凌莉蕓，凌 晨

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

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嚴格半正張量特征值互補問題的Pareto-譜估計

凌莉蕓，凌 晨

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

針對一類嚴格半正張量特征值互補問題，研究了其Pareto-特征值的符號特征.在此基礎上，利用嚴格半正張量的常量定義和算子定義，得到了嚴格半正張量特征值互補問題的Pareto-特征值的上下界估計.

張量；嚴格半正張量；Pareto-特征值；Pareto-譜

0 引 言

張量特征值互補問題[1]是矩陣特征值互補問題[2-3]和張量特征值問題[4-5]的自然推廣，它與矩陣特征值互補問題類似，在許多工程領域有廣泛應用[1].但與矩陣特征值互補和張量特征值問題比較,張量特征值互補問題的計算更難[6].例如，求最大Pareto-特征值是NP-難問題，因此需要進行相關估計.本文研究了嚴格半正張量特征值互補問題的Pareto-譜估計.結合算子范數的性質，刻畫嚴格半正張量特征值互補問題的Pareto-特征值的符號特征和上下界估計，對進一步研究結構性張量特征值互補問題具有重要的理論意義.

1 問題描述及相關預備知識

本文考慮張量特征值互補問題,即求λ∈R和x∈Rn{0},使得：

(1)

下面首先給出有關定義和引理.

引理1[9]設A∈Tm,n.則A是嚴格半正張量，當且僅當β(A)>0.

命題1 設A∈Tm,n.若A為嚴格協(xié)正，則A必為嚴格半正.

下面的例子表明，嚴格半正張量未必是嚴格協(xié)正張量.

針對給定的A∈Tm,n，現在定義連續(xù)正齊次算子TA∶Rn→Rn如下：

特別地，若m是偶數，還可定義另一連續(xù)正齊次算子FA∶Rn→Rn：

(2)

引理2[10]設A∈Tm,n,則有：

引理3[10]設A∈Tm,n,且A≥0(即A中任一元均非負)，則有：

2 主要結果

在文獻[1]中所需條件更弱的假設下，考慮式(1)的Pareto-譜估計.首先，討論A為嚴格半正且B=-I情形時A的Pareto-特征值符號.

命題2 設A,B∈Tm,n.若A為嚴格半正且B=-I，則(A,-I)的任一Pareto-特征值均是正的.

(3)

下面的定理進一步刻畫A的Pareto-譜的上下界.

定理1 設A,B∈Tm,n.若A為嚴格半正且B=-I，則：

(4)

(5)

(6)

由引理2和定理1，得到下面的結論.

推論1 設A,B∈Tm,n.若A為嚴格半正，且B=-I，則：

下面討論A為嚴格半正且B≥0情形時(A,B)的Pareto-特征值符號和上下界.

命題3 設A,B∈Tm,n.若A為嚴格半正且B≥0，則(A,B)的任一Pareto-特征值均是負的.

(7)

下面的定理進一步刻畫(A,B)的Pareto-特征值的上下界.

(8)

(9)

(10)

由上式和式(10)知，定理2的結論1中第一個不等式成立.

(11)

進一步，由于

由上式和式(11)知，定理2的結論1中第二個不等式成立.從而定理2的結論1成立.

由命題3和定理2，可以得到下述推論.

推論2 設A,B∈Tm,n為嚴格半正，且B≥0,則：

由引理2、引理3和推論2，進一步得到：

推論3 設A,B∈Tm,n為嚴格半正，且B≥0,則：

3 結束語

本文首先針對嚴格半正張量特征值互補問題，分別在B為負單位張量和非負嚴格半正張量的條件下，討論了(A,B)的Pareto-特征值的符號特征.在此基礎上，進一步得到了(A,B)的Pareto-特征值的上下界估計.這些結果為今后研究一般的(B無限制條件)嚴格半正張量特征值互補問題的Pareto-特征值的估計提供了新途徑.

[1]LING C, HE H, QI L. On the cone eigenvalue complementarity problem for higher-order tensors[J]. Computational Optimization and Applications, 2016, 63(1): 143-168.

[4]QI L. Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J]. Journal of Symbolic Computation, 2005, 40(6): 1302-1324.

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[7]SONG Y, QI L. Properties of tensor complementarity problem and some classes of structured tensors[J/OL]. Eprint Arxiv,2014, [2016-03-23]. http://arxiv.org/abs/1412.0113.

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Pareto-spectrum Estimations of Eigenvalue Complementarity Problem with Strictly Semi-positive Tensors

LING Liyun, LING Chen

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

For a class of eigenvalue complementarity problem with strictly semi-positive tensors, we study the symbolic features of Pareto-eigenvalue. On this based, we obtain the upper and lower bounds of Pareto-eigenvalue for eigenvalue complementarity problem with strictly semi-positive tensors by using the constant definition and operator definition of strictly semi-positive tensors.

tensor; strictly semi-positive tensor; Pareto-eigenvalue; Pareto-spectrum

10.13954/j.cnki.hdu.2016.06.017

2016-04-19

國家自然科學基金資助項目(11571087)

凌莉蕓(1991-)，女，河南洛陽人，碩士研究生，非線性優(yōu)化.通信作者：凌晨教授，E-mail: macling@hdu.edu.cn.

O221.2

A

1001-9146(2016)06-0081-05