傳力路徑.

1 子結(jié)構(gòu)的分解與連接

2 內(nèi)力約束的拓撲優(yōu)化模型

通過拓撲優(yōu)化可以得到傳力路徑，傳力路徑可能是1條，也可能是幾條，相同約束條件下，傳力路徑是固定的，不同傳力路徑上內(nèi)力也是平衡的. 如果想增大或減小某個傳力路徑上的內(nèi)力，或者讓2個路徑上的內(nèi)力保持比例關(guān)系，拓撲結(jié)構(gòu)將重新分布，得到滿足內(nèi)力約束的拓撲結(jié)構(gòu).

以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標，以2個指定路徑上內(nèi)力保持比例關(guān)系為約束進行拓撲優(yōu)化，優(yōu)化模型如下：

(1)

式中：ti為拓撲變量；N為拓撲變量的個數(shù)(即單元個數(shù))；wi為單元質(zhì)量(是拓撲變量的函數(shù))；F1和F2為2個傳力路徑上的內(nèi)力(根據(jù)網(wǎng)格劃分粗細不同，內(nèi)力可能是幾個節(jié)點內(nèi)力的代數(shù)和)；n為2個傳力路徑上內(nèi)力的比例因子.

節(jié)點內(nèi)力的顯式化是問題的關(guān)鍵，根據(jù)有限元理論，以平面單元為例進行推導，單元的節(jié)點力可以表示為

(2)

(3)

根據(jù)ICM方法[5,8]得到內(nèi)力的顯式表達式為

(4)

式中fk(tk)為單元剛度矩陣的過濾函數(shù).

3 算例

60 mm×32 mm的基結(jié)構(gòu)，左側(cè)邊界固支，右側(cè)邊界中間受到向下的集中力載荷P，如圖2所示. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標，只考慮了應力約束，不考慮內(nèi)力約束的情況下，采用同樣的拓撲優(yōu)化方法，分別按整體拓撲優(yōu)化(見圖2(a))和子結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化(見圖2(b))進行優(yōu)化，得到基本相同的拓撲結(jié)構(gòu)，如圖3所示. 采用子結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，同時能得到分界面的內(nèi)力. 隨著網(wǎng)格精度和收斂精度的增加，拓撲優(yōu)化的結(jié)果趨于一致.

在不考慮內(nèi)力約束的情況下，上下邊界存在2個傳力路徑，根據(jù)平衡條件，2個傳力路徑上的內(nèi)力相同.

增加內(nèi)力約束，上邊界與下邊界的內(nèi)力比分別是1∶2、1∶4、1∶6、1∶8的情況下，以重量最小為目標分別進行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖4所示.

4 結(jié)論

1) 采用子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分為多個子結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，可以得到相同的拓撲結(jié)構(gòu)，可用于解決大模型拓撲優(yōu)化問題，還可以將內(nèi)力暴露出來，為內(nèi)力約束的拓撲優(yōu)化奠定基礎.

2) 不同的內(nèi)力約束下，可以得到不同的拓撲結(jié)構(gòu)，隨著內(nèi)力比的增大，內(nèi)力大的傳力路徑明顯變得粗壯，結(jié)構(gòu)向內(nèi)力大的傳力路徑方向偏移.

3) 將內(nèi)力作為約束進行拓撲優(yōu)化，能控制結(jié)構(gòu)內(nèi)力的重新分配，根據(jù)實際需要調(diào)整傳力路徑上的內(nèi)力.

[1] 張帆, 剛憲約, 柴山, 等. 基于載荷等效和子結(jié)構(gòu)法的客車復合工況拓撲優(yōu)化方法[J]. 機械設計, 2013, 30(3): 62-67. ZHANG F, GANG X Y, CHAI S, et al. Topology optimization method of passenger car composite condition based on load equivalent and substructure method[J]. Journal of Machine Design, 2013, 30(3): 62-67. (in Chinese)

[2] 張保, 孫秦. 基于子結(jié)構(gòu)法的大型結(jié)構(gòu)數(shù)值敏度計算技術(shù)[J]. 航空工程進展, 2014, 5(4): 475-480. ZHANG B, SUN Q. Numerical sensitivity analysis of large structures based on substructure method[J]. Advances in Aeronautical Science and Engineering, 2014, 5(4): 475-480. (in Chinese)

[3] 袁康, 付群峰, 屈小章, 等. 大型復雜起重機械結(jié)構(gòu)三維有限元子結(jié)構(gòu)模型分析[J]. 機械設計與制造, 2015(3): 14-18. YUAN K, FU Q F, QU X Z, et al. Three dimensional finite element substructure model analysis of the large and complicated crane structure[J]. Machinery Design & Manufacture, 2015(3): 14-18. (in Chinese)

[4] 隋允康. 建?！ぷ儞Q·優(yōu)化——結(jié)構(gòu)綜合方法新進展[M] . 大連: 大連理工大學出版社, 1996: 177-195.

[5] 隋允康, 葉紅玲. 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的ICM方法[M]. 北京: 科學出版社, 2013: 26-59.

[6] LEE S, KIM N, JOO J. Load-path design and control using topology optimization[EB/OL]. [2016-05-20]. http:∥web.aeromech.usyd.edu.au/WCSMO2015/abstracts/1310.pdf.

[7] SUI Y K, DU J Z, GUO Y Q. Independent continuous mapping for topological optimization of frame structures[J]. Acta Mechanica Sinica, 2006, 22(6): 611-619.

[8] 隋允康， 彭細榮. 連續(xù)體結(jié)構(gòu)考慮離散性目標的ICM方法[J]. 計算力學學報， 2006, 23(2): 163-168. SUI Y K, PENG X R. ICM method with objective transformed by variable discrete condition for continuum structure[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2006, 23(2): 163-168. (in Chinese)

(責任編輯 楊開英)

Topology Optimization for Continuous Structures With Internal Force Constraints Based on the Substructure

DU Jiazheng1， MA Xiaohui1， KIM Namho2

(1.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology， Beijing University of Technology， Beijing 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

The loading paths can be obtained with the topology optimization and different loading paths are related to different internal forces. Taking the internal forces as the object or constraint, the loading paths can be obtained to meet the various demands with the topology optimization, which provides new ideas and new methods for the development of topology optimization research. To obtain the loading paths with different internal force requirements, the structures can be separated to expose the internal forces based on substructure method. A topology optimization model was established to minimize the weight with internal force as constraint. The internal force was explicit with the independent, continuous, mapping (ICM) method and the unit load method. The internal forces were added to get the total internal force on the controlled loading paths. The ratio of the internal forces on two loading paths reached a stable value by iteration to obtain the loading path meeting the internal force constraint. The numerical examples show that different loading paths can be obtained with different internal force constraints.

topology optimization; sensitivity analysis; loading paths; internal force constraint; continuous structures

2016- 08- 02

北京市教育委員會資助項目(KM201110005014); 北京市科協(xié)金橋工程種子資金資助項目(ZZ16001); 國外訪問學者研修培訓資助項目(067145301400)

杜家政(1975—)， 男， 副教授， 主要從事計算力學及結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究， E-mail: djz@bjut.edu.cn

O 343.1

A

0254-0037(2016)12-1818-04

10.11936/bjutxb2016080006