福建莆田四中數(shù)學(xué)組(351100)黃雄林

百花齊放,各顯其艷—如何在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的思維

福建莆田四中數(shù)學(xué)組(351100)黃雄林

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一,如何打破傳統(tǒng)課堂教學(xué)陳規(guī),在數(shù)學(xué)課堂上發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,在教師的組織下通過學(xué)生的自主探究,將課堂中的思維空間讓給學(xué)生,是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂變革的新特點(diǎn).下面通過我的一節(jié)思維活動(dòng)課來談?wù)勅绾卧谡n堂上訓(xùn)練學(xué)生的思維.

(一)立足基礎(chǔ)、全員參與

課堂教學(xué)是面對(duì)班級(jí)全體學(xué)生的教學(xué),而不是部分學(xué)生、個(gè)別同學(xué)的教學(xué),因此要讓每個(gè)學(xué)生都有參與思維的機(jī)會(huì),激發(fā)每一個(gè)學(xué)生的思維是我們教學(xué)的前提.這就要求我們?cè)趥湔n時(shí)就應(yīng)立足基礎(chǔ),面向全體學(xué)生.本節(jié)課我以教材的一道課后習(xí)題為引例,展開了學(xué)生的思維訓(xùn)練.

例1.寫出過點(diǎn)A(?5,3),并且和曲線xy=1相切的兩條直線方程.(湘教《數(shù)學(xué)》選修2-2 P17)

我先讓學(xué)生思考片刻,并通過分組討論、合作交流,然后各組選派1名同學(xué)上來板演.發(fā)現(xiàn)了兩種不同的求解方法:

【方法1】解:由數(shù)形結(jié)合知過A(?5,3)的曲線xy=1的切線斜率存在,設(shè)切線斜率為k,方程為y?3=k(x+5).由

消去4y得:x[k(x+5)+3]?1=0,整理得

因?yàn)橹本€與曲線相切,故

整理得

學(xué)生們從不同的思維角度解決了求過某點(diǎn)的曲線的切線方程.有效地防止了思維定勢的發(fā)生.方法1使用直線與二次曲線關(guān)系中求曲線的切線的“?”法;方法2利用了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過求導(dǎo)的辦法來解決問題.這兩種方法都是高中數(shù)學(xué)的基本方法,涉及到的都是基礎(chǔ)知識(shí),學(xué)生易于接受且都能應(yīng)用.同時(shí)也讓大家都能感覺到動(dòng)手實(shí)踐,合作交流的樂趣,同學(xué)們體驗(yàn)到了成功的喜悅.

(二)趁勝追擊,繼續(xù)前進(jìn)

趁著大家在感受成功喜悅,我展開了本節(jié)課的創(chuàng)造性思維活動(dòng),來引領(lǐng)大家發(fā)現(xiàn)、提出問題展開思維空間.于是,我開始提出問題:“上例求出的兩條切線方程和 y=?x?2,它們與兩坐標(biāo)軸圍成的面積分別是多少?”通過一分鐘多的運(yùn)算、求解,大家得到了相同的結(jié)論:兩切線與坐標(biāo)軸圍成的面積均為2平方單位.

“是不是過曲線xy=1上每個(gè)點(diǎn)的的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積都是2平方單位?”帶著疑問的表情,和著同學(xué)們的好奇心,激起了大家的探究熱情.

圖1

得到了統(tǒng)一的結(jié)果:曲線xy=1上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積均為定值2平方單位.原來數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏著這么多的奧秘,同學(xué)們真是興奮不已.同時(shí),這節(jié)課同學(xué)們的思維也已進(jìn)入了高潮,我感覺火候已到,開始了本節(jié)課的探究活動(dòng).

(三)抓住時(shí)機(jī),適當(dāng)探究

(方法1)設(shè)出曲線的切線方程,利用“?”法求出切線的方程,并證明它與兩漸近性圍成的面積為定值1平方單位.

(方法2)根據(jù)圖形的對(duì)稱性,設(shè)(x0,y0)為曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),把雙曲線x2?y2=1化為函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過求導(dǎo)的方法得到切線方程來解決,也得到了相同的結(jié)論.

但這一次我又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)意外,有幾個(gè)同學(xué)正在激烈的討論著另一種方法,他們是應(yīng)用圓錐形曲線上某點(diǎn)處的切線系方程來證明,其方法過程如下:

(方法3)圖2,設(shè)過曲線x2?y2=1右支上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為x0x?y0y=1,與雙曲線的兩漸近性方程為y=x和y=?x相交于A、B兩點(diǎn),在切線x0x?y0y=1中:令y=0得得直線xx?yy=1與x00軸交點(diǎn)令y=x得x0x?y0x=1,x

圖2

為定值.當(dāng)點(diǎn)(x0,y0)為雙曲線左支上的點(diǎn)時(shí)同理可證得.

原來他們使用了圓錐曲線上某點(diǎn)處的切線系方程的結(jié)論:過雙曲線上的點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為簡潔的思維方法,簡練的解題過程令同學(xué)們觀為嘆止,興奮不已.我也得到了意外的收獲.

為了把思維延伸到課外,我給他們布置了兩道探究性思考題:

1.已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的拋物線y2=16x,過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M作拋物線切線l,又MN⊥l且交拋物線于另一點(diǎn)N,ME(E在M的右側(cè))平行于x軸,若∠FMN=λ∠NME,求λ的值.(答案:λ=1.思維目標(biāo):旨在引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)用曲線的點(diǎn)A(x0,y0))處的切線方程為:以及曲線y2=2px上,點(diǎn) B(x0,y0)處的切線方程為:y0y=p(x0+x)).

這一節(jié)課引用了在曲線上某點(diǎn)處的切線方程的求法,以及曲線上動(dòng)點(diǎn)處的切線與兩定直線圍成三角形面積的定值問題等知識(shí)點(diǎn),通過了合作討論,自主探究等教學(xué)方法,全面有效地訓(xùn)練了同學(xué)們的思維,也讓所有的同學(xué)都能在這一節(jié)課中得到收獲.同時(shí)我依據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提供學(xué)生更多的操作、思考和交流的機(jī)會(huì),使學(xué)生通過自己探索與合作交流形成了新的知識(shí).課堂上充分利用創(chuàng)設(shè)“問題”的教學(xué)方法,結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,提出問題,拓展學(xué)生的思維空間,發(fā)揮學(xué)生“自主學(xué)習(xí),合作探究”的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.通過師生互動(dòng),面向全體,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)了學(xué)生的求知欲,使學(xué)生在愉快和諧的交流中滿懷激情地學(xué)習(xí).