文/嚴(yán)云海
解直角三角形的應(yīng)用
文/嚴(yán)云海
解直角三角形的應(yīng)用是銳角三角函數(shù)的重要內(nèi)容.近年來運用解直角三角形的知識解決與生活相關(guān)的應(yīng)用題成為中考命題的熱點.解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.下面以2016年中考題為例,歸納這類問題的解法.
解直角三角形涉及各種圖形,熟悉基本圖形及其對應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題的前提.
1.仰角、俯角問題
例1(2016年昆明卷)如圖1,大樓AB右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊沿點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732).
圖1
分析:如圖1,過點D作DF⊥AB于點F,過點C作CH⊥DF于點H援解Rt△AFD可得到DF的長度,解Rt△DCE可得到CE的長度,則BC=DF原CE援
解:如圖1,過點D作DF⊥AB于點F,過點C作CH⊥DF于點H,則DE=BF=CH=10m.
在Rt△ADF中,疫AF=80m-10m=70m,∠ADF=45°,∴DF=AF=70m.
在Rt△CDE中,疫DE=10m,∠DCE=30°,
答:障礙物B,C兩點間的距離約為52.7m.
方法歸納:仰角、俯角問題通常涉及多個仰角或俯角,解題時,利用三角函數(shù)的定義分別在仰角或俯角所在的直角三角形中求出相應(yīng)線段的長度,從而求解.當(dāng)題中的關(guān)系比較復(fù)雜時,可先設(shè)未知數(shù),用同一個未知數(shù)表示問題中不同的量,列方程求解.
2.坡度、坡角問題
例2(2016年濟寧卷)某地的一座人行天橋如圖2所示,天橋高為6米,坡面BC的坡度為1∶1,為了方便行人推車過天橋,有關(guān)部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為1∶
(1)求新坡面的坡角琢;
(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除?請說明理由.
圖2
答:新坡面的坡角琢為30°.
(2)文化墻PM不需要拆除.理由如下:
過點C作CD⊥AB于點D,則CD=6.
∴文化墻PM不需要拆除.
方法歸納:解答這類問題,需要作高構(gòu)造直角三角形.根據(jù)坡比的定義,將坡比轉(zhuǎn)化為線段的長度比是解題的關(guān)鍵.
3.方位角問題
例3(2016年常德卷)南海是我國的南大門.如圖3所示,某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域進(jìn)行常態(tài)化巡航,在A處測得北偏東30°方向上、距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,經(jīng)過一段時間后,在C處成功攔截不明船只.問:我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里(最后結(jié)果保留整數(shù))?
(參考數(shù)據(jù):cos75°=0.2588,sin75°=0.9659, tan75°=3.732,=1.732,=1.414)
圖3
分析:過B作BD⊥AC,在Rt△ABD中,可求出BD與AD的長,在Rt△BCD中,可求出CD的長,從而求出AC的長.
解:過B作BD⊥AC,
疫∠BAC=75°-30°=45°,
∴在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,
答:我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了67海里.
方法歸納:要掌握方位角的表示方法,將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn)化為解直角三角形.當(dāng)不是直角三角形時,通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.
4.其他問題
圖4
例4(2016年山西卷)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點,已成為世界各國普遍關(guān)注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè).如圖4是太陽能電池板支撐架的截面圖,其中的粗線表示支撐角鋼,太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同,均為300cm,AB的傾斜角為30°,BE=CA=50cm,支撐角鋼CD,EF與底座地基臺面接觸點分別為D,F(xiàn),CD垂直于地面,F(xiàn)E⊥AB于點E.兩個底座地基高度相同(即點D,F(xiàn)到地面的垂直距離相同),均為30cm,點A到地面的垂直距離為50cm.求:支撐角鋼CD和EF的長度各是多少cm(結(jié)果保留根號)?
分析:過A作AG⊥CD于G,在Rt△ACG中,求得CG=25,連接FD并延長與BA的延長線交于H,在Rt△CDH中,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CH=90,在Rt△EFH中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
解:過A作AG⊥CD于G,則∠CAG=30°.
∵GD=50-30=20,∴CD=CG+GD=25+20=45.
連接FD并延長與BA的延長線交于H,則∠BHF=30°,
∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290,
方法歸納:這類問題的背景往往是某一個生活用品(或其剖面圖),文字較長,概念較多,解題時,要邊閱讀題干邊看圖形,將實物(或剖面圖)抽象成數(shù)學(xué)圖形求解.
責(zé)任編輯:王二喜