周端美，丁佳文

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

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·計算方法·

關(guān)于秩-3矩陣的Yang-Baxter 型矩陣方程的交換解*

周端美，丁佳文

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

令A(yù)是一個特征值為0，秩為3的矩陣，本文給出矩陣方程AXA=XAX的所有交換解.

Yang-Baxter矩陣方程； Jordan標(biāo)準(zhǔn)型；秩

1 引言

在1967年12月，楊振寧教授發(fā)表了一篇關(guān)于簡單一維多體問題的論文[1]，并引入方程

(1)

其中A和B是有理函數(shù).5年后，R. J. Baxter在研究一些經(jīng)典二維統(tǒng)計力學(xué)問題時同樣獨立給出了這個方程[2].之后這方程被定義為Yang—Baxter Equation (YBE).由 (1) 式，還導(dǎo)出了不同形式的YBE.設(shè)V是復(fù)向量空間，R(u)是u∈C的取值于Endc(V?V)中的函數(shù).關(guān)于R(u)的下述方程就稱為YBE：

R12(u)R13(u+v)R23(v)=R23(v)R13(u+v)R12(u)

這里Rij表示V?3的如下的矩陣：它作用在第i個與第j個分量上相當(dāng)于R(u)，作用在另一個分量上相當(dāng)于恒等映射；例如R23(u)=I?R(u)，變量u稱為譜參數(shù).(1) 式的解常常稱作R矩陣.

自從YBE由楊振寧(1967)[1]和巴克斯特(R. J. Baxter1972)[2]分別獨立引入到物理學(xué)中，它一直是作為統(tǒng)計力學(xué)與量子場論中可積模型的主要方程在研究.在其它領(lǐng)域，如C*-代數(shù)，環(huán)鏈不變量，量子群和保形場論等也有很多應(yīng)用[3-7]，這使YBE的重要性更加突出，并引起了許多人的興趣.近年來，研究者發(fā)現(xiàn)YBE和量子信息、拓?fù)淞孔佑嬎阌兄o密的聯(lián)系.隨著量子信息和量子計算的快速發(fā)展，量子信息理論被當(dāng)作一種重要的物理資源引起越來越多的關(guān)注.從而YBE 及其相關(guān)的數(shù)學(xué)物理性在近幾年已成為理論物理和數(shù)學(xué)物理研究領(lǐng)域的前沿分支之一，它包含了極為豐富的物理內(nèi)容.借助幺正的YBE來研究量子糾纏、量子信息傳輸以及拓?fù)淞孔佑嬎愠蔀榱吮容^熱門的研究課題.該分支領(lǐng)域的研究極大的豐富了以YBE為中心的理論.然而，這樣一個簡單的矩陣方程卻還沒有在矩陣論中得到很好的研究[8-14].下面我們把YBE (1) 做一些限制性條件，從而轉(zhuǎn)化成更簡單的矩陣方程.

如果A和B關(guān)于u和v都是獨立的，則YBE (1) 化簡成

(2)

則稱(2)為Yang—Baxter矩陣方程(YBME).要找到所有滿足矩陣方程(2)的矩陣對(A,B)并不是一件簡單的工作.在兩個n×n矩陣A和B中固定一個矩陣，如固定A，找滿足矩陣方程(2)的B等價于求解一個n2個未知數(shù)，n2個二次方程的方程組.多項式方程系統(tǒng)的解是代數(shù)幾何的一個主要的熱點問題，要找到所有的解并不是一件容易的事，即使是3×3的矩陣[8].本文的目的：當(dāng)A是特征值為0,秩為3矩陣時，找到所有滿足(2)式的可交換矩陣對(A,B).因此，我們假定矩陣A已知，解下面方程

(3)

中的矩陣X.A為任意矩陣時， X=0和X=A都是方程(3)的解，所以要解的是這兩個平凡解之外其他的解.以下如無特別聲明，都指非平凡解.YBME(3)作為二次方程，方程有無窮多解.

當(dāng)A任意時，令A(yù)的Jordan分解為

(4)

再令Y=W-1XW,則由AXA=XAX可得JYJ=YJY,由于需要找矩陣方程AXA=XAX的交換解，即滿足AX=XA，由此可得JY=YJ.反過來說，如果J=W-1AW，Y=W-1XW滿足JYJ=YJY和JY=YJ，那么A和X就滿足AXA=XAX和AX=XA.所以求解交換解X可求解

(5)

這個矩陣方程組，然后再用X=WYW-1回代求出最終的交換解.

因為矩陣A的特征值為0，且秩為3，所以它的相似Jordan矩陣J滿足下面兩個條件：

2 當(dāng)Λ=Λ1時YBME的所有交換解

(6)

在這一部分，假設(shè)J=diag(0,Λ1)，即Λ=Λ1.另外兩種情況J=diag(0,Λ2)和J=diag(0,Λ3)將分別在第3和第4部分進行研究. 因為方程組(6)中最后一個方程ΛBΛ=BΛB本身就是一個YBME，為求YBMEJYJ=YJY的所有交換解，可先求解矩陣方程ΛBΛ=BΛB的所有交換解，即求解矩陣方程組

(7)

由此可得b21=b32=b31=b42=b41=b43=0，b11=b22=b33=b44，b12=b23=b34,b13=b24.所以，

(8)

再由矩陣方程組(7)中ΛBΛ=BΛB知

可得q2=q3=q4=0.因為M,p4,q1在方程中始終未出現(xiàn)，所以它們?yōu)槿我饬?由引理1知，當(dāng)B=B1時，

3 當(dāng)Λ=Λ2時YBME的所有交換解

在這一部分，本文給出在Λ=Λ2時，YBME(3)的所有交換解，即求解矩陣方程組(6).

引理2 當(dāng)Λ=Λ2時，矩陣方程組(7)關(guān)于B的解為

(9)

由此知b11=0，b44=0，b14=0，b42任意；或b11=0，b44=0，b42=0，b14任意.將b11,b44,b14,b42代入(9)可得B的解.證畢.

定理2 當(dāng)Λ=Λ2時，YBME(3)的所有交換解為X=WYW-1,

證畢.

4 當(dāng)Λ=Λ3時YBME的所有交換解

在這一部分，給出Λ=Λ3這種情況下，矩陣方程組(6)的解.

則C2=0.

定理3 當(dāng)Λ=Λ3時，YBME(3)的所有交換解為X=WYW-1,

5 數(shù)值例子

在這一部分我們將根據(jù)J=diag(0,Λ1)和J=diag(0,Λ2)兩種情況分別給出兩個例子.

6 結(jié)論

當(dāng)A是一個秩為3，特征值為0的矩陣時，本文給出了YBME(3)的所有交換解.本文所采用的方法是先找出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，用A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型代替A，從而得到一個簡化的YBME.根據(jù)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的不同形式，解出其相應(yīng)的交換解，再回代最終得到Y(jié)BME(3)的所有交換解.雖然不能用代數(shù)幾何方法找到Y(jié)BME(3)的所有解，但在一些特殊情況下，本文找到了一部分解.

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Commuting Solutions of the Yang-Baxter Matrix Equation for Rank-Three Matrices

ZHOU Duanmei, DING Jiawen

(SchoolofMathematicsandComputerScience,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

LetAbe a rank 3 matrix with eigenvalues 0. We get all the commuting solutions of the quadratic matrix equationAXA=XAX.

Yang-Baxter Matrix Equation; Jordan Form; Rank

2016-05-26

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.001

國家自然科學(xué)基金(11501126，11471122)；江西省自然科學(xué)基金(20151BAB211011)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(GJJ150979)；中央財政支持地方高校發(fā)展專項基金；贛南師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目

周端美(1985-),男,贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院講師,博士,研究方向：矩陣方程求解與應(yīng)用.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.004.html

O151.21

A

1004-8332(2016)06-0001-07