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        小題以大做 思維得發(fā)散
        ——如何求異面直線所成的角

        2016-12-16 08:18:58趙永全
        數(shù)理化解題研究 2016年28期
        關(guān)鍵詞:角是異面垂線

        楊 虎 趙永全●

        甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校(742200)

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        小題以大做 思維得發(fā)散
        ——如何求異面直線所成的角

        楊 虎 趙永全●

        甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校(742200)

        在平時(shí)的教學(xué)中,有這樣一些“小”題目,文字?jǐn)⑹錾?,題干短小,言簡(jiǎn)意賅,但內(nèi)涵雋永,意味深邃.對(duì)這類題目進(jìn)行深層次挖掘,多角度探索,會(huì)發(fā)現(xiàn)解法多變而靈活,對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維有很大的幫助.本文就從學(xué)生資料中的一道求異面直線所成的角的小題——“小題大做”,來(lái)體會(huì)如何求異面直線所成的角.

        一、題目再現(xiàn)

        異面直線所成的角,是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角(或直角)來(lái)定義的.因此,在教學(xué)中要求異面直線所成的角時(shí)通常要引導(dǎo)學(xué)生,通過(guò)平移直線形成角,進(jìn)而在某個(gè)平面中得到異面直線所成角;或者利用三垂線定理進(jìn)行線線之間的轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題.

        隨著新課改的深入,新教材(特別是人教B版)對(duì)立體幾何的處理有了一些新的變化,淡化了對(duì)學(xué)生作圖能力的要求,特別是引進(jìn)了空間向量的方法(實(shí)際上是把空間問(wèn)題代數(shù)化),避開了一些繁雜的作圖,其中在求異面直線所成的角中運(yùn)用空間向量的方法有很大的優(yōu)點(diǎn).即建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的代數(shù)運(yùn)算及幾何性質(zhì)求解.下面就這道小題,從平移、利用三垂線定理以及向量法等角度進(jìn)行探索求解.

        二、解法探索

        思路一:利用平移轉(zhuǎn)化

        于是∠AB1D=90°.

        則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

        點(diǎn)評(píng) 觀察直線AB1與BC1的位置,將BC1平移,即過(guò)點(diǎn)B1作B1D∥C1B交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

        解法2 如圖3,取B1B的中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作ME∥AB1,NE∥BC1,則M,N分別是AB,B1C1的中點(diǎn),取BC的中點(diǎn)D,連接MD,ND,于是,∠MEN即為AB1與BC1所成的角.

        于是cos∠MEN

        于是∠MEN=90°.

        則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

        點(diǎn)評(píng) 取B1B的中點(diǎn)E,將直線AB1與BC1平移到E處,即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

        思路二:利用三垂線定理

        解法3 如圖4,取BC的中點(diǎn)D,連接AB1,B1D, 由正三棱柱ABC-A1B1C1知,AD⊥BC,于是AD⊥平面BB1C1C.

        又因?yàn)锽1D為A1B在面BCC1B1內(nèi)的射影,所以AB1⊥BC1.

        于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

        點(diǎn)評(píng) 從AB1是平面BB1C1C的斜線入手,尋找AB1在平面內(nèi)的射影與BC1的關(guān)系,由三垂線定理證明異面直線垂直.

        解法4 如圖5,取A1B1的中點(diǎn)E,連接C1E,BE,由正三棱柱ABC-A1B1C1知,C1E⊥平面A1B1BA.

        于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

        點(diǎn)評(píng) 本解法與解法3相似,只是所選取的斜線

        ?

        ?與平面不同而已.

        思路三:利用向量

        點(diǎn)評(píng):通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,把向量用坐標(biāo)形式來(lái)表示,通過(guò)計(jì)算向量的數(shù)量積,便可知其異面直線AB1與BC1垂直.

        于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

        三、解后反思

        通過(guò)對(duì)這道小題的探索發(fā)現(xiàn),從不同的角度看待問(wèn)題會(huì)有不同的求解方法,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是有益的.在本題解法中,思路一與思路二要求學(xué)生有良好的作圖能力,且能夠在作圖后在所需要的三角形中計(jì)算出各條線段的長(zhǎng)度,從而達(dá)到求解目的.而思路三只需建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到所需向量的坐標(biāo),來(lái)求出兩個(gè)向量的夾角,即所求的兩條直線所成的角.另外,對(duì)異面直線所成的角的求法我們還可以借用一些固定的模型,引用一些已知的公式來(lái)求出角的大小.

        G632

        B

        1008-0333(2016)28-0008-02

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