楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

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淺析“錯位相減法”在高中數(shù)學數(shù)列中的應(yīng)用

楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

數(shù)列是高中數(shù)學學習中非常重要的一部分，也是高考經(jīng)常考查的知識點之一.“錯位相減法”是推導(dǎo)等差乘等比數(shù)列前n項和最主要的方法，我們應(yīng)學會并掌握它們的有關(guān)性質(zhì)、通項公式和求和公式等來解決學習中遇到的該類問題，這可以有效地提高同學們的數(shù)學成績.本文就錯位相減法在高中數(shù)學數(shù)列中的應(yīng)用進行了分析與總結(jié)，希望有助于加深同學們對錯位相減法的理解和在實際解題過程中的應(yīng)用.

錯位相減法；高中數(shù)學；數(shù)列

“錯位相減法”是高中數(shù)學中常用的解決數(shù)列問題的方法之一，教師在介紹這類方法時通常以{an·bn}(其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列)的例子來進行解析，而同學們平?？荚囍谐霈F(xiàn)的題目一般是經(jīng)變形的復(fù)雜題型，這就需要我們根據(jù)實際情況，靈活運用“錯位相減法”對題目進行解析.本文就針對平時出現(xiàn)的幾種題型，分析了“錯位相減法”在數(shù)列題型解析中的實際應(yīng)用.

題型一 求數(shù)列{anbn}的前n項和σn，an是以d為公差的等差數(shù)列；bn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列.

該題型是老師在教授“錯位相減法”過程中最常采用的類型，應(yīng)用最簡單的錯位相減，經(jīng)化簡后即可得到相應(yīng)結(jié)果.其中，σn=a1b1+a2b2+…+anbn,

則qσn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.

兩式錯位相減得:(1-q)σn=a1b1+d(b2+…+bn)-anbn+1，所以σn=(a1b1-anbnq)/(1-q)+dq(b1-bn)/(1-q)2.

題型二 求數(shù)列{anTn}的前n項和σn，an是以d為公差的等差數(shù)列,其前n項和為Sn，Tn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列bn的前n項和．

該類題型分為兩種情況，當an為1時，則

σn′=T1+T2+…+Tn=b1+(b1+b2)+…+(b1+b2+…+bn),所以qσ′n=qT1+qT2+…+qTn=qb1+q(b1+b2)+…+q(b1+b2+…+bn)=b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn+1).

應(yīng)用錯位相減得:(1-q)σn′=nb1-qTn,

最終求得σ′n=(nb1-qTn)/(1-q).

當an不為1時，則σn=a1T1+a2T2+…+anTn=a1b1+a2(b1+b2)+…+an(b1+b2+…+bn),

所以qσn=qa1T1+qa2T2+…+qanTn=qa1b1+qa2(b1+b2)+…+qan(b1+b2+…+bn)=a1b2+a2(b2+b3)+…+an-1(b2+b3+…+bn)+qanTn.

錯位相減得到：(1-q)σn=(a1+a2+…+an)b1+d[b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn)]-qanTn=(Sn-nd)b1+dσn′-qanTn.

經(jīng)整理后σn=[(Sn-nd)b1-qanTn]/(1-q)+[d(nb1-qTn)]/(1-q)2.

題型三 求數(shù)列{Snbn}的前n項和σn，其中Sn是以公差為d的等差數(shù)列an的前n項和，bn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列．σn=S1b1+S2b2+…+Snbn，所以qσn=qS1b1+qS2b2+…+qSnbn.

由于an=Sn-Sn-1，所以上述兩式相減得到

(1-q)σn=a1b1+a2b2+…+anbn-Snbn+1.

根據(jù)題型一可得到σn=(a1b1-anbn+1)/(1-q)2+dq(b1-bn)/(1-q)3-Snbn+1/(1-q).

題型四 求數(shù)列{SnTn}的前n項和σn，其中Sn是以q1(q1≠1)為公比的等比數(shù)列b1n的前n項和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數(shù)列b2n的前n項和．

σn=S1T1+S2T2+…+SnTn,

則qσn=qS1T1+qS2T2+…+qSnTn.

上式相減得到(1-q)σn=(S1+S2+…+Sn)b1+(S2-S1)b2+…+(Sn-Sn-1)(b2+b3+…+bn)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+a2(T2-b1)+…+an(Tn-b1)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-Snb1-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn.所以σn=[(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn]/(1-q).

題型五 求數(shù)列{anTn}的前n項和σn，其中an是以q1(q1≠1)為公比的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數(shù)列bn的前n項和．

σn=a1T1+a2T2+…+anTn,

則q1σn=q1a1T1+q1a2T2+…+q1anTn=a2b1+a3(b1+b2)+a4(b1+b2+b3)+…+an(b1+b2+…+bn-1)+an+1Tn.

“錯位相減法”在數(shù)列中的應(yīng)用十分重要與廣泛，歸根結(jié)底，是用最基本的“加、減、乘、除”來解決復(fù)雜冗長的數(shù)列問題.我們在解題過程中也應(yīng)避免生搬硬套公式和解題方法，應(yīng)學會靈活運用，巧妙解題.

[1]王躍進，牛偉強.一道值得探究的高考壓軸題[J].中學數(shù)學教學參考(下旬)，2010(3)

[2]王新星.例談高考數(shù)列中的不等式證明[J].高中數(shù)學教與學，2009(4)

[3]侯國亮.淺論如何應(yīng)用差分方程求數(shù)列的通項公式[J].吉林省教育學院學報，2012(5)

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