劉合財，陳治友

(貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005)

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一道典型數(shù)列極限問題的多種解法*

劉合財，陳治友

(貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005)

分別用兩邊夾法、Euler常數(shù)法、定積分法、實驗法等四種方法研究了一道典型的數(shù)列極限計算問題，并進一步提出了求解數(shù)列極限問題的一般策略。

數(shù)列極限；兩邊夾法；Euler常數(shù)法；定積分法

0 引言

極限問題是數(shù)學分析中函數(shù)研究的基本問題，極限的求法靈活多變，常利用極限的四則運算性質(zhì)、初等函數(shù)的連續(xù)性、等價無窮小替換、兩個重要極限、洛必達法則等求解[1]-[2]。極限問題的求解方法常?！耙蝾}而異”，文獻[3]總結(jié)了求解極限問題的多種求法，文獻[4]專門針對積分極限討論了一些具體求法。函數(shù)列的積分中值點的漸近性問題就是數(shù)列極限問題，研究數(shù)列極限問題的解法及策略有助于函數(shù)的各種漸近性問題的求解。本文就一道典型的數(shù)列極限問題進行研究，分別用兩邊夾法、Euler常數(shù)法、定積分法、實驗法求解，最后提出了求解數(shù)列極限問題的一般策略。

1 一道極限問題

在《數(shù)學分析》或《高等數(shù)學》的教材中常遇到這樣一道極限問題：

2 多種解法

這是一道典型的數(shù)列極限計算問題,其求解方法和思想十分重要。極限的思想貫穿高等數(shù)學課程的始終，一題多解，舉一反三，對高等數(shù)學的教學和研究大有裨益。下面運用多種方法求解該極限問題。

兩邊夾法：利用不等式將該極限式作適當放大和縮小，使放大、縮小所得的數(shù)列的極限值相同，從而求得極限。難點在于利用不等式進行適當?shù)姆趴s。

Euler常數(shù)法：利用已知極限及極限的運算性質(zhì),將原極限轉(zhuǎn)化為已知極限的計算。難點在于找到與之緊密聯(lián)系的已知極限。

解：已知極限

=γ-γ+ln2

=ln2

定積分法：將該極限化為特殊形式的和式的極限，構(gòu)造出被積函數(shù)和積分區(qū)間，利用定積分求數(shù)列極限。難點在于積分區(qū)間和被積函數(shù)的構(gòu)造。

=ln2

由此可見，對和式進行適當?shù)淖冃?，?gòu)造被積函數(shù)及積分區(qū)間，利用定積分來計算數(shù)列極限是一條捷徑。

實驗法：使用Matlab、Mathematica等數(shù)學軟件中的極限計算函數(shù)，求得極限值。如：Mathematica軟件中，極限計算的函數(shù)形式為Limit[expr,n→∞]或Limit[expr,n→Infinity]。設置選項后還可以計算單側(cè)極限。此外，還可以使用軟件畫出數(shù)列的散點圖，觀察數(shù)列的變化趨勢，有助于極限計算。

解： 使用數(shù)學軟件Mathematica 9.0 ，輸入

運行后輸出結(jié)果：Log[2]，從而求得該極限為ln2。

3 數(shù)列極限問題的解法策略

數(shù)列極限的求法有很多，但能做到“對癥下藥”才是關鍵。通常有以下基本策略可參考：

策略一：區(qū)分有限項數(shù)列的極限還是無限項數(shù)列的極限。有限項數(shù)列可考運用極限的四則運算性質(zhì)、兩個重要極限等方法計算數(shù)列極限，不能使用定積分法。無限項數(shù)列(特殊和式)的極限優(yōu)先考慮定積分法，不能直接使用四則運算性質(zhì)計算。

策略二：通過替換與變形化為已知極限或重要極限。替換與變形是非常重要的思想，引入新變量替換原有變量，轉(zhuǎn)化極限的求解過程。變形則為轉(zhuǎn)化為已知極限或重要極限提供方便。

策略三：實驗法和兩邊夾法是“萬能”解法。對于實驗法，利用數(shù)學軟件中的極限計算函數(shù)，按照規(guī)定的格式準確輸入，就較快得到所求極限，無需計算技巧。對于兩邊夾法，只要熟練掌握不等式的性質(zhì)以及放縮的技巧，總是可以把極限“套”出來。實驗法和兩邊夾法普遍適用于有限項和無限項數(shù)列，可謂“萬能”。

策略四：洛必達法則與函數(shù)的連續(xù)性是橋梁。由于洛必達法則是針對函數(shù)極限，若要求的是數(shù)列極限，不能直接運用洛必達法則，但可根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系，算出相應的函數(shù)極限而求得。

4 結(jié)語

本文主要探討了一道典型的數(shù)列極限的計算問題，分別運用了兩邊夾法、Euler常數(shù)法、定積分法和實驗法求解，最后提出了求解數(shù)列極限問題的一般策略。對于數(shù)列極限問題，應充分利用極限式的表現(xiàn)特征，選擇最適合的極限求法，才能達到事半功倍的效果。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第4版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數(shù)學分析講義(第4版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：9-21.

[4]劉合財，王雪梅. 積分極限的解法及其應用[J].貴陽學院學報(自然科學版)，2012，7(4)：9-11.

Several Methods to Solve a Classical Sequence Limit Problem

LIU He-cai，CHEN Zhi-you

(College of Mathematics and Information Science , Guiyang University, Guiyang Guizhou 550005, China)

In this paper, four methods are given to solve a classical sequence of number limit problem, i.e., squeezing method, Euler constant method, integral method and experiment method, respectively. Furthermore, general strategies are provided for sequence of number limit problems.

sequence limit; squeezing method；Euler constant method；integral method

2016-03-01

貴州省科學技術基金項目：“函數(shù)列的積分中值點的漸近性及其應用”(項目編號：黔科合J字LKG[2013]29號)；貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計劃資助項目：“性能退化軌跡模型的失效分布及其參數(shù)估計”(項目編號：黔教合KY字[2015]499號)；貴州省科學技術基金項目：“T-凸空間中若干非線性問題的研究”(項目編號：黔科合J字[2014]2005號)；貴州省科學技術聯(lián)合基金項目：“T-凸空間中集值映射弱Ky-Fan點存在性研究”(項目編號：黔科合LH字[2015]7298號)。

劉合財(1976—)，男，貴州綏陽人，貴陽學院副教授、碩士。主要研究方向：函數(shù)論，應用概率統(tǒng)計。

O172.2

A

1673-6125(2016)01-0008-02