亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        Hom-李超三系的廣義導(dǎo)子

        2016-12-19 07:22:14周金森范廣哲
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2016年5期
        關(guān)鍵詞:子代數(shù)導(dǎo)子李超

        周金森,范廣哲

        (1.龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院,福建龍巖364012; 2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200092)

        ?

        Hom-李超三系的廣義導(dǎo)子

        周金森1,范廣哲2

        (1.龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院,福建龍巖364012; 2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200092)

        首先回憶與保積Hom-李超三系相關(guān)的概念,并且給出它的廣義導(dǎo)子、擬導(dǎo)子、中心導(dǎo)子、型心和擬型心的定義. 進(jìn)一步地,研究這些導(dǎo)子之間的性質(zhì)和聯(lián)系.

        保積Hom-李超三系; 廣義導(dǎo)子; 擬導(dǎo)子; 型心; 擬型心

        1 引 言

        眾所周知, 李三系最初源于對(duì)稱(chēng)空間的研究. 李三系作為一種代數(shù)系統(tǒng), 與其它諸多代數(shù)體系有著密切的聯(lián)系, 它的結(jié)構(gòu)理論和表示理論已被廣泛研究[1]. 保積Hom-李超三系是李三系的重要推廣. 然而到目前為止, 對(duì)保積Hom-李三系的研究還是非常少.

        導(dǎo)子和廣義導(dǎo)子[2-10]在李理論的發(fā)展過(guò)程中起著非常重要的作用. 本文主要研究了保積Hom-李超三系的廣義導(dǎo)子, 擬導(dǎo)子, 中心導(dǎo)子, 型心和擬型心的性質(zhì), 并且研究了它們之間的聯(lián)系.

        本文的主要結(jié)論歸結(jié)為定理1, 2, 3, 4.

        2 預(yù)備知識(shí)

        首先來(lái)回憶一些與李三系, 保積Hom-李三系, 李超三系以及保積Hom-李超三系相關(guān)的概念和定義.

        定義1 李三系是一個(gè)二元組(T,[·,·,·]), 其中T是域F上的線性空間, 三線性映射[·,·,·]:T×T×T→T,滿(mǎn)足:?x,y,z,u,v∈T, 有

        [x,x,z]=0,

        [x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0,

        [x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+[z,[x,y,u],v]+[z,u,[x,y,v]].

        定義2 保積Hom-李三系是一個(gè)三元組(T,[·,·,·],α), 其中T是域F上的線性空間, 三線性映射[·,·,·]:T×T×T→T, 線性映射α:T→T,滿(mǎn)足?x,y,z,u,v∈T, 有

        α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)],

        [x,x,z]=0,

        [x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0,

        [α(x),α(y),[z,u,v]]=[[x,y,z],α(u),α(v)]+[α(z),[x,y,u],α(v)]+[α(z),α(u),[x,y,v]].

        設(shè)V,W是兩個(gè)Z2-階化線性空間, 線性映射f∶V→W稱(chēng)為ξ次(ξ∈Z2), 如果對(duì)于?x∈Vγ, 都有f(x)∈Vγ+ξ. 所有這些映射的全體記為Hom(V,W)ξ, 它是Hom(V,W)的子空間. 進(jìn)一步,f是0次, 即f(Vγ)?Wγ, 則稱(chēng)f是偶的.

        [Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k, ?i,j,k∈Z2,

        [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z],

        (-1)xz[x,y,z]+(-1)yx[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0,

        [x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+(-1)(x+y)z[z,[x,y,u],v]+(-1)(x+y)(z+u)[z,u,[x,y,v]].

        [Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k, i,j,k∈Z2,

        α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)],

        [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z],

        (-1)xz[x,y,z]+(-1)yx[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0,

        [α(x),α(y),[z,u,v]]= [[x,y,z],α(u),α(v)]+(-1)(x+y)z[α(z),[x,y,u],α(v)]

        +(-1)(x+y)(z+u)[α(z),α(u),[x,y,v]].

        注 如果(T,[·,·,·],α)是保積Hom-李超三系, 當(dāng)取α=idT時(shí), 此時(shí)(T,[·,·,·],α)變成了一個(gè)李超三系. 由此可知, 保積Hom-李超三系是李超三系的進(jìn)一步推廣.

        下面給出保積Hom-李超三系T的各類(lèi)導(dǎo)子和型心的概念.

        [Dξ,Dη]=DξDη-(-1)ξηDηDξ.

        證 直接計(jì)算易知.

        定義5 設(shè)T為保積的Hom-李超三系, D∈Plξ(T)稱(chēng)為T(mén)的ξ次αk-導(dǎo)子, 如果

        [D,α]=0,

        D([x,y,z])= [D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

        +(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T).

        Der(T)=⊕k≥0Derαk(T),

        其中Derαk(T)是Z2-階化的, 即

        定義6 D∈Plξ(T)稱(chēng)為T(mén)的ξ次αk-廣義導(dǎo)子, 如果存在D′,D″,D?∈Plξ(T),使得

        [D,α]=[D′,α]=[D″,α]=[D?,α]=0,

        D?([x,y]) =[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D′(y),αk(z)]

        +(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D″(z)],

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T).

        定義7 D∈Plξ(T)稱(chēng)為T(mén)的ξ次αk-擬導(dǎo)子, 如果存在D′∈Plξ(T),使得

        [D,α]=[D′,α]=0,

        D′([x,y])=[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

        +(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T).

        定義8 設(shè)T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿(mǎn)足

        [D,α]=0,

        D([x,y,z]) =[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

        =(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T), 則稱(chēng)D為T(mén)的ξ次αk-型心.

        定義9 設(shè)T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿(mǎn)足

        [D,α]=0,

        [D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T), 則稱(chēng)D為T(mén)的ξγαk-擬型心.

        定義10 設(shè)T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿(mǎn)足

        [D,α]=0,

        D([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=0,

        對(duì)于任意x,y,z∈hg(T), 則稱(chēng)D為T(mén)的ξ次αk-中心導(dǎo)子.

        根據(jù)以上定義,可得如下結(jié)論

        ZDer(T)?Der(T)?QDer(T)?GDer(T)?Pl(T).

        下面給出Hom-李超代數(shù)的子代數(shù)、Hom-子代數(shù)、理想及Hom-理想的定義.

        定義12 設(shè)(L,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù),M是L的子空間,如果[M,M]?M,則稱(chēng)M是L的子代數(shù);如果[L,I]?I,則稱(chēng)I是L的理想.

        定義13 設(shè)(L,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù),若M是L的子代數(shù),還滿(mǎn)足α(M)?M,則稱(chēng)M是L的Hom-李子代數(shù); 若I是L的理想, 還滿(mǎn)足α(I)?I, 則稱(chēng)I是L的Hom-理想.

        3 各類(lèi)導(dǎo)子和型心的性質(zhì)

        定理1 設(shè)T為保積的Hom-李超三系, 則

        (i)GDer(T), QDer(T)和C(T)是Pl(T)的Hom-李超子代數(shù);

        (ii)ZDer(T)是Der(T)的Hom-理想.

        =α(D?1([x,y,z])-[αk(x),D′1(y),αk(z)]-[αk(x),αk(y),D″1(z)])

        [D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =D?1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

        -(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))]

        =D?1D?2([x,y,z])-(-1)ηxD?1([αs(x),D′2(y),αs(z)])

        -(-1)η(x+y)D?1([αs(x),αs(y),D″2(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

        -(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))]

        =D?1D?2([x,y,z])-(-1)ηx[D1(αs(x)),αk(D′2(y)),αk+s(z)]

        -(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D′1D′2(y),αk+s(z)]-(-1)ηx+ξ(x+y+η)[αk+s(x),αk(D′2(y)),D″1(αs(z))]

        -(-1)η(x+y)[D1(αs(x)),αk+s(y),αk(D″2(z))]

        -(-1)η(x+y)+ξx[αk+s(x),D′1(αs(y)),αk(D″2(z))]

        -(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D″1D″2(z)]-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

        -(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))].

        類(lèi)似地, 可得

        [D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =D?2D?1([x,y,z])-(-1)ξx[D2(αk(x)),αs(D′1(y)),αk+s(z)]

        -(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D′2D′1(y),αk+s(z)]-(-1)η(x+y+ξ)+ξx[αk+s(x),αs(D′1(y)),D″2(αk(z))]

        -(-1)ξ(x+y)[D2(αk(x)),αk+s(y),αs(D″1(z))]

        -(-1)ηx+ξ(x+y)[αk+s(x),D′2(αk(y)),αs(D″1(z))]

        -(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D″2D″1(z)]-(-1)η(x+ξ)[αs(D1(x)),D′2(αk(y)),αk+s(z)]

        -(-1)η(x+y+ξ)[αs(D1(x)),αk+s(y),D″2(αk(z))].

        同時(shí)利用

        Diα=αDi, D′iα=αD′i, D″iα=αD″i, D?iα=αD?i,[Dξ,Dη]=DξDη-(-1)ξηDηDξ,

        可得

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =[D?1,D?2]([x,y,z])-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D′1,D′2](y),αk+s(z)]

        -(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D″1,D″2](z)],

        [D?1,D?2]([x,y,z])= [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D′1,D′2](y),αk+s(z)]

        +(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D″1,D″2](z)].

        同理, QDer(T)是Pl(T)的Hom-李超子代數(shù).

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =D1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξηD2([D1(x),αk(y),αk(z)])

        =D1D2([x,y,z])-(-1)ξηD2D1([x,y,z])=[D1,D2]([x,y,z]).

        同理可證

        (-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

        =(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]=[D1,D2]([x,y,z]).

        [D1,D2]([x,y,z])=D1D2([x,y,z])-(-1)ξηD2D1([x,y,z])

        =D1([D2(x),αs(y),αs(z)]+(-1)ηx[αs(x),D2(y),αs(z)]

        +(-1)η(x+y)[αs(x),αs(y),D2(z)])-0=0.

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =0-(-1)ξηD2([D1(x),αk(y),αk(z)])+(-1)ξη[αs(D1(x)),D2(αk(y)),αk+s(z)]

        +(-1)η(x+y)[αs(D1(x)),αk+s(y),D2(αk(z))]=0.

        定理2 設(shè)(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, 則有如下結(jié)論

        (i)[Der(T),C(T)]?C(T);

        (ii)[QDer(T),QC(T)]?QC(T);

        (iii)C(T)·Der(T)?Der(T);

        (iv)C(T)?QDer(T);

        (v)[QC(T),QC(T)]?QDer(T);

        (vi)QDer(T)+QC(T)?GDer(T).

        [D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        =D1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D1(αs(y)),αk+s(z)]

        -(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D1(αs(z))]

        =D1D2([x,y,z])-(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]

        -(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

        另一方面, 可得

        [D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]=D2([D1(x),αk(y),αk(z)])

        =D2(D1([x,y,z])-(-1)ξx[αk(x),D1(y),αk(z)]-(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D1(z)])

        =D2D1([x,y,z])-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]

        -(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

        從而

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=[D1,D2]([x,y,z]).

        類(lèi)似可得

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

        =(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)],

        (ii) 同(i)的證明.

        D1D2([x,y,z])

        =D1([D2(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D2(y),αk(z)]

        +(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D2(z)])

        =[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D1D2(y),αk+s(z)]

        +(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D1D2(z)].

        [D(x),αk(y),αk(z)]

        =(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)]=D([x,y,z]).

        [D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)]

        =3D([x,y,z]).

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

        +(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]

        =[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D1D2(y),αk+s(z)]

        +(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D1D2(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

        -(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]-(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

        由型心的定義, 可得

        [D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)],

        [D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)],

        因此

        [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

        +(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]=0.

        (vi) 顯然.

        定理3 設(shè)(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, 則QC(T)+[QC(T),QC(T)]是GDer(T)的子代數(shù).

        證 由定理2(v),(vi)可得QC(T)+[QC(T),QC(T)]?GDer(T), 而且

        [QC(T)+[QC(T),QC(T)],QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

        ?[QC(T)+QDer(T),QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

        ?[QC(T),QC(T)]+[QC(T),[QC(T),QC(T)]]+[QDer(T),QC(T)]

        +[QDer(T),[QC(T),QC(T)]].

        由階化Hom-Jacobi恒等式易證

        [QDer(T),[QC(T),QC(T)]]?[QC(T),QC(T)],

        因此

        [QC(T)+[QC(T),QC(T)],QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

        ?QC(T)+[QC(T),QC(T)], 故QC(T)+[QC(T),QC(T)]

        是GDer(T)的子代數(shù).

        定理4 設(shè)(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, α是滿(mǎn)射,Z(T)是T的中心,則

        [C(T),QC(T)]?Hom(T,Z(T)),

        特別地, 若Z(T)=0, 則[C(T),QC(T)]=0.

        [[D1,D2](x),y,z]=[[D1,D2](x),αk+s(y′),αk+s(z′)]

        =[D1D2(x),αk+s(y′),αk+s(z′)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y′),αk+s(z′)]

        =D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηx[αs(D1(x)),D2(αk(y′)),αk+s(z′)]

        =D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηx[D1(αs(x)),αk(D2(y′)),αk(αs(z′))]

        =D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηxD1([αs(x),D2(y′),αs(z′)])

        =D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])=0.

        因此[D1,D2](x)∈Z(T), 而且[D1,D2]∈Hom(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)=0, 則顯然有[C(T),QC(T)]=0.

        [1] Lister W. A structure theory of Lie triple systems[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1995,72:217-242.

        [2] Ammar F, Makhlouf A. Hom-Lie superalgebras and Hom-Lie admissible superalgebras[J]. J. Algebra, 2010, 324(2):1513-1528.

        [3] Chen L, Ma Y, Ni L. Generalized derivations of Lie color algebras[J]. Results. Mathematics, 2013,63:923-936.

        [4] 周佳,牛艷君,陳良云. Hom-李代數(shù)的廣義導(dǎo)子[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,58(4):551-558.

        [5] Leger G F, Luks E M. Generalized derivations of Lie algebras[J]. J. Algebra, 2000,228(2):165-203.

        [6] Yuan L. Hom-Lie color algebra structures[J]. Comm. Algebra, 2012,40:575-592.

        [7] Zhang Q, Zhang Y. Derivations and extensions of Lie color algebra[J]. Acta Mathematica Scientia, 2008,28: 933-948.

        [8] Zhang R, Zhang Y. Generalized derivations of Lie superalgebras[J]. Comm. Algebra, 2010,38:3737-3751.

        [9] 巫永萍. 5維冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2012,28(5):76-79.

        [10] 法煥霞, 李軍波, 程永勝.W-代數(shù)W(2,2)的單參數(shù)變量子形變[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2013,29(2):29-32.

        Generalized Derivations of Hom-Lie Supertriple Systems

        ZHOUJin-sen1,F(xiàn)ANGuang-zhe2

        (1. School of Information Engineering, Longyan University,F(xiàn)ujian Longyan 364012, China;2. Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai 200092,China)

        Firstly we recall some concepts associated with multiplicative Hom-Lie supertriple Systems. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasiderivations, center derivations, centroids and quasicentroids. Furthermore, we investigate some properties and connection between these derivations.

        multiplicative Hom-Lie supertriple systems; generalized derivations; quasiderivations; centroids; quasicentroids

        2016-03-23;[修改日期]2016-04-15

        國(guó)家自然科學(xué)基金(11431010)

        周金森(1969-),男,碩士,副教授,從事李理論研究.Email:zjs9932@126.com.

        范廣哲(1989-),男,碩士,從事李理論研究.Email:yzfanguangzhe@126.com.

        O152.5

        A

        1672-1454(2016)05-0018-07

        猜你喜歡
        子代數(shù)導(dǎo)子李超
        素*-環(huán)上可乘混合斜Lie(Jordan)導(dǎo)子的可加性
        *-代數(shù)上ξ-*-Jordan-型非線性導(dǎo)子
        Increasing the·OH radical concentration synergistically with plasma electrolysis and ultrasound in aqueous DMSO solution
        Angular control of multi-mode resonance frequencies in obliquely deposited CoZr thin films with rotatable stripe domains?
        擴(kuò)張的圈Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子
        四元數(shù)辛李代數(shù)MAD子代數(shù)的共軛性
        Cartan型李代數(shù)W(n;m)的一類(lèi)Borel子代數(shù)
        李超代數(shù)的擬理想
        n-李代數(shù)的廣義Frattini子代數(shù)及其擴(kuò)張
        R0代數(shù)的直覺(jué)模糊子代數(shù)
        久久久久久国产精品无码超碰动画| 国产优质av一区二区三区 | av免费在线播放视频| 精品区2区3区4区产品乱码9| 亚洲av无码片一区二区三区| 亚洲欧洲美洲无码精品va| 男女啪啪在线视频网站| 97久久久久人妻精品区一| 国产成人久久精品77777综合| 中日韩欧美高清在线播放| 日韩亚洲一区二区三区在线| 国产精品视频永久免费播放| 国产成人精品日本亚洲11| 中文字幕一区二区三区人妻精品| 在线观看中文字幕不卡二区| 极品粉嫩嫩模大尺度无码视频| 精品亚洲欧美无人区乱码| 久久久久国产精品片区无码| 久久国产精品免费专区| 朝鲜女人大白屁股ass孕交| 亚洲av色无码乱码在线观看| 国产精品国产三级国产an| 国产女同舌吻1区2区| 精品久久香蕉国产线看观看亚洲| 最新国产在线精品91尤物| 国产精品天堂avav在线| 亚洲精品无码高潮喷水在线| 亚洲人成在线播放a偷伦| 亚洲av高清天堂网站在线观看| 久久不见久久见中文字幕免费| 国产免费一区二区三区最新不卡| 亚洲高清精品一区二区| 国产在线精品一区二区三区| 乱码一二三入区口| 亚洲综合精品在线观看中文字幕| 91九色人妻精品一区二区三区 | 精品性高朝久久久久久久| 亚洲中文字幕乱码一二三区| 国产一区二区视频免费在线观看| 免费观看性欧美大片无片 | 国模一区二区三区白浆|