◇ 遼寧 金鐘植(特級(jí)教師)

從“標(biāo)準(zhǔn)方程”的含義談解決代數(shù)問題的一種思維方式

◇ 遼寧 金鐘植(特級(jí)教師)

1 曲線“標(biāo)準(zhǔn)方程”的含義

從教28年以來,筆者一直關(guān)注一個(gè)基本問題:解析幾何中經(jīng)常提到的“標(biāo)準(zhǔn)方程”的含義是什么?到目前為止,能夠自圓其說的理解是:曲線方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性能直接體現(xiàn)曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.即從曲線方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)中能直接解讀出曲線的決定性的幾何特征.反之有了曲線決定性的幾何特征就可確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面就各類曲線標(biāo)準(zhǔn)方程給出這種理解的解釋.

1.1 5種曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解釋

1)直線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

與教科書的說法相同.

3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

4)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

5)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.

1.2 標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別

1)一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程內(nèi)在聯(lián)系.

將標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)即可得一般方程,將一般方程經(jīng)過有目的性的代數(shù)變形(如配方、運(yùn)用等式的性質(zhì)等)即可得標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程本質(zhì)區(qū)別.

一般方程是由標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)得到,進(jìn)而使原有的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征消失,所以比起標(biāo)準(zhǔn)方程,體現(xiàn)不出所有決定性的幾何特征.但有些一般方程還能體現(xiàn)部分幾何特征.如直線的一般方程中體現(xiàn)其法向量為n＝(A,B).

從以上“標(biāo)準(zhǔn)方程”的含義不難看出,按照筆者對(duì)幾種曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解析,可以將解析幾何中的標(biāo)準(zhǔn)方程系統(tǒng)地化歸為一類:曲線方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性能直接體現(xiàn)曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.同時(shí),解析幾何中關(guān)注曲線方程或一些表達(dá)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性的思維方式對(duì)解決有關(guān)問題起著決定性的作用.下面僅從解析幾何的2種基本思維方式來談?wù)勂渲匾?

2 解析幾何的基本思維方式

解析幾何體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法主要是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.那么問題是如何轉(zhuǎn)化的?轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么?

2.1 形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

2.2 數(shù)到形的轉(zhuǎn)化

根據(jù)方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性或表達(dá)式蘊(yùn)含的特殊結(jié)構(gòu),依據(jù)這種結(jié)構(gòu)的特殊性就能轉(zhuǎn)化為有關(guān)幾何問題,轉(zhuǎn)化依據(jù)是解析幾何的相關(guān)知識(shí),這種轉(zhuǎn)化也是解析幾何的基本思維方式之一.

3 解決代數(shù)問題的一種思維方式

筆者認(rèn)為,在解析幾何中上面所說的2種轉(zhuǎn)化,從難度上說不是對(duì)等的.相對(duì)來說由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化目標(biāo)比較清晰,思維難度小,而由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化目標(biāo)不清晰,需要通過構(gòu)造、變形等手段把數(shù)轉(zhuǎn)化為形,思維難度相對(duì)大.最典型的是在有關(guān)的代數(shù)問題中,如果運(yùn)用這種思維方式解決問題更加簡(jiǎn)潔.下面僅從3道例題,談在代數(shù)問題中這種思維方式的應(yīng)用.

例2 已知實(shí)數(shù)x、y滿足

則(x－3)2＋y2的取值范圍是______.

逆用兩點(diǎn)間的距離公式,再根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程得到

式(x－3)2＋y2的幾何意義就是橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的平方,所以根據(jù)橢圓的幾何直觀不難得出其最大值為(5＋3)2,最小值為(5－3)2,進(jìn)而得出(x－3)2＋y2的取值范圍是[4,64].

如果此題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上二次函數(shù)值域問題,計(jì)算量非常大(特別是無理方程化為有理方程的過程).所以在學(xué)完圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后,根據(jù)曲線的定義和代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性,可以將一些無理方程不經(jīng)過運(yùn)算,即可得到有理方程.例如:

此題在近幾年的高考試卷壓軸的填空題中屬于難度較大的題目.但如果注意觀察到關(guān)鍵性的思維信息|2a＋b|,這種特殊結(jié)構(gòu)在高中數(shù)學(xué)范圍內(nèi),只有在點(diǎn)到直線的距離公式中能夠體現(xiàn)出其幾何意義,進(jìn)而經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?可以把條件轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題.

解 因?yàn)?a2－2ab＋4b2－c＝0?

故其最小值為－2.

利用數(shù)轉(zhuǎn)化為形解決有關(guān)代數(shù)問題時(shí),有平方就可以考慮逆用兩點(diǎn)間的距離公式,有絕對(duì)值就可以考慮逆用點(diǎn)到直線的距離公式,有一次分式就可以考慮逆用直線的斜率公式等.所以這種思維方式的運(yùn)用,難點(diǎn)就是為了逆用公式,需要構(gòu)造符合這些公式代數(shù)結(jié)構(gòu)的形式.

(作者單位:遼寧省大連理工大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué))