林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

《高等代數(shù)》課程中矩陣初等變換方法的應(yīng)用

林大華，戴立輝

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

矩陣初等變換是高等代數(shù)研究及解決問(wèn)題的一個(gè)很重要的工具,在高等代數(shù)課程中應(yīng)用的范圍很廣.綜述矩陣初等變換在多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、二次型、線性空間、等《高等代數(shù)》課程的主要內(nèi)容中的應(yīng)用.

矩陣；初等變換；多項(xiàng)式；行列式；線性方程組；二次型；線性空間

矩陣初等變換是《高等代數(shù)》課程的一個(gè)重要組成部分，在該課程中有著特殊的地位與作用，是研究探討該課程的一個(gè)重要工具和手段，該課程中的許多內(nèi)容都可用矩陣初等變換方法給予討論與解決.本文主要綜述矩陣初等變換在多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、二次型、向量空間等《高等代數(shù)》課程的主要內(nèi)容中的作用，從中可以看到，掌握了矩陣初等變換方法就等于掌握了《高等代數(shù)》課程的主要方法.本文所討論的問(wèn)題均在數(shù)域P中進(jìn)行.

下列變換稱(chēng)為矩陣初等行（列）變換，統(tǒng)稱(chēng)矩陣初等變換.

1.換法變換：交換矩陣的兩行（列）；2.倍法變換：用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；3.消法變換：矩陣的某一行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）．

1 矩陣初等變換在多項(xiàng)式中的應(yīng)用

可用矩陣初等變換求多項(xiàng)式f(x),g(x)的最大公因式，主要有以下方法：

2 矩陣初等變換在行列式中的應(yīng)用

每一個(gè)n階行列式都可看作是一個(gè)n階方陣A的行列式，當(dāng)方陣A實(shí)施一次初等變換化為n階方陣B時(shí)，由行列式的性質(zhì)可知|A|與|B|最多相差一個(gè)常數(shù)因子，而這個(gè)常數(shù)因子是可確定的.由此可得求行列式|A|方法如下：（1）用矩陣初等變換將矩陣A化為三角形矩陣B，而B(niǎo)的行列式|B|就等于主對(duì)角線上元素的乘積，從而求出|A|.（2）先用矩陣初等變換將矩陣A化為某一行（列）僅有一個(gè)元素非零，然后在按這一行（列）展開(kāi)行列式|A|，將高階行列式|A|降為低階行列式，從而求出|A|.

3 矩陣初等變換在矩陣中的應(yīng)用

用A表示m×n矩陣，則經(jīng)初等行變換A可化為行階梯形矩陣[3]

再經(jīng)若干次初等列變換可化為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形[4]

1.求矩陣的秩：對(duì)m×n矩陣A，實(shí)施初等變換將A化為階梯形矩陣，則這個(gè)階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是矩陣A的秩.

2.求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：任意上m×n矩陣A都可經(jīng)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形其中r是矩陣的秩.

3.求可逆矩陣的逆矩陣：設(shè)A是n階可逆矩陣，可用以下方法求A-1.（1）構(gòu)造矩陣(A E)，則該矩陣可經(jīng)初等行變換化為(E A-1).（2）構(gòu)造矩陣，則該矩陣可經(jīng)初等列變換化為

4.求解矩陣方程：設(shè)A是n階可逆矩陣，則矩陣方程AX=B(XA=B)的解是：X=A-1B(X=BA-1)，于是可用以下方法求矩陣方程AX=B(XA=B)的解.

（1）構(gòu)造矩陣(A B)，則該矩陣可經(jīng)初等行變換化為(E A-1B).

4 矩陣初等變換在線性方程組中的應(yīng)用

其中A=(aij)m×n∈Pm×n，b=(b1,b2,…,bm)T∈Pm，X=(x1,x2,…,xn)T

可用矩陣初等變換方法討論線性方程組AX=b是否有解，并在有解的情況下求出解.具體方法如下[3]：

（1）當(dāng)dr+1≠0時(shí)，線性方程組無(wú)解.（2）當(dāng)dr+1=0且r=n時(shí)，線性方程組有唯一解，其解為：xi=di(i=1,2,…,n)（3）當(dāng)dr+1=0且r

5 矩陣初等變換在二次型中的應(yīng)用

n元二次型可以用矩陣表示為f(x1,x2,…,xn)=XTAX其中A=(aij)n×n是對(duì)稱(chēng)矩陣，X=(x1,x2,…,xn)T.矩陣A(aij)n×n稱(chēng)為二次型的矩陣，它的對(duì)角線上元素aii是xi2的系數(shù)，而aij=aji(i≠j)是xixj系數(shù)的一半.

可用矩陣初等變換化二次型XTAX為標(biāo)準(zhǔn)形，主要方法有：

2.構(gòu)造矩陣(A E)，然后對(duì)A做同類(lèi)型的初等行與列變換，而對(duì)E只做其中的初等行變換，把A變?yōu)閷?duì)角矩陣B時(shí)，E就變?yōu)镃T，則有CTAC=B[5].

3.構(gòu)造矩陣(A E)，然后對(duì)其做行的消法變換，當(dāng)把A化為上三角矩陣D時(shí)，E就變?yōu)镃T，則有CTAC=diag(b11,b22,…,bnn)，其中bii(i=1,2,…,n)是D的主對(duì)角線上的元素[6].

于是只需做非退化線性替換X=CY，就把二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形YTBY.

6 矩陣初等變換在向量空間Pn中的應(yīng)用

1.判斷一個(gè)向量能否由一個(gè)向量組線性表示：設(shè)α1,α2,…,αm,β∈Pn，以這些向量為列構(gòu)造矩陣(α1α2… αmβ)，用矩陣初等行變換將這個(gè)矩陣化為

（1）當(dāng)dr+1≠0時(shí)，向量β不能由α1,α2,…,αm線性表示.（2）當(dāng)dr+1=0時(shí)，向量β能由α1,α2,…,αm線性表示，且表示式為β=d1α1+d2α2+…+drαj

2.判斷一個(gè)向量組能否由另一個(gè)向量組線性表示：

設(shè)α1,α2,…,αm，β1,β2,…,βi∈Pn以這些向量為列構(gòu)造矩陣

用矩陣初等行變換將這個(gè)矩陣化為

（1）當(dāng)d(r+1)1,d(d+1)2,…,d(d+1)t不全為零時(shí)，β1,β2,…,βt不能由α1,α2,…,αm線性表示.（2）當(dāng)d(r+1)1=d(d+1)2=…=d(d+1)t=0時(shí)，β1,β2,…,βt能由α1,α2,…,αm線性表示.且表示式為

3.判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)：設(shè)α1,α2,…,αm∈Pn，以這些向量為列構(gòu)造矩陣(α1α2… αm)，用矩陣初等行變換將這個(gè)矩陣化為

（1）當(dāng)r=m時(shí)，α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān).（2）當(dāng)r

〔1〕高宇.矩陣初等變換的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2013(1)：29-29.

〔2〕梁萌.矩陣初等變換的應(yīng)用[J].河南科技，2013(3)：187-187，199.

〔3〕戴立輝.線性代數(shù)[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2007.

〔4〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．

〔5〕黃益生.高等代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014.2.

〔6〕莊瓦金.高等代數(shù)教材[M].北京:科學(xué)出版社，2013.4.

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2016-06-10