廣州市廣雅中學(510140)李曉穎

基于提升高中生反思能力的數(shù)學變式教學策略研究*

廣州市廣雅中學(510140)李曉穎

一、數(shù)學變式教學的意義

隨著課程改革,高中課程的功能、內容、結構、評價都發(fā)生了根本性的改變,對學生能力的要求提出更高的要求.數(shù)學變式教學的基本思想是:運用不同的知識和方法,借鑒科學家發(fā)明創(chuàng)造的思想方法和數(shù)學問題的編擬手法,對有關數(shù)學概念、定理、公式及課本上的習題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化,有意識地引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質,從“不變”中探求規(guī)律,逐步培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質,增強其應變能力,激發(fā)其學習數(shù)學的積極性和主動性,提高其數(shù)學素質,培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識,從而真正把對能力的培養(yǎng)落到實處.目前國內各高校進行的自主招生考試,很多題目都是往年高考題目的變式題,這種題目有利于選拔高素質的學生,因此數(shù)學變式教學從這些方面都充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學生能力的要求.此外,現(xiàn)在的高考越來越關注學生的綜合能力與反思能力,例如:

【2011江蘇高考18題】已知直線x-y+1=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點.

圖1　

(1)求橢圓S的方程;

(2)如圖,M,N分別是橢圓S的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設直線PA的斜率為k.

①若直線PA平分線段MN,求k的值;

②對任意k＞0,求證:PA⊥PB.

重點和難點在(2)②.

代入橢圓方程得

法二:(點差法)由題意設P(x0,y0),A(-x0,-y0), B(x1,y1),則C(x0,0),∵A、C、B三點共線,

本題第(2)②問,應該是考察能力的分水嶺,第一種方法對計算的能力要求比較高;而第二種方法對點差法的理解要比較透徹.那么我們平時教學的時候應該怎么引導學生呢?反思這個問題:

問題一:是兩種方法都講,還是只介紹其中的一種?如果只講其中的一種,應該選擇講哪一種呢?

問題二:這種類型的題目有沒有一般性的結論呢?如果有,教學的時候應該如何呈現(xiàn)給學生,是直接告訴學生結論還是引導學會探究,讓學生自己找到一般性的結論呢?

通過有效反思,我們確實可以挖掘此問題一般性結論:

圖2　

(1)求證kAB·kPB為定值;(答案:)

(2)求證:存在實數(shù)λ,使kPA=λkAB(答案:2)

(3)求證kPA·kPB為定值.(答案:)

筆者對高考試題做了深入研究,發(fā)現(xiàn)很多的高考題,其本質就是一些結論的具體化,我們在給學生講解某種題目的時候,最好能夠探究其本質,挖掘出一般規(guī)律.如何探究其本質,挖掘出它本源的東西.這就是數(shù)學課堂實施變式教學的關鍵,更是提升反思能力的有效途徑.

關于教師對變式教學的認識與行動的研究結果表明:在多數(shù)教師看來,變式練習是變式教學的主要形式.因而教師最關注解題方法的變式,追求解題方法的多樣性.教師認為變式的使用是學生認知的需要,同時也是題型訓練的需要,他們關注變式對學生的”獲得”所起的作用,同時也關注變式對學科知識的傳授所起的作用.多數(shù)教師認為針對某一知識點的同水平的數(shù)學問題的反復操練既有助于記憶,又能促進理解.多數(shù)情況下,教師對變式的使用并不是無意識的,而是課前有設計的.建議成長中的新教師應:(1)重視變式教學的作用,在課堂教學中,有計劃、有設計地使用變式;(2)關注教法與學法的變式;(3)將變式更多地延伸到課堂教學的”外圍”:復習思考、鞏固反思和小結練習這三個環(huán)節(jié);(4)在教學中要試圖探索變異空間的適當?shù)木S度.

二、數(shù)學變式教學實踐案例分析

筆者多年任教高三,在高三復習備考中實施變式教學已是常態(tài).下面結合兩個具體的教學案例,介紹在高三數(shù)學復習備考中如果進行變式教學提升學生反思能力.

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為-4D.最小值為-4

這是基本不等式的應用,基本上高考每年都考.它可以考選擇題,填空題,也可以考大題.為何年年考,年年都有學生做錯或者不會做呢?反思已成為我的一種教學習慣.

在利用基本不等式時,教師一般都會強調“一正,二定,三相等”,那么我們就得給學生看看,如果不是正數(shù)怎么辦?如果不是定值怎么辦?如果不相等怎么辦?這樣各種情況都涉及到,學生對于基本不等式的理解就更加深刻,透徹.

問題1:如果不是正數(shù)怎么辦?我們可以這樣變:

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為-4D.最小值為-4

問題2:如果不是定值怎么辦?我們可以這樣變:

問題3:如果不是定值怎么辦?我們可以這樣變:

對于變式3,我們還應該讓學生反思:有些題目,看起來像是考基本不等式,其實它不是.我們應該教會學生如何識別考點是什么?應該用什么方法來應對那些看起來很“熟”的東西.這需要老師不斷的變式,讓學生不斷的反思.如果在平時的教學中都能這樣做,相信學生對這個知識點一定能掌握透徹,以后不管題目怎么變,都能靈活應用,這就是變式教學的目的.

例2.設數(shù)列{an}滿足

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

重點反思的第二問,如何用裂項相消法求數(shù)列的前n項和?

裂項相消法,錯位相減法求數(shù)列的前項和是每年高考的重點,也是高考的難點.前者形式多樣,學生很難識別.后者模式固定但計算難度較大.對于前者,如何在教學中讓學生識別這是在考用裂項相消法求數(shù)列的前n項和?對于本題的第(2)問,我們至少可以作出以下變式:

對于分數(shù)型的裂項相消求數(shù)列的和,我們可以通過各種形式的練習,讓學生觀察,歸納,總結出一般的模式或者經(jīng)驗.本人認為對于可以用分數(shù)型的裂項相消求數(shù)列的和,其分母一定是某個數(shù)列相臨或者相間隔兩項的乘機,分子是分母那個數(shù)列相臨或者相間隔兩項的差的常熟倍.即形如這種形式的數(shù)列可以用裂項相消求和.

此外,我們還可以補充總結出常見的裂項的方法:

三、數(shù)學變式教學的實踐成效與反思

變式教學對于數(shù)學教師來說并不陌生,幾乎每位教師都在自己的課堂中自覺不自覺的應用,但是大多數(shù)的教師對變式教學缺乏深入的了解,認為變式教學就是簡單的在解題教學中一題多解、一題多變或多題一解,還有一些教師在使用變式教學時,沒有經(jīng)過精心的設計,而只是憑教學中的點滴靈感,這樣的變式教學有的時候會因為沒有梯度而層次不清,如果把握不好反而會加大學生的學習負擔.筆者結合多年的高中數(shù)學教學實踐經(jīng)驗,以及對變式教學理論的深入學習,對變式教學進行了系統(tǒng)實踐,形成了變式教學設計策略,歷屆學生的學業(yè)成績一直處于領先地位,學生的反思能力得到提升,進而促進學生的全面發(fā)展.

筆者通過數(shù)學變式教學實踐,反思以下幾個問題:

1.對變式教學的重新分類是可行的,是適合高中教學實踐的.

2.變式教學是有效的,可以提高學生的學習興趣,有利于數(shù)學知識的掌握,有利于學生能力的培養(yǎng)和思維水平的提升.

3.在變式教學中應在難度、數(shù)量和學生的參與度上有所把握,才可以使變式教學事半功倍.依照教師舉例、學生模仿練習、課后完成作業(yè),來達到掌握、鞏固、運用數(shù)學知識的目標,不利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力.在我們的數(shù)學實踐教學中,教師通過對所要學習的數(shù)學概念,或者其它的定理結論等進行適當?shù)刈兪?也就是說應用變式教學的手段或者說是方法.實踐表明,多進行變式教學,能幫助學生更加深刻地認識到該數(shù)學問題的本質特征.有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學反思能力能力.具體實施變式教學時有如下啟示:

1.在我們實際數(shù)學變式教學中,教師應該精心設計所要變式的題目,步步深入的引導學生從一系列“變化”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題始終“不變”的本質特征,又能從事物“不變”的現(xiàn)象中進一步探求事物“變”的現(xiàn)象和規(guī)律;

2.變式后的問題要明確;變式問題的設計要科學、合理;變式問題的設計還要有目標本位.

3.變式應具有可參與性;變式應具有可探究性;變式應具有開放性;

4.變式應具有生成性;變式應聯(lián)系實際,增強應用意識.教學實驗結束,學生的問卷及結果顯示,創(chuàng)新的變式教學能夠更好的促進學生對數(shù)學知識的理解,而且能提高學生學習的興趣.

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[6]顧泠沅;黃榮金;費蘭倫斯·馬頓;變式教學:促進有效的數(shù)學學習的中國方式[J];云南教育(中學教師);2007年03期.

*本論文是廣東省教育科學十二五規(guī)劃課題《運用變式教學提升高中生數(shù)學反思能力的實踐研究》的階段性研究成果.