王 韜 朱華邦

(92941部隊 葫蘆島 125001)

?

基于排隊論的艦空導彈殺傷概率估算*

王 韜 朱華邦

(92941部隊 葫蘆島 125001)

在裝備試驗中,武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效率極為重要，對其殺傷概率的研究也擺在了突出位置。文中應用排隊論對艦空導彈系統(tǒng)群的殺傷概率進行了評定，簡述了排隊論的原理，介紹了系統(tǒng)群受干擾時殺傷概率的估算，并繪制了殺傷概率和突防概率曲線，最后根據(jù)曲線得出三點結論。

排隊論； 艦空導彈； 殺傷概率； 設計循環(huán)時間； 干擾

Class Number TJ761

1 引言

在艦空導彈武器系統(tǒng)中，由于突防飛行器進入防空區(qū)域的時刻及艦空導彈設計循環(huán)時間均隨不同時期與條件而變化，因此，在某一防空區(qū)域中，若有K個導彈艦艇構成一個系統(tǒng)群。每個導彈艦艇的射擊循環(huán)時間Tc和突防飛行器進入防空區(qū)域的時刻都是隨機的。所以為了確定系統(tǒng)群的作戰(zhàn)效率，可以應用排隊論(或稱隨機服務系統(tǒng)理論)進行估算。在排隊論中，顧客可以看作是突防飛行器，服務機構可以看作艦空導彈群，只不過以攻擊方式進行“服務”而已。為此，在討論系統(tǒng)群的作戰(zhàn)效率之前，對排隊論作簡單介紹[1～3]。

2 排隊論簡介

排隊論的任何一個服務系統(tǒng)(如艦空導彈系統(tǒng)群)都可以抽象成三個部分來描述，即：顧客到達過程、服務機構服務過程和服務結束離開過程(見圖1)[4]。

1) 顧客到達過程

顧客到達過程又稱輸入過程，指顧客的到達規(guī)律。顧客可以是人，也可以是物，要根據(jù)討論的問題而定，在本文中指定空中目標(飛行器)。

到達過程一般是隨機過程。描述該過程的數(shù)量是隨機變量。例如，在時間t內(nèi)到達的顧客數(shù)為N(t)， 顧客相繼到達的時間間隔t=ti-ti-1等都是隨機變量，可以用概率、概率分布函數(shù)或分布密度來描述。

圖1 服務系統(tǒng)的組成

顧客相繼到達時間間隔通常服從負指數(shù)分布，其概率分布函數(shù)A(t)為[5～6]

A(t)=1-e-λt

(1)

式中：λ為單位時間內(nèi)到達的顧客平均數(shù)。

在時間t內(nèi)，到達K個顧客的概率PK服從泊松分布。

(2)

2) 排隊論規(guī)則

排隊規(guī)則指為到達的顧客服務的次序。一般有下列幾種情況：

(1)損失制

當顧客到達時，若所有服務機構均已被占用，則該顧客自動消失，離開服務系統(tǒng)。

(2)等待制

當顧客到達時，若所有服務機構均已被占用，則該顧客等待服務。常用服務方式有以下幾種:

A 先到先服務；

B 后到先服務；

C 優(yōu)先權服務；

D 隨機服務。

(3)混合制(損失制與等待制的混合)

這種情況主要發(fā)生在排隊的長度、等待時間和逗留時間有限制時。如用艦空導彈射擊敵機，敵機飛越導彈射擊區(qū)為t0，若敵機飛過該區(qū)域，在時間t0內(nèi)未被擊落，就算丟失了。

3) 服務機構

服務機構可以是一個，也可以是多個；既可以串行，也可以并行；每次可以對一個顧客進行服務，也可以成批進行服務。

服務機構可以用服務時間及其分布進行描述。同到達時間間隔一樣，服務時間通常也服從負指數(shù)分布。其概率分布函數(shù)B(t)為[7]

B(t)=1-e-μt

(3)

式中：μ為單位時間內(nèi)服務的顧客平均數(shù)。

4) 排隊模型的符號表示方法

通常用四個符號表示不同的排隊模型，符號之間用斜線分開，如A/B/C/K。其中，A表示到達時間間隔的分布；B表示服務時間的分布；C表示服務機構的數(shù)量；K表示等待空間的大小，K=0表示損失制，K=∞表示等待制，K為有限正整數(shù)表示混合制。例如M/M/1/0表示該服務系統(tǒng)輸入為泊松分布的簡單流，服務時間為負指數(shù)分布，服務機構為1個，排隊規(guī)則為損失制。

3 艦空導彈系統(tǒng)群受干擾時殺傷概率的估算

1) 影響艦空導彈系統(tǒng)作戰(zhàn)能力的因素

艦空導彈系統(tǒng)的作戰(zhàn)能力，通?？捎蒙鋼粞h(huán)時間來表示。

若用n枚導彈射擊一個目標，那么射擊循環(huán)時間應該等于射擊準備時間和射擊目標所需時間之和，即

Tc=TA+TP

(4)

式中：Tc為射擊循環(huán)時間；TA為射擊第一個目標所需時間；TP為射擊準備時間。

射擊循環(huán)時間若以對第一個目標發(fā)射導彈的時間到對第二個發(fā)射導彈的時間計算，則射擊目標所需時間為

TA=t1+t2+t3

(5)

式中：t1為導彈飛到遭遇點的時間；t2為對同一目標連射時，連續(xù)發(fā)射導彈之間的時間間隔；t3為射擊效果檢查時間。

對于給定的導彈系統(tǒng)來說，時間t1同目標離導彈艦艇的距離及目標的運動參數(shù)有關；當只對目標發(fā)射1枚導彈或齊射時t2=0。

為了對第二個目標進行射擊，跟蹤制導雷達必須發(fā)現(xiàn)和截獲第二個目標；轉入自動跟蹤狀態(tài)之后，尚需一定時間方能使導彈和發(fā)射設備指向目標，還需一定時間檢查射擊通道的準備程度。故火力轉移時間，即射擊準備時間TP，可由下式確定

TP=t4+t5+t6

(6)

式中：t4為跟蹤制導雷達發(fā)現(xiàn)和截獲目標的時間；t5為跟蹤制導雷達從截獲狀態(tài)轉入自動跟蹤狀態(tài)的時間；t6為導彈和發(fā)射裝置進入發(fā)射狀態(tài)，以及檢查射擊通道裝備程度的時間。

因此，射擊循環(huán)時間也可寫成下列形式

Tc=t1+t2+t3+t4+t5+t6

(7)

由此可見，射擊循環(huán)時間決定于：導彈飛向遭遇點的距離，目標高度及其運動參數(shù)，火力轉移條件及操作員的技術水平，而且它們都是隨機變量，通常用平均值表示。為了保證導彈能有效地射擊目標，必須滿足下式

Tc≤Δt

(8)

式中：Δt為目標進入導彈發(fā)射區(qū)的時間間隔。

2) 艦空導彈武器系統(tǒng)群殺傷概率的計算

在反空襲斗爭中，艦空導彈的殺傷概率和敵飛行器的突防概率是非常重要的戰(zhàn)術參數(shù)。如果把進入導彈射擊區(qū)域的突防飛行器看作到達服務系統(tǒng)的顧客，把艦空導彈艦艇看作服務機構，建立起排隊系統(tǒng)的模型，就可以應用排隊論估算艦空導彈的殺傷概率和突防飛行器的突防概率。

假定進入導彈射擊區(qū)域飛行器的相繼到達時間間隔為負指數(shù)分布，在時間t內(nèi)有K個飛行器進入導彈射擊區(qū)域的概率為泊松分布，艦空導彈系統(tǒng)由S個導彈艦艇組成，每個導彈艦艇的服務時間為射擊循環(huán)時間TC，服務時間為負指數(shù)分布，那么該服務系統(tǒng)可以看作輸入為泊松分布，服務時間為負指數(shù)分布的。有S個服務機構的損失制系統(tǒng)，即M/M/S/0系統(tǒng)。損失制指飛行器進入導彈射擊區(qū)域時，如S個導彈艦艇都在其它目標而被占用，則飛行器穿過攻擊區(qū)，不出現(xiàn)受攻擊而引起損失的情況，即突防成功。

在這種情況下，導彈的殺傷概率為[8]

(9)

飛行器的突防概率

(10)

式中：μ為服務機構的服務率，μ=1/Tc，即導彈射擊循環(huán)時間的倒數(shù)；λ為進入導彈射擊區(qū)的飛機到達率；S為導彈艦艇的數(shù)目。

由以上各式看出，導彈殺傷概率PK和飛行器突防概率PA，均與導彈的射擊循環(huán)時間TC(或μ)、突防飛行器到達率λ以及導彈艦艇的數(shù)目S有關，當導彈艦艇的數(shù)目S=0時，由于沒有導彈艦艇進行攔截，所以導彈的殺傷概率為0，飛行器的突防概率為1。

艦空導彈武器系統(tǒng)的射擊效率由對目標的射擊次數(shù)和每次的射擊效率決定。若對武器系統(tǒng)實施干擾，則將使武器系統(tǒng)的射擊效率大大降低。

在干擾條件下，制導系統(tǒng)的目標信息將受到很大破壞，從而使導彈系統(tǒng)對目標進行射擊的次數(shù)和每次射擊的效率降低。目標信息丟失的程度，可用被干擾遮蓋的空間體積(面積)與作戰(zhàn)空域的空間體積(面積)之比度量。

對于艦面搜索或目標指示雷達來說，在干擾條件下，目標信息的破壞程度主要表現(xiàn)在目標信息的丟失或信息精度的降低。從而使跟蹤制導雷達的激活概率降低，在出現(xiàn)假目標時，將產(chǎn)生假目標信息，甚至使導彈對假目標進行射擊[9]。

在干擾條件下，導彈武器系統(tǒng)的射擊效率，還與制導系統(tǒng)各個無線電環(huán)節(jié)的抗干擾能力有關。因此，當其它條件相同時，干擾對艦空導彈武器系統(tǒng)射擊效率的影響，可用殺傷目標數(shù)的數(shù)學期望相對降低程度δM來表示

(11)

式中：M1為無干擾時，導彈殺傷目標的數(shù)學期望；M2為有干擾時，導彈殺傷目標的數(shù)學期望。

射擊效率下降的原因主要有三點：

(1)制導誤差增加

干擾不能破壞制導回路的工作，但能使導彈的制導誤差增加，誤差的大小不但與干擾的樣式、強度有關，而且與制導系統(tǒng)的抗干擾能力有關。

(2)戰(zhàn)斗部效率降低

由于干擾作用使無線電引信啟動區(qū)與動態(tài)殺傷區(qū)的配合受到破壞，因而使戰(zhàn)斗部的效率降低。

(3)武器系統(tǒng)各個無線電環(huán)節(jié)的功能受到破壞

這是由目標坐標及其運動參數(shù)的信息中斷，導彈制導回路中斷以及無線電引信假觸發(fā)引起的。若假目標信息傳輸?shù)街茖Щ芈?，則可以使目標的殺傷概率下降到零[10]。

根據(jù)以上所述，干擾對艦空導彈武器系統(tǒng)射擊效率的影響，也可以用受干擾時的殺傷概率和未干擾時殺傷概率的相對值PrK來評定，即

(12)

式中：PKj為艦空導彈武器系統(tǒng)受干擾時的殺傷概率；PK為艦空導彈武器系統(tǒng)未受干擾時的殺傷概率。

假定，在某一地區(qū)，艦空導彈布置由K個導彈艦艇構成的一個系統(tǒng)群。該系統(tǒng)群在未受對方干擾時，每個導彈艦艇的平均射擊時間TC=15s，目標(干擾載機)以2架/min的到達率進入該系統(tǒng)群的防空區(qū)域。當系統(tǒng)群受干擾時，由于系統(tǒng)反應時間增加，平均射擊時間變?yōu)?0s，但目標到達率不變。根據(jù)上述假定可知，系統(tǒng)群未受干擾時，μ=1/Tc=4架/min，λ=2架/min；系統(tǒng)群受干擾時，μj=2架/min，λj=λ=2架/min。將上述數(shù)據(jù)分別代入式(9)就可以求出導彈未受干擾時的殺傷概率PK和受干擾時的殺傷概率PKj，再將PK與PKj代入式(12)就可以求得相對殺傷概率PtK。在干擾和非干擾情況下殺傷概率和突防概率曲線如圖2所示。

圖2 殺傷概率和突防概率曲線

4 結語

綜上所述，由圖2可以得出下列結論：

1) 在其它條件相同時，服務機構的服務率μ越大，導彈的殺傷概率PK也越大，也就是說艦空導彈武器系統(tǒng)的反應時間越短，導彈的殺傷概率越大。所以反應時間是艦空導彈系統(tǒng)的重要戰(zhàn)術技術參數(shù)。尤其是低空、超低空導彈系統(tǒng)的反應時間有時比射程還重要。因為現(xiàn)代低空目標對導彈武器系統(tǒng)的反應時間要求非?？量蹋话阈∮?0s，否則就貽誤戰(zhàn)機。因此，縮短武器系統(tǒng)反應時間是改進現(xiàn)代艦空導彈武器系統(tǒng)的重要任務之一。

2) 從干擾的觀點出發(fā)，干擾增加了導彈的反應時間，也就是增加了導彈的射擊循壞時間，從而降低了殺傷概率，根據(jù)干擾條件下的導彈射擊循環(huán)時間，可以得到干擾條件下的殺傷概率。

3) 多個艦空導彈艦艇比單個的殺傷概率大，但窗口增加到一定數(shù)值后，殺傷概率的增加微乎其微。所以在配制導彈系統(tǒng)群時，不一定越多越好，太多了效費比低，不經(jīng)濟。故設置艦空導彈艦艇時，應考慮最優(yōu)化問題。例如：當進入導彈射擊區(qū)的飛行器到達率λ=2，導彈的射擊率μ=4，導彈艦艇的數(shù)目S=4時，導彈的殺傷概率PK可達到0.945。

[1] 鄭春柏，魯小強，康永文，等.排隊論在地空導彈系統(tǒng)作戰(zhàn)評估中的應用研究[J].艦船電子工程，2009(9)：47-49.

[2] 苑立偉，楊建軍，張多林.基于排隊論的防空導彈群作戰(zhàn)效能研究[J].現(xiàn)代防御技術，2005，33(5)：4-8.

[3] 王斯福，吳曉華，張克，等.基于排隊論的飛行器協(xié)同突防效能分析[J].戰(zhàn)術導彈技術，2007(1)：10-15.

[4] 劉次華.隨機過程(第2版)[M].武漢：華中科技大學出版社，2005：15-20.

[5] 徐光輝.隨機服務系統(tǒng)[M].北京：科學出版社，1980：57-65.

[6] William Mendenhall ，Terry Sincich.統(tǒng)計學(原書第五版)[M].北京:機械工業(yè)出版社，2009:121-124.

[7] 譚樂祖，翟軍.軍事運籌學教程[M].兵器工業(yè)出版社,2010：226-229.

[8] Sheldon M.Ross.隨機過程[M].北京:中國統(tǒng)計出版社，1997:55-61.

[9] Merrill I.Skolnik.雷達手冊(第三版)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2008:970-976.

[10] 趙廣彤，俞一嗚.基于排隊論的防空導彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能研究[J].現(xiàn)代防御技術,2014,42(1):19-23.

Kill Probability Estimation of Ship-to-air Missile Based on Queuing Theory

WANG Tao ZHU Huabang

(No. 92941 Troops of PLA， Huludao 125001)

The operational efficiency of weapon system in the equipment test is very important, and the study of kill probability should be put into the outstanding position. In this part, the queuing theory is used to assess the kill probability of ship-to-air missile systematic group, and the principle queuing theory is described, the kill probability estimation when the systematic group get disturbed is introduced, and the kill probability curve and penetration probability curve are poted. Finally, three conclusions are drawn according to the curve.

queuing theory, ship-to-air missile, kill probability, design cycle time, disturb

2016年5月10日,

2016年6月27日

王韜，男，助理工程師，研究方向：目標跟蹤與制導控制。朱華邦，男，高級工程師，研究方向：目標跟蹤與制導控制。

TJ761

10.3969/j.issn.1672-9730.2016.11.008