◇ 河北 錢 程

“空間角”問題的若干解決策略

◇ 河北 錢 程

高中立體幾何中的空間角問題,是歷屆高考必考的重點內容.下面通多種方法來分析總結解決此類問題若干策略.

例 如圖1,已知在正三棱柱ABC-A′B′C′中,D是BC的中點,AA1＝AB.

圖1

(1)求異面直線A1C與B1D所成角的余弦值.

(2)求直線C1B1與平面AB1D所成角的正弦值.

(3)求二面角B-AB1-D的余弦值.

(1)幾何法 由已知條件可連接A1B交AB1于點E,如圖2所示.由三角形中位線定理可知ED∥A1C.值得注意的是,因為異面直線所成角的范圍是設A1C與 B1D所成的角為θ,則圖2中的∠B1DE等于θ或π－θ,所以cosθ＝|cos∠B1DE|.如果設底面正三角形的邊長為2(注:以下邊長均設為2),則容易求得由余弦定理可得

圖2

平移、相交構成三角形→用余弦定理加絕對值求得夾角的余弦值.

用模和夾角確定的向量表示異面直線所在的向量→把這2個向量作內積求夾角.

坐標法 本題ABCA′B′C′是正三棱柱,故容易建立空間直角坐標系,如圖3所示,可得到點A1、C、B1、 D的坐標,易得出向量和的坐標,再利用向量的夾角公式,得到從而

圖3

建立空間直角坐標系→表示出異面直線對應的向量→利用內積求夾角.

(2)幾何法 要用幾何法求直線C1B1與平面AB1D所成的角,必須找到線面角的位置.由已知條件可證出平面AB1D⊥平面B1BCC1,由面面垂直的性質定理和線面角的定義,過C1作C1F⊥B1D于F,如圖4,則∠C1B1F即直線C1B1與面AB1D所成的角,設其為θ,則

圖4

用線面垂直或面面垂直等法找到線面角→利用三角函數(shù)求得線面角.

坐標法 若要用向量法,須找到垂足F在面AB1D上的具體位置,這只能通過前面的幾何法才能找到,所以此題不適合用向量法.而不用找垂線段的具體位置,正是坐標法的優(yōu)勢,本題更適合坐標法,如圖3建立空間直角坐標系后,求出面AB1D的一個法向量n和向量之后求出這2個向量的夾角α的余弦值,則sinθ＝|cosα|.

建立空間直角坐標系→求出直線和平面內2條相交直線對應的向量→利用向量垂直內積為零求出平面的法向量→求出直線對應的向量與法向量夾角的余弦值即線面角的正弦值.

(3)幾何法 如果考慮用幾何法,就需要找到二面角B-AB1-D的平面角.由已知條件連接A1B交 AB1于E,則BE⊥AB1.易證平面AB1D⊥平面B1BCC1.如圖5所示,過B作BG⊥B1D于G,則可得到BG⊥平面AB1D,從而BG⊥AB1,容易證得AB1⊥面BEG,∠BEG就是該二面角的平面角.易知BG⊥GE,設∠BEG＝θ,則其中BG可由△B1BD的等面積式得到,再解三角形求得

圖5

通過證明垂直找到二面角的平面角→再解三角形求得二面角的大小.

向量法 可在2個半平面內分別找到一條與二面角的棱都垂直的直線.如圖5,已知在半平面BB1C內,BE⊥AB1,所以再在半平面DB1A內找到一條與棱AB1垂直的直線即可,過D作DH⊥B1C于H,則起點都在棱上的向量的夾角,就是該二面角所成的角.又其中,需要的向量的模和夾角都可求,兩邊平方后,可求出

用半平面中與棱垂直的2個向量及棱上的連接向量表示開口連接向量→平方后求出與棱垂直的2個向量夾角的余弦值.

坐標法 坐標法的優(yōu)勢是不用考慮作輔助線,直接將所求問題轉化為求半平面角的法向量和向量內積坐標運算的問題.如圖3,建立適當?shù)目臻g直角坐標系后,分別求出2個半平面的一法向量n1、n2的坐標,設這2個法向量的夾角為α,通過它們的內積求出cosα,設二面角的大小為θ,則θ＝α或θ＝π－α,所以cosθ＝cosα或－cosα,這只能由圖觀察二面角是銳角還是鈍角了.

建立空間直角坐標系→分別求出2個半平面內2條相交直線對應的向量→利用向量垂直內積為零求出平面的法向量→求出2個法向量夾角的余弦并觀察開口確定正負.

以上通過一道立體幾何題,分析總結了解決“空間角”問題的一般思路和方法.旨在拋磚引玉,提高學生探究和總結的學習能力.希望各位同仁多指正、多交流合作.

(作者單位:河北滄州泊頭市第二中學)