杜家政， 馬笑輝， KIM Namho

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

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基于子結(jié)構(gòu)的內(nèi)力約束連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化

杜家政1， 馬笑輝1， KIM Namho2

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

通過拓?fù)鋬?yōu)化可以得到傳力路徑，不同傳力路徑對應(yīng)不同內(nèi)力載荷. 如果將內(nèi)力載荷作為目標(biāo)或約束進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，可以得到滿足不同需求的傳力路徑，為拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展提供新思路和新方法. 為了得到不同內(nèi)力載荷需求的傳力路徑，基于子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，以內(nèi)力為約束建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，基于獨(dú)立、連續(xù)、映射(independent, continuous, mapping, ICM)方法和單位載荷法將內(nèi)力顯式化，通過累加獲得需要控制的傳力路徑上的內(nèi)力，通過迭代調(diào)整2個(gè)路徑上的內(nèi)力使其比值達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值，從而獲得滿足內(nèi)力約束的傳力路徑. 算例表明：不同的內(nèi)力約束可以得到不同的傳力路徑.

拓?fù)鋬?yōu)化; 靈敏度分析; 傳力路徑; 內(nèi)力約束; 連續(xù)體結(jié)構(gòu)

美國航空事故分析報(bào)告顯示最近30年的航空事故中超過2/3的事故是由于載荷分析不足引起的，設(shè)計(jì)者的注意力更多關(guān)注強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等，而忽視導(dǎo)致事故高發(fā)的內(nèi)力載荷. 通過拓?fù)鋬?yōu)化可以得到傳力路徑，不同傳力路徑對應(yīng)不同內(nèi)力載荷. 如果將內(nèi)力載荷作為目標(biāo)或約束進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化可以得到滿足不同需求的傳力路徑，為拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展提供新思路和新方法，具有重要的理論意義和工程價(jià)值.

拓?fù)鋬?yōu)化是以單元為拓?fù)渥兞?，對于大型結(jié)構(gòu)，拓?fù)渥兞侩S著單元數(shù)的增多而增多，導(dǎo)致求解困難. 借助子結(jié)構(gòu)的思想，可以將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)子結(jié)構(gòu)，分別進(jìn)行優(yōu)化，最后達(dá)到優(yōu)化整個(gè)結(jié)構(gòu)的目的. 張帆等[1]在客車拓?fù)鋬?yōu)化中引入子結(jié)構(gòu)法，將不進(jìn)行優(yōu)化的部分凝聚為超單元參與拓?fù)鋬?yōu)化分析，大大地提高了優(yōu)化效率. 張保等[2]基于子結(jié)構(gòu)法對大型結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值敏度計(jì)算，通過節(jié)點(diǎn)重排將與設(shè)計(jì)變量有關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移排到總位移列陣序的后面，對其進(jìn)行區(qū)域分塊、聚縮，得到規(guī)模較小的矩陣，顯著提高了計(jì)算效率. 袁康等[3]基于子結(jié)構(gòu)法將大型冶金鑄造起重機(jī)劃分為三級子結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)突出了六大結(jié)構(gòu)件，實(shí)現(xiàn)了整機(jī)三維有限元模型完整性和準(zhǔn)確性.

子結(jié)構(gòu)法可以用來解決大規(guī)模問題、提高效率，本文采用子結(jié)構(gòu)的另一個(gè)目的是將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來，便于內(nèi)力作為優(yōu)化的約束條件或目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行控制. 隋允康[4]在1996年提出獨(dú)立、連續(xù)、映射(independent, continuous, mapping, ICM)方法，將拓?fù)渥兞繌囊栏接诿娣e、厚度等尺寸優(yōu)化層次的變量中抽象出來，恢復(fù)了拓?fù)渥兞康莫?dú)立性，通過引入過濾函數(shù)將離散拓?fù)渥兞哭D(zhuǎn)換為連續(xù)拓?fù)渥兞? 在大量研究成果積累的基礎(chǔ)上，2013年隋允康等[5]完善了連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的ICM方法. Lee等[6]采用伴隨法對內(nèi)力進(jìn)行敏度分析，采用拓?fù)鋬?yōu)化的方法將內(nèi)力作為約束進(jìn)行傳力路經(jīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，在不同內(nèi)力約束下得到了不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

為了得到不同內(nèi)力載荷需求的傳力路徑，基于子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分開使內(nèi)力暴露出來. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，以內(nèi)力為約束建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過累加獲得需要控制的傳力路徑上的內(nèi)力，通過迭代調(diào)整2個(gè)路徑上的內(nèi)力使其比值達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值，從而獲得滿足內(nèi)力約束的傳力路徑.

1 子結(jié)構(gòu)的分解與連接

2 內(nèi)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型

通過拓?fù)鋬?yōu)化可以得到傳力路徑，傳力路徑可能是1條，也可能是幾條，相同約束條件下，傳力路徑是固定的，不同傳力路徑上內(nèi)力也是平衡的. 如果想增大或減小某個(gè)傳力路徑上的內(nèi)力，或者讓2個(gè)路徑上的內(nèi)力保持比例關(guān)系，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將重新分布，得到滿足內(nèi)力約束的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，以2個(gè)指定路徑上內(nèi)力保持比例關(guān)系為約束進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化模型如下：

(1)

式中：ti為拓?fù)渥兞浚籒為拓?fù)渥兞康膫€(gè)數(shù)(即單元個(gè)數(shù))；wi為單元質(zhì)量(是拓?fù)渥兞康暮瘮?shù))；F1和F2為2個(gè)傳力路徑上的內(nèi)力(根據(jù)網(wǎng)格劃分粗細(xì)不同，內(nèi)力可能是幾個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的代數(shù)和)；n為2個(gè)傳力路徑上內(nèi)力的比例因子.

節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的顯式化是問題的關(guān)鍵，根據(jù)有限元理論，以平面單元為例進(jìn)行推導(dǎo)，單元的節(jié)點(diǎn)力可以表示為

(2)

(3)

根據(jù)ICM方法[5,8]得到內(nèi)力的顯式表達(dá)式為

(4)

式中fk(tk)為單元?jiǎng)偠染仃嚨倪^濾函數(shù).

3 算例

60 mm×32 mm的基結(jié)構(gòu)，左側(cè)邊界固支，右側(cè)邊界中間受到向下的集中力載荷P，如圖2所示. 以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，只考慮了應(yīng)力約束，不考慮內(nèi)力約束的情況下，采用同樣的拓?fù)鋬?yōu)化方法，分別按整體拓?fù)鋬?yōu)化(見圖2(a))和子結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(見圖2(b))進(jìn)行優(yōu)化，得到基本相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖3所示. 采用子結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，同時(shí)能得到分界面的內(nèi)力. 隨著網(wǎng)格精度和收斂精度的增加，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果趨于一致.

在不考慮內(nèi)力約束的情況下，上下邊界存在2個(gè)傳力路徑，根據(jù)平衡條件，2個(gè)傳力路徑上的內(nèi)力相同.

增加內(nèi)力約束，上邊界與下邊界的內(nèi)力比分別是1∶2、1∶4、1∶6、1∶8的情況下，以重量最小為目標(biāo)分別進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖4所示.

4 結(jié)論

1) 采用子結(jié)構(gòu)法將結(jié)構(gòu)分為多個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，可以得到相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可用于解決大模型拓?fù)鋬?yōu)化問題，還可以將內(nèi)力暴露出來，為內(nèi)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化奠定基礎(chǔ).

2) 不同的內(nèi)力約束下，可以得到不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，隨著內(nèi)力比的增大，內(nèi)力大的傳力路徑明顯變得粗壯，結(jié)構(gòu)向內(nèi)力大的傳力路徑方向偏移.

3) 將內(nèi)力作為約束進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，能控制結(jié)構(gòu)內(nèi)力的重新分配，根據(jù)實(shí)際需要調(diào)整傳力路徑上的內(nèi)力.

[1] 張帆, 剛憲約, 柴山, 等. 基于載荷等效和子結(jié)構(gòu)法的客車復(fù)合工況拓?fù)鋬?yōu)化方法[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2013, 30(3): 62-67. ZHANG F, GANG X Y, CHAI S, et al. Topology optimization method of passenger car composite condition based on load equivalent and substructure method[J]. Journal of Machine Design, 2013, 30(3): 62-67. (in Chinese)

[2] 張保, 孫秦. 基于子結(jié)構(gòu)法的大型結(jié)構(gòu)數(shù)值敏度計(jì)算技術(shù)[J]. 航空工程進(jìn)展, 2014, 5(4): 475-480. ZHANG B, SUN Q. Numerical sensitivity analysis of large structures based on substructure method[J]. Advances in Aeronautical Science and Engineering, 2014, 5(4): 475-480. (in Chinese)

[3] 袁康, 付群峰, 屈小章, 等. 大型復(fù)雜起重機(jī)械結(jié)構(gòu)三維有限元子結(jié)構(gòu)模型分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2015(3): 14-18. YUAN K, FU Q F, QU X Z, et al. Three dimensional finite element substructure model analysis of the large and complicated crane structure[J]. Machinery Design & Manufacture, 2015(3): 14-18. (in Chinese)

[4] 隋允康. 建?！ぷ儞Q·優(yōu)化——結(jié)構(gòu)綜合方法新進(jìn)展[M] . 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 1996: 177-195.

[5] 隋允康, 葉紅玲. 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的ICM方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2013: 26-59.

[6] LEE S, KIM N, JOO J. Load-path design and control using topology optimization[EB/OL]. [2016-05-20]. http:∥web.aeromech.usyd.edu.au/WCSMO2015/abstracts/1310.pdf.

[7] SUI Y K, DU J Z, GUO Y Q. Independent continuous mapping for topological optimization of frame structures[J]. Acta Mechanica Sinica, 2006, 22(6): 611-619.

[8] 隋允康， 彭細(xì)榮. 連續(xù)體結(jié)構(gòu)考慮離散性目標(biāo)的ICM方法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2006, 23(2): 163-168. SUI Y K, PENG X R. ICM method with objective transformed by variable discrete condition for continuum structure[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2006, 23(2): 163-168. (in Chinese)

(責(zé)任編輯 楊開英)

Topology Optimization for Continuous Structures With Internal Force Constraints Based on the Substructure

DU Jiazheng1， MA Xiaohui1， KIM Namho2

(1.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology， Beijing University of Technology， Beijing 100124；2.University of Florida, Gainesville, FL 32611, USA)

The loading paths can be obtained with the topology optimization and different loading paths are related to different internal forces. Taking the internal forces as the object or constraint, the loading paths can be obtained to meet the various demands with the topology optimization, which provides new ideas and new methods for the development of topology optimization research. To obtain the loading paths with different internal force requirements, the structures can be separated to expose the internal forces based on substructure method. A topology optimization model was established to minimize the weight with internal force as constraint. The internal force was explicit with the independent, continuous, mapping (ICM) method and the unit load method. The internal forces were added to get the total internal force on the controlled loading paths. The ratio of the internal forces on two loading paths reached a stable value by iteration to obtain the loading path meeting the internal force constraint. The numerical examples show that different loading paths can be obtained with different internal force constraints.

topology optimization; sensitivity analysis; loading paths; internal force constraint; continuous structures

2016- 08- 02

北京市教育委員會(huì)資助項(xiàng)目(KM201110005014); 北京市科協(xié)金橋工程種子資金資助項(xiàng)目(ZZ16001); 國外訪問學(xué)者研修培訓(xùn)資助項(xiàng)目(067145301400)

杜家政(1975—)， 男， 副教授， 主要從事計(jì)算力學(xué)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究， E-mail: djz@bjut.edu.cn

O 343.1

A

0254-0037(2016)12-1818-04

10.11936/bjutxb2016080006