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淺談最值問題的解決策略

江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校王金

最值問題中考熱點(diǎn)解決策略

幾何中的最值問題近年廣泛出現(xiàn)于中考試卷中，逐步變?yōu)闊狳c(diǎn)，這是由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性，解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法，對學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，而能夠勝任這類型問題的話，對于高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有非常大的幫助.

幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：

1.特殊位置與極端位置法.

2.幾何定理（公理）法.

3.數(shù)形結(jié)合法.

例1． 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動.

（1）連結(jié)OE、BE，試求OE+BE的最小值.

思路點(diǎn)撥：根據(jù)三角形兩邊之各大于第三邊可知，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到OB上時，OE+BE的最小值為OB=4（定值）

圖1

圖2

圖3　

圖4

（2）連結(jié)AE，在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，試求△ABE面積的最大值和最小值.

思路點(diǎn)撥：由于AB為定值，所以ABE面積的最大值和最小值即為點(diǎn)E到AB距離的最大值和最小值.如圖2過點(diǎn)E做AB的垂線EF，連接OE、OF，在OEF中，由（1）題思路可知，當(dāng)點(diǎn)E與在OF上時，EF最小值為點(diǎn)O到AB距離（定值）——半徑（定值）；當(dāng)點(diǎn)E在OF的反向延長線上時，EF最大值為點(diǎn)O到AB距離（定值）+半徑（定值）；

（3）如圖3，過E作OE的垂線，若OE垂線與直線AB有交點(diǎn)G，試求線段EG的最小值.

思路點(diǎn)撥：連接OG，因?yàn)镺E是半徑（定值），要求EG最小值，只要求出OG的最小值，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)O作AB的垂線段即知OG的最小值.

（4）在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求DE的最小值.

思路點(diǎn)撥：分類：1.AB為邊；2.AB為對角線.當(dāng)AB為邊時，則DE=AB=定值.當(dāng)AB為對角線時，則AB與DE互相平分，首先找到AB中點(diǎn)M，如圖4，連接EM，則ED=2EM，當(dāng)EM最小時，ED有最小值.根據(jù)垂線段最短，過定點(diǎn)M做AB垂線與圓交于點(diǎn)E，則EB長度的最小值為OM（定值）——半徑（定值）.

注：幾何中的最值問題往往轉(zhuǎn)化為定值問題，解決問題時不妨多聯(lián)想特殊位置及特殊的位置關(guān)系.

例2.如圖5，E是正方形ABCD的邊AD上的動點(diǎn)，連接BE，作AH⊥BE于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2，試求線段DH長度的最小值.

圖5

思路點(diǎn)撥：結(jié)合圓的相關(guān)知識，不難想到點(diǎn)H運(yùn)動在以AB為直徑的圓上，取AB中點(diǎn)為圓心（設(shè)為M），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)H在DM上時DH最小，等于DM（定值）——半徑（定值）.

例3.如圖6，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、C（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-7，0），點(diǎn)P是直線AC上的一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、2為半徑畫圓，過點(diǎn)B作動圓P的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F． 試求四邊形BEPF面積的最小值.

思路點(diǎn)撥：易證 PEB≌PFB，同時PFB中PF為半徑（定值），且PF⊥BF，當(dāng)BF最小時PFB的面積就最小，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BP⊥AC時，BP最短（定值），即可求出結(jié)果.

圖6

例4.如圖7，平面直角坐標(biāo)系中，A（-4，0），B（0，4），C（2，0），點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，連接EF、AD，試求線段EF的最小值.

圖7

思路點(diǎn)撥：根據(jù)圓的知識可知A、E、D、F四點(diǎn)共圓，其中AD是直徑，設(shè)圓心為M，連接EM、FM，則EM、FM為圓的半徑，由∠A=450，可知EM⊥FM，則EF與兩條圓的半徑構(gòu)成直角三角形.由于點(diǎn)D是動點(diǎn)，故當(dāng)AD⊥BC時，AD最短（定值），即直徑為最小值.

數(shù)學(xué)問題往往不是孤立的，相互間存在著各種各樣的聯(lián)系，它們可以相互滲透，相互轉(zhuǎn)化.如果能善于利用它們之間的聯(lián)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，解題的思路就會變得開闊，解題方法也將新穎巧妙.在解決最值問題時，要使轉(zhuǎn)化能順利地完成，必須掌握好基礎(chǔ)知識、基本技能.除此之外，還要善于發(fā)現(xiàn)和利用問題的特征，應(yīng)用知識間的聯(lián)系，具有一定的求異思維能力，并注意排除習(xí)慣性思維的干擾，注重平時練習(xí)中方法的積累.