曹文貴，袁青松，胡衛(wèi)東，2

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414000)

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臨坡矩形淺基礎(chǔ)地基極限承載力的上限分析

曹文貴1?，袁青松1，胡衛(wèi)東1，2

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414000)

為深入探討臨坡矩形淺基礎(chǔ)地基的破壞機(jī)理，提出一種三維雙側(cè)破壞模式，該破壞模式充分考慮了基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)臨坡地基承載力的影響，且能較好反映基礎(chǔ)兩側(cè)滑塊形狀和尺寸的非對(duì)稱(chēng)性.同時(shí)對(duì)該多滑塊組合破壞機(jī)構(gòu)提出一種簡(jiǎn)化構(gòu)造方法，該方法既能有效反映矩形基礎(chǔ)地基的三維端部效應(yīng)，又能避免復(fù)雜的坐標(biāo)求解和曲面積分運(yùn)算，更便于工程實(shí)際的應(yīng)用.然后，在該破壞模式基礎(chǔ)上引入極限分析上限理論，建立出一種新的臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力確定方法，并運(yùn)用SQP優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)極限承載力上限求解.最后，結(jié)合工程實(shí)例，與現(xiàn)有其他理論研究方法和ABQUS有限元分析方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文方法的可行性和合理性.

極限承載力；臨坡地基；矩形基礎(chǔ)；上限分析

目前，矩形淺基礎(chǔ)地基承載能力的研究成果相對(duì)較少，且大部分主要集中在水平半無(wú)限空間范圍內(nèi)[1-2]，有關(guān)臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力確定方法研究的開(kāi)展尚不能適應(yīng)實(shí)際工程需要，其問(wèn)題主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，臨坡矩形基礎(chǔ)地基具有明顯的三維端部效應(yīng)，相比臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力問(wèn)題更加復(fù)雜，建立的破壞模式須充分考慮滑塊體端部滑動(dòng)面對(duì)地基承載力的貢獻(xiàn)；第二，受邊坡存在的影響，臨坡矩形基礎(chǔ)地基破壞模式與平地基顯著不同，具有非對(duì)稱(chēng)破壞性，即滑塊大小和幾何形狀的非對(duì)稱(chēng)性；第三，已有方法采用單側(cè)滑動(dòng)破壞模式所得承載力結(jié)果偏于保守，臨坡地基在坡度較小或邊坡距較大時(shí)，須考慮基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)承載力的影響[3-9].以上三點(diǎn)是構(gòu)建合理臨坡矩形基礎(chǔ)地基破壞模式，開(kāi)展極限承載力確定方法研究的關(guān)鍵，也是本文研究須重點(diǎn)解決的問(wèn)題.

近年來(lái)，臨坡矩形淺基礎(chǔ)地基極限承載力確定方法的研究已取得了一些進(jìn)展，但仍然存在許多問(wèn)題和不足，如Azzouz[10]等對(duì)比分析了條形荷載和矩形荷載作用下的臨坡地基承載力，結(jié)果表明臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力較條形基礎(chǔ)有很大提高，但其選用的破壞模式過(guò)于簡(jiǎn)化且未考慮內(nèi)摩擦角的影響；Michalowski[11]提出了臨坡矩形基礎(chǔ)地基經(jīng)離散化處理后的多滑塊組合單側(cè)破壞模式，F(xiàn)arzaneh[12]等通過(guò)增加構(gòu)成側(cè)滑動(dòng)面滑塊體的個(gè)數(shù)對(duì)該破壞模式進(jìn)行改進(jìn)，使其更接近實(shí)際情況，但該方法需要通過(guò)求解坐標(biāo)來(lái)構(gòu)建端部滑動(dòng)面，造成大量的坐標(biāo)求積運(yùn)算，因而較難運(yùn)用于工程實(shí)際；Buhan[13]等提出了一種假定基礎(chǔ)端部土體同時(shí)產(chǎn)生滑動(dòng)破壞的“沖模”破壞模式，但其破壞模式并不能充分反映邊坡地基的受力特點(diǎn)，且未考慮基礎(chǔ)埋深的影響；Ganjian[14]等提出了由一個(gè)螺旋底面和若干側(cè)面組成的臨坡矩形基礎(chǔ)單側(cè)滑動(dòng)破壞模式，但由于其極限承載力分析模型涉及到復(fù)雜的積分運(yùn)算，尚難應(yīng)用到實(shí)際工程中；王紅雨[15]等提出了臨坡矩形基礎(chǔ)三維機(jī)動(dòng)許可破壞模式，充分考慮了三維效應(yīng)和端部效應(yīng)，但其滑塊端部的構(gòu)造形式仍未能較好反映工程實(shí)際，且其所求上限解并不是嚴(yán)格意義上的上限解.綜上所述，目前在構(gòu)建臨坡矩形基礎(chǔ)地基三維破壞模式和機(jī)構(gòu)時(shí)，滑塊體端部滑動(dòng)面構(gòu)造方法仍不能做到簡(jiǎn)單有效，而且其地基承載力破壞模式主要集中于采用單側(cè)破壞模式，沒(méi)有合理考慮基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)臨坡地基承載力的貢獻(xiàn)，存在一定局限性，需要進(jìn)一步改進(jìn)和完善.

為此，本文將從臨坡矩形基礎(chǔ)地基破壞模式研究入手，重點(diǎn)考慮臨坡地基破壞模式的雙側(cè)非對(duì)稱(chēng)性和矩形基礎(chǔ)的三維端部效應(yīng)影響，同時(shí)引入極限分析理論和優(yōu)化分析方法[16]，深入探討臨坡矩形淺基礎(chǔ)地基極限承載力確定新方法.

1 臨坡矩形基礎(chǔ)地基破壞模式

本文借鑒現(xiàn)有臨坡地基承載力研究成果[1-15]，基于下列臨坡矩形基礎(chǔ)地基的具體工程條件，即：①邊坡為均質(zhì)土坡；②坡面為斜平面，坡面無(wú)荷載作用，坡角為η；③坡頂水平且沿遠(yuǎn)離邊坡一側(cè)有足夠的長(zhǎng)度；④邊坡有足夠的高度且臨坡一側(cè)土滑塊體始終沿坡面滑出；⑤矩形基礎(chǔ)作用在坡頂上且長(zhǎng)邊平行于坡頂線(xiàn)，在基礎(chǔ)頂面作用豎直向下的均布荷載，確定出由多個(gè)滑塊體組成的雙側(cè)三維破壞模式，如圖1所示.該破壞模式主要適用于邊坡坡度不大或邊坡距較大的臨坡矩形基礎(chǔ)地基.

(a)破壞模式俯視圖

(b)破壞模式立體圖(沿對(duì)稱(chēng)面xoy剖開(kāi))

(c)xoy剖面圖圖1 臨坡矩形基礎(chǔ)地基破壞模式Fig.1 A failure mode for rectangular footings adjacent to slope

為了能更好地研究該問(wèn)題，假定地基土為服從 Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的均質(zhì)理想塑性材料，內(nèi)摩擦角為φ，粘聚力為c，不考慮孔隙水的影響，土的有效重度為γ，并將基礎(chǔ)埋深h的影響作用等效為均布超載q，如式(1)所示

q=γh

(1)

臨坡矩形基礎(chǔ)地基雙側(cè)破壞機(jī)構(gòu)由9個(gè)剛性滑塊體組成，為了方便研究，首先將各滑塊進(jìn)行編號(hào)，如圖1(c)所示，基礎(chǔ)底部滑塊為0號(hào)滑塊，與之相鄰的沿邊坡方向的各滑塊體編號(hào)依次為1,2,3,4，沿遠(yuǎn)離邊坡一側(cè)(基礎(chǔ)內(nèi)側(cè))方向滑動(dòng)的各滑塊體編號(hào)依次為5,6,7,8.

0號(hào)滑塊是構(gòu)造本文破壞模式的關(guān)鍵，該滑塊體為主動(dòng)滑塊，剖面OA′I′的形狀為三角形，由于受土體自重和邊坡存在的綜合影響[17-18]，三角形OA′I′兩個(gè)底角α1與α2大小可變且不相等，再考慮到基底與地基土體之間的摩擦影響，因此可規(guī)定α1∈[φ,π/4+φ/2]，α2∈[φ,π/4+φ/2]，且α1>α2.同時(shí)為了更合理地考慮矩形基礎(chǔ)的三維端部效應(yīng)，本文借鑒現(xiàn)有的三維滑塊體端部滑動(dòng)面的構(gòu)造處理方法[19-20]，提出一種更能較好反映工程實(shí)際的端部滑塊體構(gòu)造形式，即假定邊0號(hào)塊體的端部滑動(dòng)面CAI與邊坡頂面的交線(xiàn)AC從矩形基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)底角A開(kāi)始向邊坡一側(cè)延伸，AC與基礎(chǔ)短邊AB所成夾角為ξ，CI與OI′平行，如圖1(b)所示.因?yàn)樵诿鍯AI上滿(mǎn)足聯(lián)流動(dòng)法則，所以0號(hào)滑塊的速度方向與面CAI成夾角φ并指向滑塊體內(nèi)側(cè).

1～3號(hào)滑塊和5～7號(hào)滑塊的底部滑動(dòng)面(實(shí)線(xiàn)部分)均由對(duì)數(shù)螺旋面離散而得，如圖1(c)所示，虛線(xiàn)為被離散的對(duì)數(shù)螺線(xiàn)可表示為

r=r0eθtan φ

(2)

式中：r為滑移線(xiàn)上的計(jì)算點(diǎn)到對(duì)數(shù)螺線(xiàn)原點(diǎn)的向量半徑，r0為對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的起始向量半徑，θ為計(jì)算點(diǎn)向量半徑與起始向量半徑之間的夾角.各滑塊的截面為三角形，1～3號(hào)滑塊頂角均為θ1，右側(cè)底角分別為β1，β2，β3，5～7號(hào)滑塊頂角均為θ2，左側(cè)底角分別為β5，β6，β7.

4號(hào)和8號(hào)滑塊體在相鄰滑塊體的擠壓下分別沿著對(duì)數(shù)螺線(xiàn)I′F′和I′L′的切線(xiàn)方向向兩側(cè)發(fā)生平移滑動(dòng)，形成連續(xù)滑動(dòng)面EE′FF′和LL′MM′.

現(xiàn)有的研究方法[11,15]在構(gòu)建滑塊體側(cè)滑面時(shí)，通常需要分別求解滑塊體的各頂點(diǎn)坐標(biāo)(用各未知參量表示)，使得計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)大量的坐標(biāo)迭代運(yùn)算和坐標(biāo)求積運(yùn)算，求解過(guò)程極其繁瑣復(fù)雜，計(jì)算結(jié)果可靠性也較難保證，更不便于在工程實(shí)際中應(yīng)用.為此，本文針對(duì)這一問(wèn)題在滑塊體側(cè)滑面的構(gòu)建方法上進(jìn)行了簡(jiǎn)化和改進(jìn)，假定滑塊體的側(cè)滑面CDEFGHI和AJKLM分別與剖面OD′E′F′G′′I′和A′J′K′L′M′平行.這種簡(jiǎn)化處理方法無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)求積運(yùn)算即可確定出各滑塊體側(cè)滑面的形狀和尺寸，使得求解過(guò)程簡(jiǎn)便可行，通過(guò)后面的工程實(shí)例亦可驗(yàn)證本文破壞模式簡(jiǎn)化處理方法在計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和精度上都能夠滿(mǎn)足工程實(shí)際應(yīng)用要求.

以上即為本文確定的臨坡矩形基礎(chǔ)地基的多滑塊雙側(cè)三維破壞模式，破壞機(jī)構(gòu)的幾何模型主要由11個(gè)可變角參量α1，α2，θ1，θ2，β1，β2，β3，β5，β6，β7和ξ確定，該破模式充分考慮了滑動(dòng)面的雙側(cè)非對(duì)稱(chēng)性和三維端部效應(yīng)的影響作用.

根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系即可求出各滑塊體積V和面積S等幾何參量，具體內(nèi)容如下．

各滑塊底滑面的面積Sk分別為

(3)

(4)

(5)

式中：l和b分別為矩形基礎(chǔ)的長(zhǎng)度和寬度；α1，α2，θ1，θ2，βk(k=1,2,3,5,6,7)，ξ均為可變角參量(見(jiàn)圖1)，以下各式與此相同.

4號(hào)滑塊底部滑動(dòng)面面積S4利用圖2所示幾何關(guān)系求解:

當(dāng)α2+3θ1-(π/2+φ)>0時(shí)，即E′F′位于過(guò)點(diǎn)F′的虛線(xiàn)上部時(shí)有

圖2 剖面OD′E′F′幾何關(guān)系Fig.2 A geometry relation of the OD′E′F′ section

x方向：

a+D′E′cos η=OF′cos (π-α2-3θ1)+

E′F′cos (α2+3θ1-φ-π/2)

(6)

式中：a為邊坡距，見(jiàn)圖1(a).

y方向：

D′E′sin η+E′F′sin (α2+3θ1-φ-π/2)=

OF′sin (π-α2-3θ1)

(7)

以上兩式聯(lián)立可得：

(8)

(9)

其中OF′可由對(duì)數(shù)螺線(xiàn)方程(2)求得

(10)

當(dāng)α2+3θ1-(π/2+φ)<0時(shí)與上述結(jié)果相同.

則由以上條件可求出S4

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

根據(jù)圖1和圖2所示幾何關(guān)系求得相鄰滑塊之間速度間斷面的面積Sk"分別為

(18)

(19)

(20)

(21)

同理，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算即可求出各滑塊的體積Vk分別為

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

至此，已構(gòu)建出臨坡矩形基礎(chǔ)地基多滑塊組合的幾何破壞模型，為本文后面采用極限分析方法確定臨坡矩形基礎(chǔ)地基極限承載力奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2 機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)的構(gòu)建

在上述提出的臨坡矩形基礎(chǔ)地基多滑塊組合破壞模型的基礎(chǔ)上，必須先構(gòu)建出機(jī)動(dòng)許可的速度矢量場(chǎng)，才能運(yùn)用極限分析上限法進(jìn)一步探討臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力的確定方法.為此，結(jié)合本文所提出的破壞機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)并在下述假定的基礎(chǔ)上建立如圖3所示的機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)，假設(shè)如下：

1)假設(shè)基礎(chǔ)為剛性基礎(chǔ)且與地基之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，在Qu作用下基礎(chǔ)以速度v0垂直向下運(yùn)動(dòng)，即0號(hào)滑塊速度為v0.

2)假設(shè)邊坡地基在Qu作用下發(fā)生的破壞主要為滑動(dòng)(平動(dòng))破壞，而不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)破壞的影響.

3)假設(shè)所有的滑塊體均為剛性滑塊.

(a)破壞模式對(duì)應(yīng)速度場(chǎng)

(b)速度矢量關(guān)系圖圖3 機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)Fig.3 Velocity field of motor permit

由Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則可知，在速度間斷面上，速度增量的方向與間斷面的夾角始終保持為土的內(nèi)摩擦角φ，如圖3(a)所示.根據(jù)速度場(chǎng)的構(gòu)建準(zhǔn)則[21]可得如圖3(b)所示破壞機(jī)構(gòu)的速度矢量關(guān)系，進(jìn)而由速度矢量三角函數(shù)關(guān)系就可以推導(dǎo)出各滑塊的速度vk(k=1,2，…,8)和各相鄰滑塊之間的間斷速度[v]k.

0～4號(hào)滑塊的速度和滑塊的間斷速度分別為：

(28)

(29)

(30)

5～8號(hào)滑塊的速度和滑塊間的間斷速度分別為：

(31)

(32)

(33)

(34)

在上述(30)，(33)和(34)速度關(guān)系式中，γk表示相鄰兩滑塊的速度矢量夾角，其大小分別為：

γ1=π/2+α2+φ-β1

(35)

γk(k=2,3,4)=θ1+βk-1-βk

(36)

γ5=π/2+α1+φ-β5

(37)

γk(k=6,7,8)=θ2+βk-1-βk

(38)

由于E′F′和L′M′分別為兩對(duì)數(shù)螺線(xiàn)沿切線(xiàn)方向的延長(zhǎng)線(xiàn)，所以其與對(duì)數(shù)螺線(xiàn)向量半徑OF′和A′L′的夾角均為已知，其值為：

β4=β8=π/2+φ

(39)

考慮到所構(gòu)建的破壞模式必須是機(jī)動(dòng)許可的，因此必須滿(mǎn)足以下基本約束條件：

0<βk-2φ<π,(k=1,2,3,…,8)

(40)

0<ζ1=π-3θ1-α2<π/2+η-φ

(41)

0<ζ2=π-3θ2-α1<π/2-φ

(42)

0<μ1=η+α2+3θ1-φ-π/2<π/2

(43)

0<μ2=α1+3θ2-φ-π/2<π/2

(44)

式(41)～(44)中ζ1,ζ2,μ1,μ2為已知夾角，見(jiàn)圖1(b).

并且在0號(hào)滑塊端部滑面CAI上滿(mǎn)足聯(lián)流動(dòng)法則，即0號(hào)滑塊的速度v0方向與面CAI成夾角φ并指向滑塊體內(nèi)側(cè)，于是應(yīng)滿(mǎn)足以下約束條件

(45)

式中:n0為側(cè)滑面CAI指向內(nèi)側(cè)的法向向量，可由圖1所示幾何關(guān)系求出，v0為0號(hào)滑塊速度的方向向量．

n0=AC×AI

(46)

v0=(0,1,0)

(47)

則式(45)可轉(zhuǎn)化為如下約束方程：

(48)

3 臨坡地基極限承載力上限分析

根據(jù)極限分析上限理論[22]，對(duì)于任意一個(gè)給定的機(jī)動(dòng)許可的速度場(chǎng)，外力所做的虛功功率與物體內(nèi)能耗散率相等.于是，基于本文前面提出的由多個(gè)角變量確定的臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力分析模型，利用極限分析上限方法即可確立出臨坡矩形基礎(chǔ)地基極限承載力計(jì)算方法，具體過(guò)程如下：

3.1 外力做功功率

在本文提出的臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力分析模型中，所作用的外力主要包括極限荷載Qu、等效均布力q和各滑體的自重力W，其功率分別為

1)均布力q做功功率Wq

Wq=qv4ySa+qv0Sb+qv8ySc

(49)

式中：v4y和v8y分別為4號(hào)和8號(hào)滑塊沿q作用方向(y軸方向)的速度分量；Sa，Sb和Sc分別表示均布力q的作用面CODD′，ABC和AA′MM′的面積，由已知條件可得

v4y=v4cos (α2+θ1+θ2+θ3)

(50)

v8y=v8cos (α1+θ4+θ5+θ6)

(51)

(52)

(53)

(54)

2)Qu做功功率WQu

(55)

3)各滑塊體自重做功功率Wγ

(56)

3.2 內(nèi)能耗散率

根據(jù)前文建立的分析模型，基礎(chǔ)下的機(jī)動(dòng)許可破壞機(jī)構(gòu)由一組經(jīng)離散化處理的剛性滑塊體組成，無(wú)塑性變形，因此，該破壞機(jī)構(gòu)的內(nèi)能耗散主要發(fā)生在速度間斷面上，主要由以下3部分組成：

1)滑塊體底部滑動(dòng)面Sk(k=1,2,…,8)上的能量耗散Es

(57)

(58)

在此假定1～8號(hào)滑塊的側(cè)滑面為一般滑動(dòng)摩擦面，但不考慮土體側(cè)壓力的影響，因而僅有粘聚力c做功產(chǎn)生能量損耗.

(59)

3.3 臨坡矩形基礎(chǔ)地基極限承載力上限解

根據(jù)極限分析上限定理，對(duì)于給定的機(jī)動(dòng)許可破壞機(jī)構(gòu)，外力做功功率等于內(nèi)能耗散率，即

(60)

將上式進(jìn)行整理，并參照Terzaghi承載力公式的形式建立臨坡矩形基礎(chǔ)地基極限承載力表達(dá)式如下所示

(61)

Nc，Nq和Nγ分別為臨坡地基極限承載力系數(shù)，其值分別為：

Nc=

(62)

(63)

(64)

由上述方法確定的臨坡地基極限承載力公式，可寫(xiě)為

Qu=f(α1,α2,θ1,θ2,β1,β2,β3,β5,β6,β7,ξ)

(65)

此式是一個(gè)含有11個(gè)可變角參量的高度非線(xiàn)性函數(shù)式，對(duì)于不同的自變量或者自變量組合利用上式可求得不同的極限承載力上限解.根據(jù)上限定理，最優(yōu)的上限解應(yīng)該是所有上限解的最小值，于是，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解最小上限解的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題. 本文借助MATLAB計(jì)算軟件，采用SQP優(yōu)化算法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解.

4 與其他理論研究方法對(duì)比

通過(guò)以下工程算例，將采用本文方法所得計(jì)算結(jié)果分別與現(xiàn)有其他理論研究方法進(jìn)行比較分析，以驗(yàn)證本文方法的合理性與正確性.

4.1 工程實(shí)例1

某臨坡矩形基礎(chǔ)地基,地基土為均勻粉質(zhì)粘性土，土體粘聚力c=20 kPa，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=30°,基礎(chǔ)寬b=1 m，長(zhǎng)寬比l/b=2,基礎(chǔ)埋深h=0，邊坡距a=b，改變坡角η的大小，分別按0°，20°,45°,30°和60°進(jìn)行計(jì)算，并將采用本文方法和文獻(xiàn)[15]方法所得地基極限承載力計(jì)算值Qu進(jìn)行對(duì)比分析，其分析結(jié)果如表1所示.

表1 計(jì)算結(jié)果比較Tab．1 Comparison of computation results

根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析，可得如下結(jié)論：

1)采用本文方法分析所得地基極限承載力隨坡角η的變化規(guī)律基本上與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致，但本文方法所得結(jié)果偏大，這主要是因?yàn)閮煞N方法采用的破壞模式不同，文獻(xiàn)[15]采用的是單側(cè)破壞模式，而本文采用的是雙側(cè)破壞模式，且本文方法充分考慮了矩形基礎(chǔ)地基的三維端部效應(yīng)，因而所得地基極限承載力結(jié)果偏大.

2)當(dāng)坡角η趨于0°時(shí)，地基極限承載力逐漸增大，臨坡地基蛻變?yōu)槠降氐鼗藭r(shí)本文方法所得地基極限承載力為Qu=2 196.3 kPa，由文獻(xiàn)[1]方法可得相同條件下平地地基矩形基礎(chǔ)的地基承載力系數(shù)分別為：Nc=67.09，Nq=39.73，Nγ=46.20,據(jù)此求得平地地基極限承載力值為Qu=2 473．1 kPa，經(jīng)比較兩者相差10%，且本文方法計(jì)算值偏小，這主要與選用的破壞模式不同有關(guān)，但仍能說(shuō)明本文方法的合理性與工程適用性.

4.2 工程實(shí)例2

某臨坡矩形基礎(chǔ)地基,地基為均質(zhì)碎石土，土體粘聚力c=10 kPa，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=40°,基礎(chǔ)寬b=2 m，基礎(chǔ)埋深h=1 m，邊坡距a=0，坡角η=30°，逐漸改變基礎(chǔ)的長(zhǎng)寬比l/b的大小,采用本文方法分別求出地基極限承載力系數(shù)和極限承載力值并與文獻(xiàn)[9]臨坡條形基礎(chǔ)計(jì)算方法(坡頂水平時(shí))進(jìn)行比較分析，分析結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 計(jì)算結(jié)果比較Tab．2 Comparison of computation results

根據(jù)表2計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)矩形基礎(chǔ)長(zhǎng)寬比越小時(shí)地基極限承載力越高，這說(shuō)明臨坡矩形基礎(chǔ)承載力受三維端部效應(yīng)的影響，其極限承載力較臨坡條形基礎(chǔ)地基有很大提高；當(dāng)長(zhǎng)寬比不斷增大，矩形基礎(chǔ)地基承載力逐漸收斂于條形基礎(chǔ)的地基承載力值，與文獻(xiàn)[9]方法的分析結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩種方法所得地基承載力系數(shù)有一定差別，這主要是因?yàn)閮煞N方法所構(gòu)造的破壞模式不同，但兩者所得極限承載力值僅相差8%左右，說(shuō)明了本文方法的計(jì)算準(zhǔn)確性.

5 與有限元分析結(jié)果對(duì)比

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)資料中，缺乏可供參考的有關(guān)c-φ土的臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力實(shí)驗(yàn)研究數(shù)據(jù)，因此采用大型有限元分析軟件ABAQUS對(duì)臨坡矩形基礎(chǔ)地基的極限承載力進(jìn)行仿真分析并與本文分析方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以進(jìn)一步驗(yàn)證本文分析方法的可行性與合理性. 算例所采用的模型參數(shù)分別為：邊坡坡角η=30°，矩形基礎(chǔ)為剛性基礎(chǔ)，長(zhǎng)l=8 m，寬b=2 m，長(zhǎng)邊平行于邊坡長(zhǎng)度方向，基礎(chǔ)埋深h=1 m，邊坡距a=2 m，地基持力層為均質(zhì)粘性土，粘聚力c=20 kPa，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=20°，在分析過(guò)程中土體采用彈塑性本構(gòu)模型，服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，彈性模量E=40×103kPa，泊松比μ=0.3.為了提高計(jì)算精度，采用如圖4所示離散模型(將模型沿對(duì)稱(chēng)面剖開(kāi)，僅取其一半進(jìn)行研究)，單元網(wǎng)格選用C3D8R六面體縮減單元.

圖4 分析模型有限元網(wǎng)格Fig.4 A finite element mesh for the analysis model

基于上述分析模型，采用分級(jí)加載的方式在基礎(chǔ)頂面施加垂直向下的均布荷載，并根據(jù)所得的P-s曲線(xiàn)(見(jiàn)圖5)綜合分析可得，其極限荷載為429 kPa，此時(shí)相應(yīng)的位移云圖如圖6所示.

根據(jù)本文所提出的分析方法對(duì)該工程算例進(jìn)行計(jì)算，可得地基承載力系數(shù)分別為:Nc=14.38，Nq=2.78，Nγ= 6.45，代入式(61)可得地基極限承載力Qu=453.7 kPa.

圖5 臨坡矩形基礎(chǔ)地基P-s曲線(xiàn)圖Fig.5 The P-s curve of rectangular footings adjacent to slope

由有限元分析方法所得邊坡地基土體位移云圖圖6可知，在極限荷載作用下土體主要沿邊坡一側(cè)發(fā)生滑動(dòng)破壞，雖然基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體沒(méi)有產(chǎn)生規(guī)則的滑動(dòng)面，但在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生了較大的塑性變形，表明有必要考慮基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體對(duì)承載力的影響.對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果可知，采用本文方法所得結(jié)果較有限元分析結(jié)果略偏大，這主要是因?yàn)楸疚募俣ɑA(chǔ)內(nèi)側(cè)土體也產(chǎn)生滑動(dòng)破壞，而有限元分析方法中基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)一定范圍內(nèi)的土體僅產(chǎn)生了較大的塑性變形，但兩種方法所得分析結(jié)果相差并不是太大，并且根據(jù)有限元分析方法所得邊坡潛在滑動(dòng)面的形狀與本文假定的破壞模式較為接近，說(shuō)明了本文方法的可行性與合理性.

圖6 極限荷載作用下的位移分布Fig.6 Displacement distribution under ultimate bearing capacity

6 結(jié) 論

1)結(jié)合臨坡矩形基礎(chǔ)地基的工程特點(diǎn)，提出了新的多滑塊雙側(cè)非對(duì)稱(chēng)三維破壞模式，該破壞模式既能充分考慮基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基承載力的貢獻(xiàn)作用，又能較好反映由于邊坡的存在而引起的基礎(chǔ)底部和基礎(chǔ)兩側(cè)滑塊體形狀和尺寸的不對(duì)稱(chēng)性，并且該破壞模式有效反映臨坡矩形基礎(chǔ)地基的三維端部效應(yīng).

2)本文的三維滑塊體側(cè)滑面構(gòu)造方法避免了大量繁瑣的坐標(biāo)計(jì)算和曲面積分運(yùn)算，求解過(guò)程更加簡(jiǎn)便易行，具有較好的工程實(shí)踐適用性.

3)基于上述破壞模式構(gòu)建出臨坡矩形基礎(chǔ)地基承載力分析模型，并引入上限分析理論與優(yōu)化算法，建立出可綜合考慮邊坡距、坡角、基礎(chǔ)埋深、基礎(chǔ)長(zhǎng)寬比等多種因素影響的臨坡矩形基礎(chǔ)地基極限承載力確定方法，最后，通過(guò)與其他上限分析方法和有限元分析方法分析結(jié)果對(duì)比，表明了本文方法的可行性和合理性.

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Upper Bound Solution for Ultimate Bearing Capacity of the Shallow Rectangular Footings Adjacent to Slope

CAO Wen-gui1，YUAN Qing-song1，HU Wei-dong1, 2

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China;2. College of Civil Engineering and Architecture, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414000, China)

In order to make an intensive study of the failure mechanism of rectangular footings adjacent to slope, a three-dimensional and bilateral failure mode was established, which fully considered the influence of the shear strength of inside soil in the foundation and the double asymmetrical features. Moreover, a simplified construction method of the rigid-motion blocks collapse mechanism was proposed, which could not only effectively reflect the three-dimensional end effect but also avoid complex coordinate and surface integral calculation, and it is more convenient for practical engineering. Based on the failure mode, the upper limit analysis theory was then introduced, and a new analysis approach of ultimate bearing capacity of rectangular footing adjacent to slope was put forward. Meanwhile, the solving of the bearing capacity was realized by using the SQP optimization theory. Finally, the feasibility and rationality of the research approach proposed is showed through the comparison analysis with the current research as well as the ABQUS finite element results.

ultimate bearing capacity; ground foundation adjacent to slope; rectangular footings; upper limit analysis

1674-2974(2016)11-0086-09

2015-11-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378198)，National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130161110017)

曹文貴(1963-)，男，湖南南縣人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師?通訊聯(lián)系人，E-mail: cwglyp@21cn.com

U416.14

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