秦愛芳,葛航

(上海大學(xué)土木工程系,上?！?00072)

線性加荷情況下非飽和土層一維固結(jié)特性分析

秦愛芳,葛航

(上海大學(xué)土木工程系,上海200072)

基于Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論,得到了線彈性和黏彈性兩種地基在線性加荷情況下,頂面透水透氣、底面不透水不透氣的單層非飽和土一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和沉降的半解析解.通過典型算例,分析了不同水、氣滲透系數(shù)比以及不同土層深度下超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和固結(jié)度隨時間的變化規(guī)律，并對線彈性和黏彈性兩種地基的計算結(jié)果進(jìn)行了比較分析.得到的結(jié)論對于非飽和土固結(jié)特性的研究及線性加荷下的固結(jié)工程具有一定的參考價值.

非飽和土；半解析解；一維固結(jié)；線荷載

地球表面非飽和土的覆蓋率較高,非飽和土的固結(jié)問題在實際工程中也較為常見.地基處理工程中常采用預(yù)壓固結(jié),即線性加荷到一定值后穩(wěn)定使其固結(jié).線性加荷情況下非飽和土的固結(jié)特性研究對于地基預(yù)壓等工程問題很有意義.

Therzaghi[1]和Biot[2]的飽和土固結(jié)理論雖然比較成熟,但并不適用于非飽和土.非飽和土中由于有氣體的存在,其固結(jié)特性要比飽和土復(fù)雜得多.

自20世紀(jì)60年代,人們就開始對非飽和土固結(jié)進(jìn)行研究,但由于非飽和土的復(fù)雜性,至今沒有統(tǒng)一的固結(jié)理論.國外比較經(jīng)典的有Fredlund等[3]、Barden[4]提出的固結(jié)方程，國內(nèi)Chen等[5-6]、楊代泉等[7]也提出了各自的非飽和土固結(jié)方程.目前非飽和土固結(jié)理論中具有代表性和權(quán)威性的是Fredlund的非飽和土固結(jié)理論及方程.

秦愛芳等[8-10]在Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行假設(shè),得到了大面積均布瞬時加載單面排水條件下的非飽和土線彈性地基一維固結(jié)的解析解、加荷隨時間指數(shù)變化下線彈性地基一維固結(jié)的解析解和大面積均布瞬時加載下黏彈性地基一維固結(jié)的半解析解.實際工程中更多的是線性加荷情況.對于線性加荷情況下的飽和土,謝康和等[11-12]研究了變荷載下飽和土的一維大應(yīng)變固結(jié)解析理論，李傳勛等[13-15]進(jìn)行了變荷載下基于指數(shù)滲流的單層、雙層線彈性地基一維固結(jié)分析.

本工作基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,得到線性加荷情況下頂面為透水透氣面、底面為不透水和不透氣面的非飽和土層一維固結(jié)的半解析解,并且針對線彈性和黏彈性兩種情況進(jìn)行比較分析.研究結(jié)果對地基預(yù)壓等線性加荷下地基固結(jié)問題具有參考價值.

1　基本理論

1.1基本假定

本研究基本假定如下：①土粒和水分界面在外力作用下保持平衡；②氣相是連續(xù)的；③土體的體積變化系數(shù)在固結(jié)中保持不變；④液相、氣相滲透系數(shù)均為基質(zhì)吸力的函數(shù),在固結(jié)過程中非線性變化,在足夠小的時間段內(nèi)假定為常數(shù)；⑤不考慮土中水與空氣的相互溶解及擴(kuò)散；⑥土顆粒與水均不可壓縮,固結(jié)過程中非飽和土體的總體積變化等于液相和氣相體積變化之和；⑦固結(jié)過程中所有應(yīng)變均為小應(yīng)變.

1.2線彈性

計算模型如圖1所示,取單層非飽和土,土層厚為H,頂面為排水排氣面,底面為不排水不排氣面,線性加荷為

式中，qu=100 kPa,tc=105s.荷載隨時間的變化規(guī)律如圖2所示.

圖1　計算模型Fig.1　Calculation model

圖2　荷載隨時間的變化Fig.2　Load variation over time

1.2.1液相控制方程

基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,可以得到線性加荷情況下的液相控制方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中ua,uw為超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力,kw為水滲透系數(shù),γw為水的重度,mw1k為K0加荷下相應(yīng)于凈法向應(yīng)力變化d(σ?ua)的水體積變化系數(shù),mw2為K0加荷條件下相應(yīng)于基質(zhì)吸力變化d(ua?uw)的水體積變化系數(shù).

1.2.2氣相控制方程

基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,也可以得到線性加荷情況下的氣相控制方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中ka為氣滲透系數(shù),M為平均摩爾質(zhì)量,R=8.314 J/(mol·K)為通用氣體常數(shù),T為絕對溫度,g為重力加速度,n0為加載前的初始孔隙率,Sr0為加載前的初始飽和度,為初始絕對孔隙氣壓力,uatm為大氣壓,為K0加荷下相應(yīng)于凈法向應(yīng)力變化d(σ?ua)的氣體積變化系數(shù),為K0加荷條件下相應(yīng)于基質(zhì)吸力變化d(ua?uw)的氣體積變化系數(shù).

1.2.3矩陣微分方程

達(dá)西定律：

式中,hw為水頭,且hw=z+uw/γw.

空氣傳導(dǎo)系數(shù)修正后的氣體流動Fick定律：

將式(2)～(5)分別進(jìn)行Laplace變換,得到如下矩陣形式的偏微分方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中s為Laplace變量.

1.2.4Laplace變換下求解

利用Cayley-Hamilton理論求解矩陣微分方程(6),可以得到頂面狀態(tài)向量與任意深度處狀態(tài)向量間的關(guān)系：

式中,Tij以及S1～S4的求解方法同文獻(xiàn)[9],其中

邊界條件(頂面透水透氣、底面不透水不透氣)：

初始條件：

最終可以得到Laplace變換下任意深度超孔隙水壓力和超孔隙氣壓力的表達(dá)式,方法同文獻(xiàn)[9],

1.3黏彈性

黏彈性情況采用Merchant本構(gòu)模型,如圖3所示.該模型由一個彈性體和Kelvin體串聯(lián)而成.本構(gòu)方程為

圖3　Merchant模型Fig.3　Merchant model

對式(13)作關(guān)于時間t的Laplace變換,可得

式中,V(s)為柔度系數(shù)的Laplace變換式.

采用李氏比擬法,引入柔度系數(shù)的Laplace變換式V(s)來代替線彈性模型中的常數(shù)1/E,直接對連續(xù)方程和本構(gòu)方程進(jìn)行Laplace變換,得到控制方程,進(jìn)而求得黏彈性情況下Laplace變換域內(nèi)的解,方法同文獻(xiàn)[10],

采用Crump[16]給出的方法編制程序,對式(11)～(13)及式(16)～(18)進(jìn)行Laplace逆變換,即得到線彈性及黏彈性有限厚度土層一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力以及土層沉降的半解析解.

2　算例與分析

2.1算例

對固結(jié)過程中的超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力以及固結(jié)度隨時間的變化規(guī)律進(jìn)行分析,結(jié)果如圖4～8所示,其中固結(jié)度是整個固結(jié)過程中土層某一時刻的固結(jié)量與最終沉降量的比值.

2.2分析

(1)圖4為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時ua/qu的變化.可以看出：隨著荷載的增加,超孔隙氣壓力增大,當(dāng)加荷穩(wěn)定時達(dá)到最高值,然后開始消散；ka/kw越大,消散的時間越短.整個消散階段曲線陡降較大,說明消散是在短時間內(nèi)完成的.黏彈性和線彈性的整體趨勢是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得超孔隙氣壓力的增長受阻,因此黏彈性情況下超孔隙氣壓力的峰值較線彈性要小.

(2)圖5為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時uw/qu的變化.可以看出：隨著荷載的增加,超孔隙水壓力增大,當(dāng)加荷穩(wěn)定時達(dá)到最高值,然后開始消散；消散曲線中有一段平臺期,ka/kw越大,到達(dá)平臺期的時間越短；在超孔隙水壓力消散結(jié)束后,無論ka/kw大小如何,超孔隙水壓力消散曲線都趨于一致.與超孔隙氣壓力情況類似,黏彈性和線彈性的整體趨勢是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得超孔隙水壓力的增長受阻,因此黏彈性情況下超孔隙水壓力的峰值較線彈性要小.

圖4　z=8m時不同ka/kw情況下ua/qu隨時間的變化規(guī)律Fig.4　Changes in ua/quwith time under different ka/kwwhen z=8 m

圖5　z=8 m時不同ka/kw情況下uw/qu隨時間的變化規(guī)律Fig.5　Changes in uw/quwith time under different ka/kwwhen z=8 m

(3)圖6為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時固結(jié)度的變化.對應(yīng)于超孔隙水壓力的變化,固結(jié)度變化曲線也有一個平臺期.平臺期之前為超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力快速消散的階段,固結(jié)速度較快；ka/kw越大,到達(dá)平臺期的時間越短；在超孔隙氣壓力消散結(jié)束后,無論ka/kw大小如何,固結(jié)度變化曲線都趨于一致；黏彈性和線彈性的整體趨勢是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得黏彈性固結(jié)的過程較為平緩,平臺期亦不明顯.

圖6　z=8 m時不同ka/kw情況下固結(jié)度隨時間的變化規(guī)律Fig.6　Changes in degree of consolidation with time under different ka/kwwhen z=8 m

(4)圖7為線彈性和黏彈性線性加荷情況下土層深度不同時ua/qu的變化.由圖可知,深度越深,超孔隙氣壓力消散至同一水平的時間就越長.這是因為深度越深,離排氣面就越遠(yuǎn),滲透路徑越長.黏彈性與線彈性情況相似.

圖7　ka/kw=10時不同z/H情況下ua/qu隨時間的變化規(guī)律Fig.7　Changes in ua/quwith time under different z/H when ka/kw=10

(5)圖8為線彈性和黏彈性線性加荷情況下土層深度不同時uw/qu的變化.由圖可知,土層深度越深,超孔隙水壓力消散至同一水平的時間就越長；當(dāng)超孔隙水壓力消散完成時,超孔隙水壓力出現(xiàn)了一段平緩的曲線段,且深度越深,平緩段越長.黏彈性與線彈性情況相似.

圖8　ka/kw=10時不同z/H情況下uw/qu隨時間的變化規(guī)律Fig.8　Changes in uw/quwith time under different z/H when ka/kw=10

2.3驗證

將上述針對非飽和土算例的分析結(jié)果退化到飽和土的情況,并與飽和土情況下的解進(jìn)行比較驗證.

2.3.1Laplace變換下飽和土的解

Gibson等[17]給出的加荷隨時間變化的飽和土單向固結(jié)的微分方程為

令σ=q(t)(t≤tc),可得到線荷載作用下飽和土的固結(jié)微分方程：

結(jié)合式(4),用類似于非飽和土的推導(dǎo)方法,對式(4)和(20)分別進(jìn)行Laplace變換,組成矩陣形式的偏微分方程：

利用Cayley-Hamilton理論求解此矩陣微分方程,可以得到頂面狀態(tài)向量與任意深度處狀態(tài)向量間的關(guān)系,通過引入邊界條件求得邊界向量,最后可以得到Laplace變換下任意深度超孔隙水壓力的表達(dá)式：

2.3.2非飽和土退化為飽和土的解對于飽和土,式(11)中,

將上述參數(shù)代入式(12),可得

由式(22)可以看出,退化后的解與飽和土的解一致.

3　結(jié)論

本工作在求得線彈性和黏彈性地基的單層非飽和土一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和沉降的半解析解的基礎(chǔ)上,分析了不同工況下超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和固結(jié)度的變化規(guī)律.研究結(jié)果表明：

(1)在線荷載作用下線彈性和黏彈性情況超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力的消散規(guī)律相似.但由于土的黏性使得黏彈性情況下的峰值較線彈性情況要小,固結(jié)相對平緩.

(2)超孔隙氣壓力要先于超孔隙水壓力消散完成,消散時間較短,其中ka/kw越大,超孔隙氣壓力消散越快.超孔隙水壓力在超孔隙氣壓力消散完成以后會有一個平臺期,ka/kw越大,抵達(dá)平臺期的時間越短,且平臺期越長；但過了平臺期以后,無論ka/kw如何變化,消散曲線都一致.

(3)離透水透氣面越遠(yuǎn),滲透路徑越長,超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力消散至同一水平的時間就越長,且超孔隙水壓力的平臺期越長.

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Analysis of one-dimensional consolidation characteristics in unsaturated soil under line loads

QIN Aifang,GE Hang
(Department of Civil Engineer,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Semi-analytical solutions of excess pore-air pressure,excess pore-water pressure and degree of consolidation are obtained based on the Fredlund’s one-dimensional consolidation theory for unsaturated soil.The research object is a layer of unsaturated soil whose top surface is penetrable,and the bottom surface impenetrable to water and air.With a typical example,rules of excess pore-air pressure,excess pore-water pressure and degree of consolidation changing with time in different soil depth and ratio of permeability coefficient of air and water are analyzed.The linear elastic and viscoelastic situations are calculated, analyzed and compared.The conclusions are useful in the research of unsaturated soil consolidation characteristics and practical engineering problems about consolidation under line loads.

unsaturated soil；semi-analytical solution；one-dimensional consolidation；line load

TU 44

A

1007-2861(2016)05-0624-13

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.01.002

2015-01-17

上海市自然科學(xué)基金資助項目(13ZR1416200)；上海市教委科研創(chuàng)新基金資助項目(13YZ018)

秦愛芳(1966—),女,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向為巖土力學(xué)與工程. E-mail:qinaifang@shu.edu.cn