來存霞，覃立福

(河池學(xué)院 a.圖書館，b.計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

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一類多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析*

來存霞a，覃立福b

(河池學(xué)院 a.圖書館，b.計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，廣西 宜州 546300)

文章分析了多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.通過建立適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovii函數(shù),得出適當(dāng)?shù)腖MIs，在矩陣系統(tǒng)固定的情況下證明其漸近穩(wěn)定性，并推廣至系統(tǒng)矩陣滿足多胞型不確定的情況下，給出魯棒穩(wěn)定性的充分條件.

多胞型；不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式

1 系統(tǒng)描述

考慮如下多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)

(1)

其中x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，矩陣A和Ad為適當(dāng)維矩陣，d(t)為時(shí)變時(shí)滯，滿足

0≤d(t)≤τ

(2)

(3)

并定義矩陣A和Ad屬于如下多胞型不確定區(qū)域

(4)

2 時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定性分析

為了討論系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性，其中系統(tǒng)(1)中時(shí)滯d(t)滿足條件(2)和(3).首先在系統(tǒng)矩陣A和Ad固定的情況，即系統(tǒng)沒有不確定的情況下，我們可以給出如下引理和定理.

引理1 ?a,b∈Rn和X∈Rn×n,Z∈Rm×m,且X>0,Z>0,矩陣Y∈Rn×m，?N∈Rn×m，

定理1 對于給定的τ>0和μ<1，系統(tǒng)(1)在A和Ad固定，以及時(shí)滯d(t)滿足(2)和(3)的情況下是漸近穩(wěn)定的，如果存在P>0，Q≥0，Z>0,X>0，以及矩陣Y，滿足

(5)

(6)

其中 M=ATP+PA+Y+YT+Q+τX

證明：通過Leibniz-Newton定理可以推出等式

(7)

則系統(tǒng)(1)可變?yōu)?/p>

(8)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(9)

沿著時(shí)間軌跡對(9)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(10)

由引理1可得，

(11)

將(11)代入(10)整理可得，

τX)x(t)+xT(t)Qx(t)-(1-μ))xT(t-d(t))

(12)

令ξT(t)=[xT(t) xT(t-d(t))]，M=ATP+PA+Y+YT+Q+τX，則有

(13)

3 多胞型不確定時(shí)滯系統(tǒng)的 穩(wěn)定性

以上是系統(tǒng)(1)在系統(tǒng)矩陣確定的情況，下面我們將這種方法引入到多胞型不確定系統(tǒng)中，可以得到如下定理.

定理2 對于給定的τ>0和μ<1，系統(tǒng)(1)在滿足多胞型(4)，以及時(shí)滯d(t)滿足(2)和(3)的情況下是魯棒穩(wěn)定的，如果存在P>0，Q≥0，Z>0,X>0，以及矩陣Y，滿足

(14)

(15)

其中 M=A(i)TP+PA(i)+Y+YT+Q+τX

證明過程如定理1.

4 仿真舉例

根據(jù)定理2中的充分條件，推導(dǎo)成一個凸優(yōu)化問題，使用Matlab中的gevp求解器，可得到該系統(tǒng)的最大允許延遲時(shí)間，即可以歸結(jié)為求以下線性矩陣不等式.

s.t.

ii)(14)

例1 考慮如下多胞型不確定時(shí)滯系統(tǒng)

通過4中的方法用Matlab求解,我們可以得出如下一組μ和τ的值.

表1 μ和τ的對照值

例2 考慮如下多胞型不確定時(shí)滯系統(tǒng)

并且|h|≤0.035.

令hm=0.035，則

通過4中的方法用Matlab求解可以得出如下一組μ和τ的值.

表2 μ和τ的對照值

從表1和表2中可以看出，本文得出的結(jié)果要優(yōu)于文獻(xiàn)[1]，說明文中給出魯棒穩(wěn)定性的充分條件的有效性.

5 結(jié)語

文章主要描述了一類簡單的多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，通過建立適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovii函數(shù),得出適當(dāng)?shù)腖MIs，在矩陣系統(tǒng)固定的情況下證明其漸近穩(wěn)定性，并推廣至系統(tǒng)矩陣滿足多胞型不確定的情況，得出多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分條件.通過舉例仿真，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性，以便以后將此方法驗(yàn)證更復(fù)雜的多胞型不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng).

[1]Yong He,Min Wu,Jin-Hua She,etc.Parameter-Dependent Lyapunov Functional for Stability of Time-Delay Systems With Polytopic-Type Uncertainties[J].IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL,2003(39):828.

[2]愈立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[3]杜君花，堵秀鳳，邢殿福.新的線性凸多面體不確定離散系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定條件[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2009(3)：52-55.

[責(zé)任編輯 蘇 琴]

[責(zé)任校對 黃招揚(yáng)]

Stability Analysis of a class of Polytopic Uncertain Systems with Multiple Time-varying Delay

LAI Cun-xiaa,QIN Li-fub

(a.Library,b.SchoolofComputerandInformationEngineering,HechiUniversity,Yizhou546300,China)

This paper discussed stability for a class of polytopic uncertain systems with multiple time-varying delay.Firstly,establish proper Lyapunov - Krasovii function,it is concluded that proper linear matrix inequalities,and then in the matrix system under the condition of fixed prove the asymptotic stability,and promote to the system of polytopic uncertain systems with multiple time-varying delay,the sufficient condition for robust stability is given.

polytopic-type; uncertain time-varying delay systems; LMI

2016-04-10.

來存霞(1981-)，女，山東濟(jì)寧人，碩士，河池學(xué)院圖書館助理館員，研究方向：最優(yōu)控制理論及應(yīng)用.

TP273

A

1673-8462(2016)03-0065-03