葉紅玲， 尹芳放， 王偉偉， 隋允康

(北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124)

?

基于獨立連續(xù)變量和復(fù)合指數(shù)函數(shù)的位移約束平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

葉紅玲， 尹芳放， 王偉偉， 隋允康

(北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124)

為了進一步研究連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的合理性和可行性，基于獨立、連續(xù)、映射(independent continuous mapping，ICM)方法，在滿足結(jié)構(gòu)位移約束的條件下，通過引入復(fù)合指數(shù)形式過濾函數(shù)對位移約束下質(zhì)量最小化(minimum weight with a displacement constraint,MWDC)模型進行了改進，建立了基于獨立連續(xù)變量和復(fù)合指數(shù)函數(shù)的位移約束平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，并進行了優(yōu)化求解. 同時，利用M語言，基于Matlab軟件平臺，開發(fā)了相應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化計算程序，并針對4種典型平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值驗證，分別比較分析了體積約束下的柔順度最小化(minimum compliance with a volume constraint,MCVC)模型、MWDC模型以及改進的MWDC模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 數(shù)值結(jié)果表明：采用復(fù)合指數(shù)形式過濾函數(shù)改進的MWDC優(yōu)化模型迭代次數(shù)更少，優(yōu)化求解計算效率更高.

平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；獨立、連續(xù)、映射(ICM)方法；位移約束；復(fù)合指數(shù)函數(shù)

根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計變量范圍的不同，結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可以分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化3個層次. 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化相對于尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化具有更多的設(shè)計自由度，從而獲得了更大的設(shè)計空間. 此外，拓?fù)鋬?yōu)化在節(jié)省材料方面比尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化更為顯著，因而可以取得更大的經(jīng)濟效益. 且拓?fù)鋬?yōu)化待確定的參數(shù)較多，求解難度較大，因此更具有發(fā)展前景和挑戰(zhàn)性.

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計是指在設(shè)計區(qū)域中搜索出一個優(yōu)化子集，在滿足預(yù)設(shè)約束條件(如應(yīng)力約束、應(yīng)變約束或頻率約束等)的基礎(chǔ)上，尋求使目標(biāo)函數(shù)取得極小值時材料在平面或空間內(nèi)的最優(yōu)分布及結(jié)構(gòu)的最佳傳力路徑的一類優(yōu)化問題. 目前，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中已經(jīng)建立了多種較為完善的拓?fù)浔磉_形式與材料插值模型方法[1]，其中經(jīng)典方法包括：均勻化方法[2](homogenization method)、相對密度法[3](relative denisity method)、水平集方法[4](level set method)、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[5](evolutionary structural optimization method)、雙向漸進優(yōu)化法[6](bidirectional evolutionary structural optimization method)、相場法[7](phase field method)、節(jié)點變量法[8]、獨立連續(xù)映射法[9](independent continuous mapping method,ICM)等.

根據(jù)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中所包含的“三要素”即目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量和約束條件中的目標(biāo)函數(shù)的屬性，可以將其劃分為不同的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型. Yi等[10]按照結(jié)構(gòu)的物理量將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題劃分為結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)和結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)兩大類. 其中，結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)是指結(jié)構(gòu)的體積、質(zhì)量或造價等；結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)是指結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，如結(jié)構(gòu)柔順度、位移、應(yīng)力、固有頻率、振幅等. 由此結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型可以分為體積約束下的柔順度最小化(minimum compliance with a volume constraint，MCVC)的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)模型和位移約束下質(zhì)量最小化(minimum weight with a displacement constraint，MWDC)的結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型. 模型不同，將導(dǎo)致其適用性和合理性也不盡相同，彭細榮等[11]針對包括MCVC模型和MWDC模型的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化合理模型進行了一步探討.

本文基于ICM拓?fù)鋬?yōu)化方法，針對MCVC模型和MWDC模型進一步深入研究，并引入新的過濾函數(shù)，即復(fù)合指數(shù)過濾函數(shù)對MWDC拓?fù)鋬?yōu)化模型進行了改進. 采用單位虛載荷法將結(jié)構(gòu)目標(biāo)點位移顯式化處理，并利用拉格朗日乘子法，推導(dǎo)出了采用新過濾函數(shù)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)MWDC模型的求解算法. 同時，基于MATLAB軟件平臺開發(fā)并編譯了136行平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序，并利用該程序，通過4個數(shù)值算例對改進的模型進行了結(jié)果驗證與比較.

1 基于ICM方法的MWDC模型概述

ICM拓?fù)鋬?yōu)化方法[12-13]，是以一種以獨立于單元具體物理參數(shù)的變量來表征單元“有”與“無”的拓?fù)鋬?yōu)化模型. 在優(yōu)化過程中，利用過濾函數(shù)將本質(zhì)上屬于0/1的離散拓?fù)渥兞坑成錇閇0，1]的連續(xù)變量，使得單元上的物理量同拓?fù)渥兞恐g的關(guān)系由不確定、不連續(xù)、不可導(dǎo)變成確定、連續(xù)、可導(dǎo)，從而將離散拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化成了光滑的數(shù)學(xué)模型. 優(yōu)化迭代結(jié)束后，再通過逆映射將連續(xù)的變量反演為離散變量. ICM結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法通常以結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量最小(或結(jié)構(gòu)整體體積最小)為優(yōu)化目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)響應(yīng)作為約束條件，是一種典型的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型. 其以位移為約束的結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量最小的拓?fù)鋬?yōu)化模型可以表示為

(1)

典型的MCVC優(yōu)化模型是基于固體各向同性材材懲罰(solid isotropic microstructured with penalization，SIMP)方法[14-15]的拓?fù)鋬?yōu)化模型，其表達式為

(2)

式中：c(x)為結(jié)構(gòu)的柔順度；x為設(shè)計變量；U為位移列向量；K為整體剛度矩陣；xe為單元設(shè)計變量；ue為單元位移列向量；k0為單元剛度矩陣；V(x)為設(shè)計變量對應(yīng)狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)體積；V0為初始結(jié)構(gòu)體積；f為體積比；F為載荷列向量；xmin與xmax分別為單元內(nèi)設(shè)計變量的下限值與上限值；p為懲罰因子.

由于工程中最常用的結(jié)構(gòu)物理量指標(biāo)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量(或體積)、強度、剛度及穩(wěn)定性等，因此相比于MCVC模型，MWDC模型更符合工程問題的慣常提法. 在MWDC模型的發(fā)展中，為了便于與由Sigmund[15]所提出的典型的MCVC優(yōu)化模型所得最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行分析比較，Yi等[10]針對冪函數(shù)形式過濾函數(shù)的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型進行了研究.

在ICM優(yōu)化方法中，過濾函數(shù)發(fā)揮著極其重要的作用. 過濾函數(shù)不僅可以實現(xiàn)對于拓?fù)渥兞康倪^濾和篩選，完成對拓?fù)渥兞坑蛇B續(xù)模型向離散模型的回歸，而且過濾函數(shù)在建模中還起到了識別幾何或物理量的作用，比如

(3)

(4)

綜上所述，可以得到引入過濾函數(shù)的位移約束下結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化MWDC模型表達式為

(5)

式中：fw(ti)和fk(ti)為過濾函數(shù).

在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中，選取不同形式的過濾函數(shù)，直接會導(dǎo)致優(yōu)化求解計算效率與優(yōu)化結(jié)果的差異. ICM方法中所采用的過濾函數(shù)主要包括冪函數(shù)形式的過濾函數(shù)和復(fù)合指數(shù)函數(shù)形式的過濾函數(shù)等[13]，其數(shù)學(xué)表達式分別為

式中α、γ為常數(shù)，可以通過數(shù)值試驗的方法獲得.

由文獻[16]可知，對于冪函數(shù)形式的過濾函數(shù)和復(fù)合指數(shù)形式的過濾函數(shù)2種常見過濾函數(shù)而言，在設(shè)計變量[0,1]區(qū)間中，采用復(fù)合指數(shù)形式的過濾函數(shù)相比于冪函數(shù)形式的過濾函數(shù)更易使對應(yīng)設(shè)計變量迅速趨近于1. 本文將研究采用

(6)

(7)

所示的復(fù)合指數(shù)函數(shù)形式過濾函數(shù)對式(1)中單元質(zhì)量與單元剛度矩陣進行過濾，從而進一步探討過濾函數(shù)對MWDC模型拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響.

2 改進的MWDC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)優(yōu)化模型建立與求解

2.1 位移約束下改進的MWDC優(yōu)化模型中的位移約束顯式化

由莫爾定理可知，結(jié)構(gòu)任意節(jié)點在某一方向上的廣義位移可表示為

(8)式中：si為第i個單元對于結(jié)構(gòu)目標(biāo)點位移的影響值；σig為設(shè)計區(qū)域結(jié)構(gòu)中實載荷下的單元應(yīng)力向量；εiv為設(shè)計區(qū)域結(jié)構(gòu)中虛載荷下的單元應(yīng)變向量.

根據(jù)虛功原理“外力在虛位移上做的功等于內(nèi)力在虛位移導(dǎo)致的虛變形上所做的虛功”，可以得到

(9)

(10)

根據(jù)有限元原理，設(shè)計域結(jié)構(gòu)的單元剛度

(11)

引入復(fù)合指數(shù)型過濾函數(shù)，則單元剛度矩陣可以表示為

(12)

將設(shè)計域結(jié)構(gòu)的單元剛度代入虛功原理公式(10)，可以得到設(shè)計區(qū)域中目標(biāo)點位移為

(13)

將得到的單元剛度矩陣代入設(shè)計區(qū)域中目標(biāo)點位移公式，可以得到目標(biāo)點位移的顯式化表達式為

(14)

通過上述轉(zhuǎn)化，借助剛度矩陣過濾函數(shù)，位移約束由設(shè)計變量的隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為了顯函數(shù).

2.2 位移約束下改進的MWDC優(yōu)化模型求解

將上述得到的目標(biāo)點位移的顯式化表達式(14)代入如式(1)所示的MWDC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)位移約束下結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量最小的優(yōu)化模型，可以得到改進的MWDC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(15)

為了獲得上述優(yōu)化模型的設(shè)計變量最優(yōu)解，利用拉格朗日乘子法進行計算分析. 引入拉格朗日乘子λ，得到拉格朗日方程為

(16)

拉格朗日函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)可以表示為

(17)

(18)

消去拉格朗日乘子λ可得最終解為

(19)

至此，完成了該改進的MWDC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化模型設(shè)計變量的分析求解.

2.3 改進的MWDC優(yōu)化模型優(yōu)化收斂準(zhǔn)則與計算流程

(20)

基于以上位移約束下改進的MWDC優(yōu)化模型，將整個求解過程利用M語言在Matlab軟件平臺進行了編譯與實現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序流程如圖1所示.

3 數(shù)值算例

為了進一步驗證該改進的MWDC優(yōu)化模型的有效性與可行性，本文給出4個經(jīng)典數(shù)值算例，分別對采用冪函數(shù)形式過濾函數(shù)的MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型與采用復(fù)合指數(shù)形式過濾函數(shù)的改進的MWDC模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行分析比較.

算例1左端固支懸臂梁，其結(jié)構(gòu)如圖2所示. 基結(jié)構(gòu)為32 mm×20 mm×1 mm，載荷為F=1 N，彈性模量E0=1.0 MPa，泊松比為μ=0.3.

采用MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型以及本文改進的MWDC模型的3種優(yōu)化模型所得到的平面連續(xù)體最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及迭代次數(shù)分別如表1所示，與該結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量迭代曲線以及結(jié)構(gòu)位移迭代過程曲線如圖3、4所示.

表1 左端固支懸臂梁平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

根據(jù)以上優(yōu)化結(jié)果，采用MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型以及改進的MWDC模型3種優(yōu)化模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本相同. 其中，采用MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型所得到的優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總質(zhì)量差別較小，而采用改進的MWDC模型所得到的優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總質(zhì)量較MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型分別降低5.11%和6.93%. 此外，采用3種模型進行拓?fù)鋬?yōu)化求解的迭代次數(shù)分別為71、70、35次. 可見，采用改進后的MWDC模型較MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型在優(yōu)化求解效率上分別實現(xiàn)了50.70%和50.00%的顯著提升.

算例2左端固支帶孔懸臂梁，其結(jié)構(gòu)如圖5所示. 結(jié)構(gòu)為45 mm×30 mm×1 mm，載荷為F=1 N，彈性模量E0=1.0 MPa，泊松比為μ=0.3，孔的位置為從左往右橫向長度的1/3和縱向長度的1/2，半徑為縱向長度的1/3.

采用MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型以及本文改進的MWDC模型的3種優(yōu)化模型所得到的平面連續(xù)體最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及迭代次數(shù)分別如表2所示，與該結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量迭代曲線以及結(jié)構(gòu)位移迭代過程曲線如圖6、7所示.

表2 左端固支帶孔懸臂梁平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

根據(jù)以上優(yōu)化結(jié)果可知，采用MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型以及改進的MWDC模型3種優(yōu)化模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本相同. 其中，采用改進的MWDC模型所得到的優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總質(zhì)量較MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型分別降低了2.08%和7.90%. 此外，采用3種優(yōu)化模型進行拓?fù)鋬?yōu)化求解的迭代次數(shù)分別為34、51、11次. 可見，采用改進的MWDC模型較MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型在優(yōu)化求解效率方面具有顯著提升.

算例3左端固支右端中部加載懸臂梁，其結(jié)構(gòu)如圖8所示. 基結(jié)構(gòu)為80 mm×50 mm×1 mm，載荷為F=9 kN，彈性模量E0=1.0 MPa，泊松比為μ=0.3.

采用MCVC模型、傳統(tǒng)的MWDC模型以及本文改進的MWDC模型的3種優(yōu)化模型所得到的平面連續(xù)體最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及迭代次數(shù)分別如表3所示，與該結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量迭代曲線以及結(jié)構(gòu)位移迭代過程曲線如圖9、10所示. 由表3可見，采用改進的MWDC模型迭代次數(shù)最少，結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕，由表3可見.

表3 左端固支右端中部加載懸臂梁平面連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

Table 3 Plane continuum structure topology optimization results for cantilever beam with a load at the middle of right eadge

優(yōu)化模型MCVC模型[15]MWDC模型[10]本文改進的MWDC模型輸入?yún)?shù)Top99(80,50,0.5,3.0,1.5)Top120(80,50,0.35,3.0,1.5)Top120(80,50,0.35,1.9,1.5)優(yōu)化結(jié)果位移約束/mm0.350.35結(jié)構(gòu)質(zhì)量/kg1966.021990.171926.08迭代次數(shù)786812

算例4 MBB簡支梁的一半，其結(jié)構(gòu)如圖11所示. 基結(jié)構(gòu)為60 mm×20 mm×1 mm，載荷為F=1 N，彈性模量E0=1.0 MPa，泊松比為μ=0.3.

采用MCVC模型、MWDC模型以及改進的MWDC模型的3種優(yōu)化模型所得到的平面連續(xù)體最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及迭代次數(shù)分別如表4所示，與該結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量迭代曲線如圖12所示. 可以看到采用改進的MWDC模型較MCVC模型與傳統(tǒng)的MWDC模型在優(yōu)化求解效率方面具有顯著提升，迭代次數(shù)最少.

表4 MBB平面梁連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化及迭代次數(shù)

Table 4 Plane continuum structure topology optimization for MBB beam and the number of iterations

優(yōu)化模型MCVC模型MWDC模型改進的MWDC模型輸入?yún)?shù)Top99(60,20,0.5,3.0,1.5)Top120(60,20,203.30,3.0,1.5)Top120(60,20,203.30,3.0,1.5)優(yōu)化結(jié)果位移約束/mm203.30mm203.30mm結(jié)構(gòu)質(zhì)量/kg582.57599.15606.23迭代次數(shù)9412118

4 結(jié)論

1) 采用改進的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與采用MCVC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)模型和傳統(tǒng)的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型所得到的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本相同. 因此，改進的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型能夠滿足解決以目標(biāo)點位移作為約束條件的拓?fù)鋬?yōu)化問題.

2) 采用改進的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型所得到的優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量較采用MCVC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)模型和傳統(tǒng)的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型均有所降低.

3) 在拓?fù)鋬?yōu)化求解收斂速率方面，采用改進的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型較采用MCVC結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)模型和傳統(tǒng)的MWDC結(jié)構(gòu)經(jīng)濟指標(biāo)模型均實現(xiàn)了顯著提升，大幅降低了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的求解成本.

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(責(zé)任編輯 呂小紅)

Planar Continuum Structure Topology Optimization With Displacement Constraint Based on Independent Continuous Variables and Composite Exponential Function

YE Hongling, YIN Fangfang, WANG Weiwei, SUI Yunkang

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

To study the rationality and feasibility of the continuum structure topology optimization model， an improved minimum weight with a displacement constraint (MWDC) model by using exponential function was studied, which was based on the independent continuous mapping (ICM) method. A new topology optimization model for the problem of planar continuum structure with independent continuous variables and displacement constraints was established and solved. At the same time, a calculator program was developed and compiled based on the MATLAB in accordance with the new method. In addition, four typical numerical examples were adopted to verify the presented method. The topological results by taking advantage of MCVC model, MWDC model and improved MWDC model were compared with the view of structural mass and iterative numbers.Numerical results show that there is obvious advantage to solve the problem of planar continuum structure topology optimization with the improved MWDC optimization model in terms of calculation efficiency.

planar continuum structure; topology optimization; independent continuous mapping (ICM) method; displacement constraint；composite exponential function

2016- 08- 01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11072009)；北京市教育委員會資助項目(KM201610005001);北京工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金(001000514313003)

葉紅玲(1972—)， 女， 副教授， 主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化與多學(xué)科結(jié)構(gòu)分析方面的研究， E-mail: yehongl@bjut.edu.cn

TP 31；O 34

A

0254-0037(2016)12-1810-08

10.11936/bjutxb2016080005