江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017)

陸建根●

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“算兩次”在解析幾何中的應(yīng)用

江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017)

陸建根●

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的一門學(xué)科，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，而“數(shù)”與“形”是一個(gè)事物的兩個(gè)方面.解析幾何的很多問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但是計(jì)算很復(fù)雜，這就要求我們能將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換，探求問(wèn)題的另一面，尋找簡(jiǎn)捷的求解方法.所以解析幾何的很多內(nèi)容跟“算兩次”有著十分密切的關(guān)系.“算兩次”的基本做法是，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)牧?，從兩個(gè)方面去考慮，“一方面…，另一方面…，綜合起來(lái)可得…”.本文談?wù)劇八銉纱巍痹诮馕鰩缀沃械囊恍?yīng)用，供參考.

一、求軌跡方程

例1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選修2-1習(xí)題2.2(1)第8題：

從上述過(guò)程可以看出求軌跡方程是十分典型的“算兩次”的運(yùn)用.

二、第二定義的運(yùn)用

例2 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選修2-1，2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義，習(xí)題2.5第6題：

已知點(diǎn)P在拋物線x2=4y上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，求PA+PF的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解 如圖1，拋物線x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1.點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離PF等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到準(zhǔn)線的距離之和最小，顯然當(dāng)PA垂直準(zhǔn)線時(shí)距離之和最小，最小值為4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).

圓錐曲線中很多圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的問(wèn)題都需要轉(zhuǎn)換，有時(shí)是轉(zhuǎn)換成到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，有時(shí)是轉(zhuǎn)換成到另一個(gè)焦點(diǎn)來(lái)處理.

涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題幾乎都要通過(guò)轉(zhuǎn)換，考慮圓錐曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

我們可以把問(wèn)題一般化：

通過(guò)將AF,BF轉(zhuǎn)換成到準(zhǔn)線的距離，從而將復(fù)雜的坐標(biāo)運(yùn)算的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題.

三、斜率的表示

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：以MN為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

例5 已知拋物線C:x2=2y及一點(diǎn)P(2,1)，試求過(guò)點(diǎn)P的拋物線C的切線方程.

注：這里從兩個(gè)不同的角度：求導(dǎo)和兩點(diǎn)連線的斜率公式得到的斜率是一致的，這種是“算兩次”在求有關(guān)切線的斜率時(shí)用得比較普遍.

四、面積公式的運(yùn)用

解 如圖4，設(shè)PF1=m,PF2=n，則對(duì)m,n“算兩次”.

一方面點(diǎn)在橢圓上，m+n=8，平方得m2+n2+2mn=64，

另一方面三角形PF1F2為直角三角形，m2+n2=(2c)2=36.兩式作差得2mn=28.

再對(duì)三角形PF1F2的面積算兩次可以使得一些問(wèn)題的求解變得很簡(jiǎn)單.

五、求離心率

求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是要得到關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式.

例7 已知A,B分別是橢圓右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為左焦點(diǎn)F，且AB∥OP，試求橢圓的離心率.

所以“算兩次”是一種重要的解題方法，更是一種重要的思維方式，我們?cè)诮虒W(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生用“算兩次”的方式來(lái)考慮問(wèn)題，開(kāi)拓思路，活躍思維，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

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