鄭 敏，鄭蘇晉

(中央財經(jīng)大學中國精算研究院，北京 100081)

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在Kalman-Bucy濾波學習過程下的投資者生存能力分析

鄭 敏，鄭蘇晉

(中央財經(jīng)大學中國精算研究院，北京 100081)

本文在投資者非完全理性框架下，基于Kalman-Bucy濾波學習過程給出了投資者理性和自信程度的定義，并基于此分析了不同投資者在市場中的生存和影響能力，并為實際市場中多類投資者共存的現(xiàn)象從學習過程的角度給予解釋。研究結(jié)果表明，投資者在市場中的生存能力受其在學習過程中的理性和自信程度的雙重影響。理性和自信程度都較高的投資者對市場把握較好，較容易在市場中生存，并對市場具有較大的影響。如果理性程度較高的投資者不自信，而理性程度不高的投資者自信度較高，那么在這種情況下沒有哪類投資者對市場的把握相對準確，也就是說沒有哪類投資者能將其他投資者逐出市場，即多類投資者共存于市場中。

異質(zhì)信念；Kalman-Bucy濾波；理性程度；自信程度；生存

1 引言

傳統(tǒng)金融理論的核心思想來自新古典的有效市場和完全理性人假設(shè)，基于此建立起來的理論(如CAPM，APT，Black-Scholes公式等)具有漂亮而簡潔的框架，這有助于我們理解金融資產(chǎn)的演化規(guī)律，也為實證分析、模型解釋等提供了可操作性。然而隨著實證研究的深入，大量異?，F(xiàn)象不斷出現(xiàn)，包括股權(quán)溢價之謎、股票價格對基礎(chǔ)價值的長期偏離、市盈率效應(yīng)和羊群效應(yīng)等。這促使人們重新審視傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論的合理性。

事實上，大量實證研究[1-3]表明金融市場中的投資者不具有完全理性，他們對未來資產(chǎn)價格的預期存在異質(zhì)性(即異質(zhì)信念)。近年來，異質(zhì)信念正在被越來越多的學者所接受。異質(zhì)信念從對象層次上可以分為理性偏差導致的異質(zhì)性(如由于擁有的信息不同或者對未來價格的估計存在偏差導致的異質(zhì)性[4-9])和自信度偏差導致的異質(zhì)性(如對自己信念的精確度過度自信或者對自己的判斷信心不足[10-15])。異質(zhì)信念的引入能對金融市場中出現(xiàn)的許多異?，F(xiàn)象給予很好的解釋。

然而這些異質(zhì)信念的投資者是否能在市場中長期生存并最終對市場產(chǎn)生影響？這決定著異質(zhì)投資者模型的合理性和有效性。但是對此問題尚未有統(tǒng)一的答案。從理性的角度，Sandroni[4]在考慮持續(xù)消費的條件下，發(fā)現(xiàn)非理性消費者最終會被逐出市場，同時也不再影響市場價格。Kogan等[5]在最優(yōu)化最終消費的情況下，發(fā)現(xiàn)在含有理性消費者和非理性消費者的市場中，即使非理性消費者的財富可以被忽略，他仍然可以對市場價格產(chǎn)生重要的影響。Yan Hongjun[6]考慮了一個純交換經(jīng)濟，發(fā)現(xiàn)投資者是否能在市場中生存取決于他的生存指數(shù)(由投資者的理性程度、耐心程度以及相對風險偏好系數(shù)決定)，只有生存指數(shù)較小的投資者才能在市場中生存并最終影響市場。從自信度的角度，Long等[10]基于部分均衡模型，發(fā)現(xiàn)當非理性投資者過度自信時，他可以通過持有回報率較高的投資組合，將理性投資者逐出市場。Kyle和Wang[11]研究發(fā)現(xiàn)在壟斷市場中投資者的過度自信不會導致市場無效，而且有助于基金管理者獲得較高的收益，因此過度自信的投資者可以在市場中長期生存。Hirshleifer和Luo Guoying[12]發(fā)現(xiàn)過度自信的投資者可以利用流動性或者噪音投資者所導致的定價偏差獲得優(yōu)于理性投資者的超額回報。由此可以看出，理性和自信程度是決定投資者在市場中生存狀態(tài)和影響力的重要因素。因此，考慮投資者理性和自信程度對市場的綜合影響是必要的，它將有助于我們更全面地了解影響市場價格的因素，掌握不同投資者在市場中的生存狀態(tài)，進而對市場的運行有更好的認識。

然而至今為止，絕大多數(shù)研究(除Danie等[13])只考慮了投資者理性或者自信程度中的一個方面對投資者的財富積累以及市場價格的影響，沒有考慮它們的綜合影響。但是如果單獨考慮理性或者自信程度的影響，會很難解釋實際市場中多類投資者共存的現(xiàn)象。另外，以上研究缺乏對投資者異質(zhì)信念的動態(tài)描述，通常假設(shè)投資者具有不變的異質(zhì)信念。然而金融市場一直在動態(tài)地演化前進，不斷產(chǎn)生新的價格和新的變化。投資者面對蜂擁而至的信息，通常不是置之不理，而是利用新信息不斷進行學習。在新古典決策理論中，學習主要有兩種形式：一種是完全理性學習，另一種是貝葉斯學習。但這兩種學習方式有嚴格的假設(shè)條件，使得投資者的異質(zhì)信念會收斂到理性預期，從而限制了投資者信念的異質(zhì)性[16]，因此不適用于描述異質(zhì)投資者的學習過程。事實上，如O’Hara[17]所說，真實市場中的投資者能通過數(shù)據(jù)挖掘等方法對公開的市場數(shù)據(jù)進行分析和學習，但這種學習并不是完全理性學習或者貝葉斯學習。那么，該如何在異質(zhì)信念的基礎(chǔ)上，刻畫異質(zhì)投資者的學習行為？這是對異質(zhì)投資者行為研究的難點。

本文在異質(zhì)信念假設(shè)下，考慮投資者采用Kalman-Bucy濾波方法不斷進行學習，在自己的信息集和信念下對未來市場回報的估計進行更新?，F(xiàn)有的文獻中也有利用Kalman-Bucy濾波來更新投資者信念的(如Basak[18])，但是他們關(guān)心的是短期問題，側(cè)重對實際市場異?，F(xiàn)象的解釋(如股權(quán)溢價)；而本文側(cè)重的是長期問題，考慮的是投資者的學習過程對其財富積累和市場價格的長期影響。之所以采用Kalman-Bucy濾波方法，主要基于兩個方面的考慮：一方面，它可以描述投資者信念的動態(tài)演化過程，而且此方法得到的估計在均方意義下是最好的；另一方面，它是通過隨機變量的一二階矩來進行學習，因此符合投資者非完全理性的特征，也符合實際市場中的投資者常常利用均值、方差等有限距來進行決策的模式。在此框架下，我們給出了投資者理性和自信程度(包括過度自信和信心不足)的定義，而其中的自信程度是心理學理論的概念。因此，用Kalman-Bucy濾波來描述投資者的學習行為既具有心理學基礎(chǔ)又具備參數(shù)少、易分析的特點，使我們可以解析地分析投資者的理性和自信程度對其自身財富以及市場的影響，進而從學習過程的角度對多類投資者共存于市場中的現(xiàn)象予以解釋。

2 市場環(huán)境與投資者信念

類似于Karatzas等[19]的框架，我們考慮一個連續(xù)時間的完備市場，記其中的完備概率空間為(Ω,F,{Ft}t≥0,P)。在此概率空間中存在一個{Ft}t≥0適應(yīng)的一維標準布朗運動W(t)。市場中有兩個資產(chǎn)：一個是無風險資產(chǎn)，資產(chǎn)回報率(即利率)為r(t)(由均衡決定)，也就是說它的價格過程滿足dS0(t)=r(t)S0(t)dt且S0(0)=1；另一個為風險資產(chǎn)，資產(chǎn)價格滿足如下的隨機微分方程：

dS(t)=S(t)(μ(t)dt+σ(t)dW(t))，S(0)>0 其中μ(t)是風險資產(chǎn)的增值回報率；σ(t)(>0)代表了風險資產(chǎn)的波動。假設(shè)σ(t)有界。

假設(shè)風險資產(chǎn)的實際回報服從均值回復過程：

dμt=κ(φ-μt)dt+bdW

(1)

其中κ，φ和b為正常數(shù)。然而沒有投資者確切地知道實際的風險資產(chǎn)回報μt，投資者h相信風險資產(chǎn)的實際回報服從如下過程：

(2)

(3)

(4)

(5)

其中δh=φh-φ，ch=bh-b。這里δh度量了投資者h的信念均值偏離程度，即投資者h的理性程度。|δh|越小，投資者h的均值估計越準確，理性程度越高。而ch度量了投資者h對自己估計值的自信程度。如果|ch|小，則說明投資者h對自己的風險回報估計很自信，認為自己的估計很接近真實回報率；如果|ch|較大，則說明投資者h對自己的風險回報估計不太有把握，覺得此估計可能還會受其他很多因素的影響，因此他的信念誤差波動較大。另外，注意到ch=bh-b，那么根據(jù)公式(3)，如果0b，則說明投資者h覺得自己對風險資產(chǎn)回報均值的估計φh不夠精準。因此，根據(jù)ch的符號，我們又可以把投資者h的自信程度ch分為過度自信(即ch<0)和信心不足(即ch>0)。下面我們就具體研究投資者的理性和自信程度對投資者的財富積累和資產(chǎn)價格的影響。

3 投資者的最優(yōu)財富和市場均衡利率

投資者h在信念誤差εh下對實際市場概率測度的理解變?yōu)閐Qh=ZhdP，其中Zh(≥0)是Radon-Nikodym導數(shù)，滿足dZh=ZhεhdW。在主觀概率測度Qh下，風險資產(chǎn)的價格服從如下過程：

dS(t)=S(t)(mh(t)dt+σdWh(t))

其中Wh(t)是概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,Qh)中的一維標準布朗運動。由此可見，原本具有回報率μ(t)的風險資產(chǎn)，在投資者h的眼中回報率就變成了mh(t)。投資者h所做的一切決定都將基于這個他認為對的回報率。

(6)

由此我們可以將投資者h的最優(yōu)化問題表示為:

由此我們可以得到市場的均衡利率水平。

(7)

其中θ(t)=σ-1(μ(t)-r(t))。而市場均衡利率水平滿足：

(8)

4 投資者的市場影響力和生存問題

定義1：所謂投資者h被逐出市場是指：

根據(jù)此定義，我們可以得到如下的結(jié)論。

命題2：假設(shè)市場中存在兩類投資者A和B，當且僅當(εh)2<(εh′)2a.s. (h,h′=A,B且h≠h′)，投資者h可以在市場中生存，此時投資者h′不再影響市場均衡利率水平，即：

從命題2可以看出，到底哪類投資者在市場中具有相對的優(yōu)勢取決于其對風險資產(chǎn)實際回報的信念誤差。信念的平方誤差(εh)2小的投資者在市場中財富增長較快，有利于占有市場。特別地，當μ和mh均為常數(shù)時，即μ≡φ且mh≡φh，容易得到相對估計誤差最小(即|εh|=σ-1|δh|最小)的投資者可以最終存活在市場中。當μ或mh不為常數(shù)時，我們需要具體分析(εh)2的特性。因為εh服從一個均值回復過程，它的條件分布可以由它的均值和方差來刻畫，進而(εh)2的均值和方差也為(εh)2的分布提供了很好的參考范圍。我們基于公式(5)對(εh)2的均值和方差進行分析，得到如下結(jié)果。

命題3：當t充分大時，(εh)2的均值和方差分別滿足：

(9)

由公式(9)我們可以看到E[(εh)2]和Var[(εh)2]的大小對參數(shù)δh和ch有很強的依賴性。特別地，我們有如下結(jié)果。

命題4：(敏感性檢驗)當t充分大時，E[(εh)2]和Var[(εh)2]對參數(shù)δh和ch的依賴關(guān)系如下：

(10)

(11)

和

(12)

命題4說明投資者的理性程度(δh)和自信度(ch)是影響投資者信念誤差εh的重要因素，投資者信念誤差的程度是δh和ch綜合作用的結(jié)果。結(jié)合命題2，我們知道信念平方誤差較小的投資者財富增長較快，易于在市場中生存，并對市場均衡利率水平有重要的影響。下面我們將分四種情況具體分析投資者的理性和自信程度對其自身生存狀態(tài)以及市場的影響。

情形1: 投資者的自信度相同但理性程度不同，即ch≡c(h=1,2,…,H)但δh互不相同。

圖1 當σ=0.1時，在Kalman-Bucy濾波下的三種生存情況。(a-b)κ=0.1，b=bA=bB=0且φA=0.05，φB=0.09，φ=0.08; (c-d)κ=0.1，φ=φA=φB=0.08且bA=0.025，bB=0.01，b=0; (e-f)κ=1，φA=0.09，φB=0.09，φ=0.08且bA=0.03，bB=0.01，b=0.02。

情形2：所有投資者都具有充分理性的均值估計，即δh≡0(h=1,2,…,H)，但是不同的投資者對此均值估計的自信度不同。

情形3：所有投資者的理性均出現(xiàn)偏差但是偏差的大小相同，即δh≡δ≠0(h=1,2,…,H)，然而不同的投資者對此理性的自信度不同。

根據(jù)公式(10)和(11)我們可以得到：

(14)

那么在這種情形下，投資者h的過度自信(即ch<0)會使得他更易被逐出市場。這是因為在這種情況下，投資者h的過度自信使得ch減小，進而E[(εh)2]增大；相反地，如果投資者h的自信不足，則ch(在一定范圍內(nèi))增大會使E[(εh)2]減小。也就是說，如果投資者都不足夠理性(即δh≠0)，那么投資者還是相對來說保守一點比較好(即ch>0)。如果此時投資者堅持自己的錯誤估計，則有可能導致其巨額的損失并最終被逐出市場。比如我們?nèi)ˇ?0.1，κ=1，φ=0.08，φA=φB=0.09且bA=0.03，bB=0.01，b=0.02，那么在這種情況下，我們看到δA=δB=0.01而cA=-cB=0.01，即投資者A是相對保守的，認為自己對未來風險資產(chǎn)的回報估計不夠準確(即bA>b)，覺得風險資產(chǎn)的回報可能受到其他因素的影響；而投資者B相對來說對自己的估計比較自信(即bB

情形4: 投資者的理性和自信程度都不相同。

根據(jù)命題4，在這種情況下，投資者的信念誤差是由其理性和自信程度共同決定的。綜合情形1-3的結(jié)果，我們知道在情形4的假設(shè)前提下，投資者的估計可能有時較接近真實的風險資產(chǎn)回報，有時又會偏離較遠。這使得投資者在整體經(jīng)濟中的角色不斷地發(fā)生變化：有時財富增長較快，對市場均衡利率水平影響較大；有時則會虧損較多，進而對均衡利率水平影響較小。事實上，如果取σ=0.1，κ=0.1，φ=0.08，φA=0.09，φB=0.05且bA=0.1，bB=0，b=0.02，那么我們有|δB|>|δA|且|cB|<|cA|，即投資者A雖然理性程度較高使得其均值估計較準確，但是他對自己的估計不自信；而投資者B雖然理性程度不高，但是他對自己的估計很自信。在這種情況下根據(jù)命題3和4，沒有哪類投資者對風險資產(chǎn)回報的估計相對準確，因此根據(jù)命題2沒有哪類投資者會被逐出市場。通過數(shù)值模擬，我們可以看到在這種情況下，兩類投資者會輪流掌控市場，進而共存于市場中，見圖2。

圖2 當σ=0.1，κ=0.1，φ=0.08，φA=0.09，φB=0.05且bA=0.1，bB=0，b=0.02時，兩類投資者輪流掌控市場。

多類投資者共存現(xiàn)象的出現(xiàn)，實際上是由于Kalman-Bucy濾波學習過程不但包含投資者的理性因素，還受投資者自信程度的影響。因此，與單純考慮理性因素的情形不同，投資者單單足夠理性，已不能確保其在市場中的優(yōu)勢地位，如果他的自信度不夠高，就只能和其他投資者共享這個市場。事實上，隨著bh的增大，這種共存現(xiàn)象會越來越明顯。這是因為從公式(3)可以得到mh的平穩(wěn)密度函數(shù)ph(x)為：

隨著{bh}的增大，不同投資者對風險資產(chǎn)回報估計的平穩(wěn)密度函數(shù)重疊的部分會變大(見圖3)，換句話來說也就是任何一個投資者的回報估計都有可能好于其他投資者。在此情況下很難區(qū)分哪個投資者具有較精確的回報估計，因此多類投資者共存于市場中。

圖3 mA和mB的平穩(wěn)密度函數(shù)

5 結(jié)語

本文在非完全理性框架下，構(gòu)建了一個帶有Kalman-Bucy濾波學習過程的異質(zhì)投資者模型。通過此模型，本文研究了投資者的動態(tài)信念對其長期財富積累以及市場的影響，分析了投資者的理性和自信程度與其自身的財富積累之間的關(guān)系，從學習過程的角度對多類投資者共存于市場中的現(xiàn)象給予了一定的解釋。研究結(jié)果表明，投資者對風險資產(chǎn)實際回報的估計越準確，其越容易在市場中存活；而投資者估計的準確程度受其理性和自信程度的綜合影響。自信程度相同的投資者，越理性其估計誤差越小，越容易在市場中生存，并對市場的影響越大。在投資者充分理性的情況下，投資者越自信，信念誤差越小，財富增長越快，對市場的影響越大。當投資者具有相同的理性偏差時，過度自信的投資者容易出現(xiàn)決策錯誤，進而使其財富增長較慢；相比而言，相對保守的投資者財富增長較快，進而對市場的影響較大。如果理性程度較高的投資者不自信，而理性程度不高的投資者自信度較高，那么在這種情況下，沒有哪類投資者的信念相對準確，也就是說沒有哪類投資者能將其他投資者逐出市場；此時投資者財富增長快慢會交替出現(xiàn)，不同的投資者可以交替控制市場，即多類投資者共存于市場中。

附錄：

命題2的證明：由公式(7)，我們可以得到

(A1)

命題3的證明：由公式(5)知

dE[εh]=(αh+βhE[εh])dt，

(A2)

和

dE[(εh)2]=(2αhE[εh]+2βhE[(εh)2]+(γh)2)dt。

(A3)

利用常微分方程理論，我們可以得到當t充分大時，

對于方差Var[(εh)2]，類似可證。

命題4的證明：對E[(εh)2]和Var[(εh)2]關(guān)于ch和δh求導即得。

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Survival Analysis of Boundedly Rational Investors Based on the Kalman-Bucy Filter

ZHENG Min，ZHENG Su-jin

(China Institute for Actuarial Science，Central University of Finance and Economics，Beijing 100081，China)

Within the framework of the bounded rationality, the survival ability and market impact of investors are studied with the learning process of the Kalman-Bucy filter, the rational level and confident level of an investor are defined and an explanation to the coexistence phenomenon of different investors in the financial market is given. The results show that the survival ability of an investor depends on his rational and confident levels both. The more rational and more confident an investor is, the higher his survival probability is, and furthermore, the larger his market impact is. If an investor with a high rational level is not confident but the other investor with low rationality is very confident, then nobody has a comparatively accurate estimation about the future return of the risky asset. In this case, it is too hard to say who can survive in the market and in fact, different investors will coexist and control the market in turn.

heterogeneous beliefs; Kalman-Bucy filter; rational level; confidence level; survival

1003-207(2016)01-0038-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.005

2014-04-25；

2015-03-29

國家自然科學基金資助項目(11101449, 71571197)；北京自然科學基金資助項目(9152016)；北京市社會科學基金重大項目(15ZDA47);中國博士后科學基金資助項目(2014M561038)；中央財經(jīng)大學科研創(chuàng)新團隊支持計劃(2014,2016)

簡介：鄭蘇晉(1970-)，女(漢族)，山西人，中央財經(jīng)大學保險學院/中國精算研究院副教授，碩士生導師，博士，研究方向：風險管理與精算，E-mail:zhengsujin@cufe.edu.cn.

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