●裘靖

0劃歸自然數(shù)引發(fā)的思考

●裘靖

0是不是自然數(shù)一直是一個很有爭議的話題，世界各國定義不同。前蘇聯(lián)數(shù)學教材里認為0是整數(shù)，而非自然數(shù)，自然數(shù)即正整數(shù)，而歐美教材則把0歸為自然數(shù)，自然數(shù)即非負整數(shù)。新中國成立之后，我國的教材受前蘇聯(lián)的影響，一直把0歸為整數(shù)，而非自然數(shù)，認為最小的自然數(shù)是1。隨著改革開放，很多西方國家的觀點滲入進來，于是為了和國際接軌，從1993年起《中華人民共和國國家標準》就把0歸到了自然數(shù)的范疇，最小的自然數(shù)由1變成了0，我們使用的中小學教材也陸續(xù)做了更改。然而幾十年過去了，與0相關的一些問題，如，0是不是合數(shù)，最小的一位數(shù)是不是0等，教師們仍然很困惑！而筆者認為把0歸不歸為自然數(shù)都有道理，說0不是自然數(shù)，因為0不是序數(shù)，數(shù)物體時它沒有辦法與一定數(shù)量的物體建立起對應的關系；說它是自然數(shù)，因為它有基數(shù)的含義，一個物體也沒有就用0來表示。所以0是不是自然數(shù)只是一個規(guī)定而已，只是一個它所屬類別的問題，并不影響0本身的意義和它的本質屬性。因此要厘清0的相關概念，關鍵是看0是否具備這些概念的本質特征，而不是0的歸屬問題。下面筆者就0成為自然數(shù)后對小學數(shù)學教學帶來的影響談談自己的看法。

一、教材中“為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，我們所說的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）”引發(fā)的思考。

過去自然數(shù)即正整數(shù)，教師們在教學因數(shù)和倍數(shù)時沒有疑議，都認為自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)分為兩類：奇數(shù)和偶數(shù)，按因數(shù)的個數(shù)分為三類：1、質數(shù)和合數(shù)。最小的偶數(shù)是2，最小的奇數(shù)是1，最小的質數(shù)是2，最小的合數(shù)是4?？墒钱?歸為自然數(shù)后，改版后的教材特別說明“本單元所指自然數(shù)一般不包括0”。然而這“一般”二字就給學生和教師帶來困惑，到底什么時候考慮0，什么時候不考慮0？特別是教材明確指出0也是偶數(shù)。那大家自然會問：0是偶數(shù)，那0是不是質數(shù)或合數(shù)呢？

剛才說到0是不是自然數(shù)，只是一個它所屬類別的問題，并不影響0本身的意義和屬性。下面我們就來研究一下“0”。

1．“0”是不是某些自然數(shù)的倍數(shù)？

倍數(shù)、因數(shù)的概念是在整除的前提下產生的，那什么是整除呢?小學的定義：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0),除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a)。或者說，在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)（2013版人教社教材）。初等數(shù)論里的概念：對整數(shù)a，b（b≠0），若存在整數(shù)c，使a＝bc，則稱b整除a，a能被b整除。無論哪種解釋，始終只強調了0不能作除數(shù)。由于0除以任何非0整數(shù)結果都是0，所以0是任意非0整數(shù)的倍數(shù)，任何非0整數(shù)都是0的因數(shù)。

2．“0”是不是合數(shù)？

有教師認為既然0是所有非0自然數(shù)的倍數(shù)，那0必定擁有3個以上的因數(shù)，所以0是合數(shù)。其實不然，0究竟是不是合數(shù)，關鍵要看合數(shù)的定義。教材中是這樣描述合數(shù)的：“一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。”而0擁有無數(shù)個因數(shù)，確單單少了它“本身”這個因數(shù)。因此，它不具備合數(shù)的本質屬性，不能歸為合數(shù)。假設0是合數(shù)，那么它能用質因數(shù)相乘的形式表現(xiàn)出來嗎？這就與“每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式”產生了矛盾。所以，筆者認為0既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。這也許就是新教材把自然數(shù)的分類刪掉的原因吧！

3.為什么在因數(shù)和倍數(shù)單元要強調一般不包括“0”。

因為0歸為自然數(shù)后，如果不把0排除，一個數(shù)的最小倍數(shù)就是0,0的因數(shù)有無數(shù)個，與我們過去研究的“一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身”、“一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的”相矛盾，不便于因數(shù)和倍數(shù)的對比。另外最小公倍數(shù)如果不把0排除，研究它就沒有任何意義了，也不能為后面的通分服務。所以為了研究方便，在這個單元里出現(xiàn)的因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)等，都將0排除在外，這樣就避免了一些不必要的麻煩。

二、習題中“最小的一位數(shù)是什么”引發(fā)的思考

在0沒有被納入自然數(shù)范疇之前，最小的一位數(shù)是1，這個沒有爭議，這首先說明了我們所說的一位數(shù)是在自然數(shù)范圍內研究的，這樣就不會有最小的一位數(shù)是-9的疑議。但是當0也加入了自然數(shù)的隊伍，那么最小的一位數(shù)是不是該變?yōu)?呢？筆者的答案是否定的！

1.最小的一位數(shù)是1

要確定0是不是一位數(shù)，關鍵要看一位數(shù)的概念。九年義務教育六年制小學數(shù)學第八冊教師教學用書第98頁“關于幾位數(shù)”是這樣敘述的：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如，2，含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；30含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；405含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)?！缎W數(shù)學問答手冊》（北京師范大學出版社，1993年3月1版，第13頁）是這樣描述一位數(shù)和幾位數(shù)的：用一個不是0的數(shù)字寫出的數(shù)叫做一位數(shù)。例如：1、3、9……在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是0），這個數(shù)就叫做幾位數(shù)。判斷最小的一位數(shù)是幾，只能用一位數(shù)的定義來判斷，與0是否劃規(guī)為自然數(shù)無關。從上面的定義中可知，最小的一位數(shù)是1而不是0。

2.為什么不說0是一位數(shù)呢？

首先為什么要規(guī)定一個數(shù)的最高位不能是0。因為若沒有這樣的規(guī)定，0就是最小的一位數(shù)，由此可以得出最小的兩位數(shù)是00，最小的三位數(shù)是000。不僅如此，若沒有這樣的規(guī)定，對一個數(shù)也就無法確定它是幾位數(shù)了。例如，15是兩位數(shù)，“015”就變成了三位數(shù)，“0015”就變成了四位數(shù)。這樣，同一個數(shù)我們可以隨意稱它為幾位數(shù)，“位數(shù)”這一概念的存在也就沒有必要了。其次，就像小學階段因數(shù)和倍數(shù)單元不研究“0”一樣，它會給我們帶來一些不必要的麻煩，例如：三位數(shù)乘一位數(shù)的積是幾位數(shù)？如果0是一位數(shù)，是不是還要說明積可能是三位數(shù)、四位數(shù)，還有可能是一位數(shù)。完全沒有必要。

3.0不是一位數(shù)，是幾位數(shù)呢？

如果說0不是一位數(shù)，那0究竟是幾位數(shù)呢？從數(shù)學理論上講0的位數(shù)是-∞。一個數(shù)的位數(shù)不同的進制是不一樣的，拿我們現(xiàn)在學的十進制來說，一個自然數(shù)A，如果10n-1≤A＜10n則A是一個n位數(shù)。例如：101≤18＜102，所以18是兩位數(shù)，再如103≤1000＜104，所以1000是四位數(shù)。0呢？它是一個極限值，它等于10的無窮大分之1，所以它的位數(shù)是-∞。

4.在小學階段，探討0的位數(shù)有沒有意義？

筆者認為是沒有意義的。①對于0的認識，教材本身就特殊對待了，一年級上學期的教材從目錄上看，1——5的認識和加減法，6——10的認識和加減法，11——20各數(shù)的認識，至于0，教材把它放在第三單元的末尾，并且是從計算中引入，讓學生在計算與圖片中感受，0表示一個物體也沒有。②對于“位數(shù)”的概念，教材從頭到尾都沒有，只有數(shù)位。那學生對于位數(shù)的概念是怎樣建立的呢？在一年級下冊的100以內加減法中首次出現(xiàn)整十數(shù)加一位數(shù)，后面再陸續(xù)出現(xiàn)兩位數(shù)加減兩位數(shù)，也就是說我們研究位數(shù)是為計算找規(guī)律，如三位數(shù)乘一位數(shù)積是三位數(shù)或四位數(shù)，三位數(shù)乘兩位數(shù)積是四位數(shù)或五位數(shù)等。為比較大小找方法，如：整數(shù)大小的比較，位數(shù)多的數(shù)大等。而這些都不需要考慮0。所以我個人認為最好的方式是回避，就像在小學階段研究整除，只在非0自然數(shù)里研究一樣，研究位數(shù)的時候也不需要考慮0。

就像西紅柿不管是當水果賣還是當蔬菜賣都不影響它的味道一樣，0歸為自然數(shù)后，0原有的所有特性全部沒變，0還是0，它就是一個特殊的數(shù)，特殊的數(shù)就特殊對待，該回避時就回避！

（作者單位：武漢小學）

責任編輯劉玉琴