●張翠萍

清晰完整話歸納

●張翠萍

歸納法是從觀察、實(shí)驗(yàn)和調(diào)查所得的個(gè)別事實(shí)中抽象概括出具有普適性的一般原理的一種思維方式或推理形式，其主要環(huán)節(jié)是歸納推理。如何才能使得歸納清晰且完整呢？筆者在教學(xué)中做了如下嘗試。

一、借助直觀，清晰歸納

幾何直觀通過(guò)圖形描述和分析把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，在推理教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到幾何直觀來(lái)明晰思路。

筆者在執(zhí)教人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)《圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算》時(shí)，出示了這樣一道思考題：有三個(gè)邊長(zhǎng)都是6厘米的正方形，第一個(gè)正方形里畫(huà)1個(gè)最大的圓，第二個(gè)正方形里畫(huà)4個(gè)相同的盡量大的圓，第三個(gè)正方形里畫(huà)9個(gè)相同的盡量大的圓，問(wèn)這幾個(gè)正方形中圓的面積之和占正方形面積的百分之幾？剛開(kāi)始有學(xué)生猜想9個(gè)小圓的面積一定比1個(gè)大圓的面積大，也有學(xué)生反駁。筆者沒(méi)有給出定論，而是引導(dǎo)學(xué)生先在稿紙上畫(huà)出示意圖，畫(huà)圖的過(guò)程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要想得到面積最大的圓，圓的半徑必須最長(zhǎng)。根據(jù)題意，在第一個(gè)正方形中應(yīng)畫(huà)一個(gè)以正方形的中心為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓（如圖1）。要畫(huà)4個(gè)盡可能大的圓，應(yīng)先將正方形分成4個(gè)等大的小正方形，再以小正方形的中心為圓心，以小正方形的邊長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)出4個(gè)等大的圓（如圖2）。以此類推，要畫(huà)9個(gè)等大的圓，需要先把正方形分割成9個(gè)等大的小正方形，再畫(huà)出如圖3所示的9個(gè)等大的圓。根據(jù)圖示還無(wú)法一眼看出三幅圖中圓的面積關(guān)系，不過(guò)借助圖示可以知道圓的半徑。通過(guò)計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一個(gè)正方形中大圓的面積是3.14×（6÷2）2=3.14×9，第二個(gè)正方形中四個(gè)小圓的面積之和是3.14×（6÷2÷2）2×4=3.14×9，第三個(gè)正方形中9個(gè)小圓的面積之和是3.14×（6÷3÷2）2×9=3.14×9。至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)這幾幅圖中圓的面積之和是相等的。這時(shí)有學(xué)生提出如果第四個(gè)正方形中有16個(gè)相同的盡量大的小圓，第五個(gè)正方形中有25個(gè)相同的盡量大的小圓，它們的面積之和還相等嗎？筆者肯定了該學(xué)生的大膽質(zhì)疑并引導(dǎo)全班學(xué)生共同探討，學(xué)生們借助直觀圖形，再次計(jì)算驗(yàn)證了這一結(jié)論，并總結(jié)出依次在正方形中取n2個(gè)相同的盡量大的小圓，其面積之和相等。

圖1

圖2

圖3

以上教學(xué)中借助幾何直觀，學(xué)生形成了猜想，再通過(guò)計(jì)算推翻猜想，推導(dǎo)出了正確結(jié)論。學(xué)生通過(guò)自主探究，不斷猜想、驗(yàn)證、反思，發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找規(guī)律，探尋本質(zhì)，獲得深刻理解。

二、巧妙設(shè)計(jì)，完全歸納

在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類比推理。歸納推理又多表現(xiàn)為不完全歸納推理。不過(guò)，一些教學(xué)素材也可以實(shí)現(xiàn)完全歸納推理。教師通過(guò)巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，能幫助學(xué)生建立完全歸納推理的意識(shí)。

筆者借用蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)《和的奇偶性》的教學(xué)談?wù)劸唧w做法。課前，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，與學(xué)生一起回顧一個(gè)數(shù)的奇偶性的判斷定理：判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，只需要看它的個(gè)位，個(gè)位是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)，個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)。之后，又讓學(xué)生判斷兩個(gè)數(shù)相加所得和的奇偶性，如：213214218+847645147所得的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？學(xué)生根據(jù)它們的個(gè)位8加7等于15，推斷出這兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)。以此為基礎(chǔ)，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)判斷任意兩個(gè)自然數(shù)相加所得和的奇偶性。為了便于研究，筆者先讓學(xué)生將任意兩個(gè)自然數(shù)相加的情況進(jìn)行分類，有學(xué)生認(rèn)為大致可以分為三類：偶數(shù)+偶數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)。這時(shí)，有學(xué)生提出，還有另外一種情況：奇數(shù)+偶數(shù)，應(yīng)該是四類。正在他們僵持不下之際，有學(xué)生提出，根據(jù)加法交換律，“奇數(shù)+偶數(shù)”與“偶數(shù)+奇數(shù)”所得的和是一樣的，所以還是只有三種情況。那么，它們的和又分別是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？剛開(kāi)始，學(xué)生的猜測(cè)是：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。如何驗(yàn)證呢？學(xué)生想到舉例。如何舉例才能窮盡所有的可能呢？由于判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)只要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位，所以只要舉一位數(shù)加一位數(shù)的例子就可以了。也就是說(shuō)可以用個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)來(lái)代表所有的偶數(shù)，用個(gè)位是1、3、5、7、9的數(shù)來(lái)代表所有的奇數(shù)。它們相加后的所有可能可以用以下三個(gè)表格來(lái)概括。

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

從以上三個(gè)表格中可以清晰地看出偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。筆者引導(dǎo)學(xué)生從整體入手先分類再猜想，讓他們掌握了從復(fù)雜問(wèn)題中找出關(guān)鍵要素進(jìn)行有序思考的方法，從而提升了他們完全歸納推理的能力。

（作者單位：云夢(mèng)縣義堂中心小學(xué)）

責(zé)任編輯 孫愛(ài)蓉

責(zé)任編輯 姜楚華