江西省奉新縣第二中學(xué)(330700)余秋根

談一談“韋達(dá)定理運(yùn)用中的隱含條件”

江西省奉新縣第二中學(xué)(330700)余秋根

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理也稱為韋達(dá)定理,它是由16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.韋達(dá)定理是指:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么運(yùn)用該定理求方程中參數(shù)k的值時(shí),一定要注意定理的隱含條件:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必須有實(shí)數(shù)根(即根的判別式?≥0).下面舉例解析如下:

例1:關(guān)于x的方程x2+(k?1)x+k2=0的兩根互為倒數(shù),則k=____.

甲同學(xué)答案:k=±1

請(qǐng)問:甲同學(xué)答案是否完全正確呢?

乙同學(xué)回答:這個(gè)答案有錯(cuò)誤,正確解答如下:

解:設(shè)方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則x1·x2=k2=1,∴k=±1,

當(dāng)k=1時(shí),方程為x2+1=0,?=?4,無實(shí)數(shù)根,因此k=1不成立.

當(dāng)k=?1時(shí),方程為x2?2x+1=0,?=0,有實(shí)數(shù)根,因此k=?1成立.∴k=?1.

例2:關(guān)于x的方程x2+(k?2)x+2k?1=0兩根互為相反數(shù),求k的值.

解:設(shè)方程兩個(gè)根分別為x1,x2,則x1+x2=?(k2?4)=0,∴k=±2,

當(dāng)k=2時(shí),方程為x2+3=0,?=?12,無實(shí)數(shù)根,因此k=2不成立.

當(dāng)k=?2時(shí),方程為x2?5=0,?=20,有實(shí)數(shù)根,因此k=?2成立.∴k=?2.

例3:已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2?(k?1)x+2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且求k的值.

解:x1+x2=k?1,x1·x2=2k而∴(x1+x2)2?2x1·x2=8,∴(k?1)2?4k=8,即k2?6k?7=0,解得k1=7,k2=?1.

當(dāng)k=7時(shí),方程為x2?6x+14=0,?=?20,無實(shí)數(shù)根,因此k=7不成立.

當(dāng)k=?1時(shí),方程x2+2x?2=0,?=12,有實(shí)數(shù)根,因此k=?1成立.∴k=?1.

例4:已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2?(2k?3)x+k2+ 1=0的兩個(gè)根且x1+x2+2x1·x2=3,求k值.

解:x1+x2=2k?3,x1·x2=k2+1,代入得2k?3+2(k2+1)=3即k2+k?2=0,解得k1=1, k2=?2.

當(dāng)k=1時(shí),方程x2+x+2=0,?=?7,無實(shí)數(shù)根,因此k=1不成立.

當(dāng)k=?2時(shí),方程x2+7x+5=0,?=29,有實(shí)數(shù)根,因此k=?2成立.∴k=?2.

例5:是否存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?

評(píng)注:例1,2,3,4中各求得兩個(gè)k的值,經(jīng)檢驗(yàn)?的符號(hào)都有一個(gè)k值不合題意二舍去,而例5中好不容易只求得一個(gè)k值為什么也不符合題意而舍去.其實(shí)道理很簡單,當(dāng)我們剛開始解題十時(shí)根本沒有關(guān)注原方程是否有實(shí)數(shù)根,而是往往默認(rèn)原方程有實(shí)數(shù)根,從而設(shè)兩根分別為x1,x2,因此,筆者溫馨提示:利用韋達(dá)定理求一元二次方程中參數(shù)k值時(shí),一定不忘驗(yàn)算的符號(hào)?=b2?4ac,當(dāng)k≥0時(shí)就成立,當(dāng)k值滿足?<0時(shí)就不成立,應(yīng)舍去.

[1]肖斌.充滿活力的韋達(dá)定理[J].《中學(xué)教與學(xué)》1988年07期.

[2]黃細(xì)把.判別式與韋達(dá)定理的綜合運(yùn)用[J].《中學(xué)生理科月刊》1999年36期.

[2]余廣萍.應(yīng)用判別式與韋達(dá)定理的常見錯(cuò)誤[A].青海師大附中.教研擷華.

例6.某農(nóng)戶計(jì)劃利用現(xiàn)有的一面墻再修四面墻,建造如圖六的長方體水池,培育不同品種的魚苗,他已備足可以修高為1.5m,長為18m的墻的材料準(zhǔn)備施工,若想使水池的總?cè)莘e最大,與現(xiàn)有一面墻垂直的墻的長度應(yīng)為多少?最大容積是多少?(不考慮墻的厚度)

解:由推論3知,當(dāng)2AC=2×3AD=18m,即當(dāng)AC=9m,AD=3m時(shí),長方體水池有最大容積,最大容積是9m×3m×1.5m=40.5m3.