萬 軒，瞿先平,2，陳華峰

(1.重慶電訊職業(yè)學院 基礎部，重慶 402247；2.重慶理工大學 計算機科學與工程學院,重慶 400054)

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基于改進集的集值Ekeland變分原理的等價性

萬 軒1，瞿先平1,2，陳華峰1

(1.重慶電訊職業(yè)學院 基礎部，重慶 402247；2.重慶理工大學 計算機科學與工程學院,重慶 400054)

根據(jù)各種Ekeland變分原理的等價形式，主要研究具有改進集的集值Ekeland變分原理的等價性。首先利用具有改進集的集值Ekeland變分原理證明了集值Caristi-Kirk不動點定理，集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理。進一步研究具有改進集的集值Ekeland變分原理、集值Caristi-Kirk不動點定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理的等價性。

Ekeland變分原理；集值映射；Caristi-Kirk不動點定理；Takahashi非凸極小化定理；Oettli-Théra定理；等價性

0 引言

眾所周知，在20世紀70年代，Ekeland[1-2]給出的經(jīng)典的Ekeland變分原理是非線性分析中獲得的最重要的成果之一，同時在非線性分析、控制理論以及博弈論等相關領域中起到非常重要的作用。近年來，許多學者對Ekeland變分原理從不同的角度對其進行了各種各樣的推廣及其對其等價性結果進行了研究[3-8]。特別地，陳等人[3]分別在完備序空間和完備度量空間中建立了相關的廣義集值Ekeland變分原理。Ha[4]在局部凸空間中建立了一類變形的集值Ekeland變分原理，即Ha型集值Ekeland變分原理，并對其穩(wěn)定性進行了研究。Gutiérrez等人[5]利用集值度量等概念對向量值Ekeland變分原理進行推廣，得出了一類新的帶集值度量的Ekeland變分原理。丘[6]對Ha[4]所建立的Ha型集值Ekeland變分原理進行了推廣，并對其等價性進行了研究。進一步，丘[7]利用集值擬度量對Gutiérrez等人[5]的主要結果進行了推廣，建立了集值擬度量的集值Ekeland變分原理，并對其在近似解方面進行了相關研究。最近，萬軒等人[8]對給定有界凸子集乘以距離函數(shù)為擾動的單調(diào)半連續(xù)映射的向量Ekeland變分原理的等價性進行了研究。萬軒等人[9]利用非線性標量化函數(shù)以及相應的非凸分離定理建立了具有改進集的集值Ekeland變分原理。

本文在文獻[6-9]中的相關研究工作的啟發(fā)下，利用具有改進集的集值Ekeland變分原理建立集值Caristi-Kirk不動點定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理，并給予證明，并進一步研究它們與具有改進集的集值Ekeland變分原理之間的等價性。

1 預備知識

本文假定(X,d)是度量空間，Y是局部凸空間，N+表示正整數(shù)全體。設A?Y，intA和clA分別表示A的拓撲內(nèi)部和A的閉包。錐K?Y稱為點的，若K∩(-K)={0}。設K?Y為點閉凸錐且int K≠?，對任意的x,y∈K有x≤Ky?y-x∈K。

設F:X→2Y為集值映射。稱F為K-閉的，若對任意的x∈X，F(xiàn)(x)+K是閉的。稱F(X)是K-有界的，若存在有界集M?Y使得F(X)?M+K。

定義1[6]稱(X,d)是(F,K)-下完備的，若Cauchy點列{xn}?X收斂且滿足對任意n∈N+，F(xiàn)(xn)?F(xn+1)+K。

稱F在X上為K-序列下單調(diào)的，若F在任意x∈X處均為K-序列下單調(diào)的。

定義3[10-12]稱非空集E?Y為關于K的改進集，若0?E且E+K=E。Y中關于K的全體改進集簇記為Y。

注1 由文獻[11]中的引理2.1可知，int K≠?蘊含int E≠?。

定理1[9]設E∈Y為凸集且E? int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。則存在滿足

(1)

(2)

2 主要結果

在本節(jié)中，我們將給出具有改進集的集值Caristi-Kirk不動點定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理，并研究與具有改進集的集值Ekeland變分原理之間的等價性。

定理2(集值Caristi-Kirk不動點定理) 設E∈Y為凸集且E?int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E，對于集值映射T:X→2Y滿足對任意x∈X，存在z∈Tx使得

F(x)?F(z)+d(x,z)E

(3)

(4)

(5)

定理3(集值Takahashi非凸極小化定理) 設E∈Y為凸集且E?int K，F(xiàn):X→2Y是K-序列下單調(diào)的且K-閉的，(X,d)為(F,K)-下完備的。若x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。如果對于集值映射F中的任意一個不是嚴格極小值點x∈X，存在z∈X{x}使得F(x)?F(z)+d(x,z)E。則F在X上存在嚴格極小值點，即存在使得

證明 首先給出Sx和Tx的定義

Sx={z∈X{x}: F(x)?F(z)+d(x,z)E}

1)當x是F的嚴格極小值點時，定義Tx為Tx={x}；

2)當x不是F的嚴格極小值點時，定義Tx為Tx=Sx。

通過Sx和Tx的定義，顯然可得對任意x∈X有x?Sx，Tx≠?和T:X→2Y為集值映射。又因為對任意一個不是F的嚴格極小值點x∈X可得，存在z∈Tx使得z∈Sx，即，z≠x和F(x)?F(z)+d(x,z)E。

定理4 定理3蘊含定理1。

證明 假設x0∈X滿足F(x0)F(X)+E。設

S={x∈X: F(x0)?F(x)+d(x0,x)E}

下證(2)式成立。若(2)式不成立，則對任意x∈S，存在z≠x使得

F(x)?F(z)+d(x,z)E

(6)

又由d(x0,z)≤d(x0,x)+d(x,z)可得

d(x0,x)E+d(x,z)E?d(x0,z)E+K

(7)

F(x0)?F(x)+d(x0,x)E?F(z)+d(x,z)E+d(x0,x)E?F(z)+d(x0,z)E+K=F(z)+d(x0,z)E+d(x0,z)K=F(z)+d(x0,z)E

則z∈S。又因為z≠x，則顯然有z≠x0。

(8)

注2 定理2，定理3和定理4蘊含了集值Ekeland變分原理與集值Caristi-Kirk不動點定理，集值Takahashi非凸極小化定理的等價性。

S={z∈X:F(x0)?F(z)+d(x0,z)E}

(9)

(10)

定理6 定理5蘊含定理1。

證明 對任意給定的x∈X，我們定義集值映射T:X→2Y：

Tx={z∈X:F(x)?F(z)+d(x,z)E}

故我們得出定理1中的(1)式和(2)式，即定理1成立。

注3 由定理5和定理6可知集值Ekeland變分原理和集值Oettli-Théra定理等價。

注4 由注2和注3進一步說明集值Ekeland變分原理、集值Caristi-Kirk不動點定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理的等價性。

注5 令k0∈int K，ε>0且E=εk0+K。則定理2和定理3分別可退化為文獻[6]中定理3.2和定理3.3的λ=1的情況。

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[4] HA T X D.Some variants of the Ekeland variational principle for a set-valued map[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2005,124(1):187-206.

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[7] QIU J H.Set-valued quasi-metrics and a general Ekeland's variational principle in vector optimization[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2013,51(2):1350-1371.

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Equivalence on Ekeland’s variational principle via improvement sets for set-valued maps

WAN Xuan1, QU Xianping1,2, CHEN Huafeng1

(1.Department of Foundation, Chongqing Telecommunication Polytechnic College, Chongqing 402247, China;2.College of Computer Science and Engineering, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Based on equivalent formulations of various types of Ekeland's variational principle, we consider the equivalence on Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps. By using a Ekeland's variational principle via improvement sets for set-valued maps, we present a simple proof of a Caristi-Kirk’s fixed point theorem, a Takahashi’s nonconvex minimization theorem and a Oettli-Théra theorem for set-valued maps. Furthermore, we study the equivalence among the Ekeland's variational principle via improvement sets, the Caristi-Kirk’s fixed point theorem, the Takahashi's nonconvex minimization theorem and the Oettli-Théra theorem for set-valued maps.

Ekeland’s variational principle；set-valued map；Caristi-Kirk’s fixed point theorem；Takahashi’s nonconvex minimization theorem；Oettli-Théra theorem；equivalence

1004—5570(2016)06-0070-04

2016-09-05

重慶市教委科學技術研究項目(NO. KJ1605201)

萬 軒(1987-)，男，碩士，講師，研究方向：向量優(yōu)化理論及其應用，E-mail: wanxuantony@126.com.

O221.1

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