張林娜，溫利民,2

（1.江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330022；2.江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理學(xué)院，南昌 330013）

Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì)

張林娜1，溫利民1,2

（1.江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330022；2.江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理學(xué)院，南昌 330013）

Esscher保費(fèi)原理是非壽險(xiǎn)精算中最重要的保費(fèi)原理之一,在精算學(xué)中有重要的運(yùn)用。文章研究了Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì),并證明了估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，最后通過(guò)數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了估計(jì)的收斂速度及漸近正態(tài)性。

Esscher保費(fèi)原理；非參數(shù)估計(jì)；相合性；漸近正態(tài)性

0　引言

一般地,保險(xiǎn)公司常常根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)來(lái)制定保費(fèi)。在保險(xiǎn)精算學(xué)中,把一份保單可能導(dǎo)致的索賠定義為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn),用隨機(jī)變量X來(lái)表示。因此,X為只取非負(fù)值的隨機(jī)變量,這時(shí)該保險(xiǎn)的歷史索賠數(shù)據(jù)Xi，i=1，2，…可以看作是該總體的隨機(jī)樣本。通過(guò)分析和了解這些數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而為該保單制定合理的價(jià)格,即為保費(fèi)。有關(guān)保費(fèi)的厘定可參考文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]。在某種保費(fèi)原理下,通過(guò)樣本對(duì)保費(fèi)進(jìn)行估計(jì),可分兩種情況,一種情況是已知風(fēng)險(xiǎn)X的分布類型,但分布中含有未知參數(shù),因此通過(guò)樣本信息對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而對(duì)保費(fèi)進(jìn)行估計(jì),這類估計(jì)方法為參數(shù)估計(jì)法,另一種情況是我們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分布一無(wú)所知,可用經(jīng)驗(yàn)分布對(duì)總體分布進(jìn)行估計(jì),這種方法稱為非參數(shù)估計(jì)。對(duì)于Esscher保費(fèi)的參數(shù)估計(jì),我們有多種方法對(duì)其進(jìn)行估計(jì),例如極大似然估計(jì)、矩估計(jì)、Bayes估計(jì)、信度估計(jì)等,可參考文獻(xiàn)[3-5]。然而在實(shí)際生活中,我們很難得知風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)分布,因此,對(duì)Esscher保費(fèi)非參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的研究也很重要。

1　Esscher保費(fèi)原理

考慮某個(gè)保險(xiǎn)公司的某種保單在一定時(shí)間（這里指一年）的索賠額,一般地,對(duì)索賠額過(guò)程Xi，i=1，2，…提出下面的假設(shè)：

假設(shè)1：索賠額Xi，i=1，2，…獨(dú)立同分布,具有概率分布函數(shù)密度函數(shù)矩母函數(shù)以及和都存在。

根據(jù)假設(shè),對(duì)Esscher保費(fèi)的定義如下：

定義1：對(duì)隨機(jī)變量X,定義X的保費(fèi)為：

在Esscher保費(fèi)原理中,h被稱為Esscher參數(shù)。容易驗(yàn)證也就是說(shuō),根據(jù)Esscher保費(fèi)原理收取的保費(fèi)能保證償付。由于Esscher保費(fèi)是h的函數(shù),可以證明Esscher保費(fèi)是 h的遞增函數(shù),且有因此,當(dāng)h增大時(shí),保費(fèi)的安全負(fù)荷系數(shù)增加,但被保險(xiǎn)人承擔(dān)的保費(fèi)壓力也較大,保險(xiǎn)公司可以根據(jù)自身的業(yè)務(wù)情況決定一個(gè)合適的Esscher參數(shù)。另外,Esschcr保費(fèi)事實(shí)上是使得期望指數(shù)損失函數(shù)達(dá)到最小的解,可參考文獻(xiàn)[5],即：

2　Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì)

本節(jié)給出Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì)及其大樣本性質(zhì)。設(shè)Xi,i=1，2，…，n為來(lái)自總體X的樣本容量為n的樣本,即為前n年的歷史數(shù)據(jù),若用Plug-in估計(jì)去估計(jì)總體X的分布,則可得到的一個(gè)非參數(shù)估計(jì)：

證明：由式(3)可知

證明：為了方便,本文令：

其中：

證明：本文仍用定理2的記號(hào),并令:

其中：

同理,可計(jì)算Y及Z的協(xié)方差為：

由于{} Wi，i=1，2，…，n也為獨(dú)立同分布的二維隨機(jī)向量,因此由中心極限定理,有：

其中Σ為向量W的協(xié)方差陣：

3　數(shù)值模擬

本文在例1給定的分布假設(shè)下進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì),并與極大似然估計(jì)(MLE)進(jìn)行比較。Esscher保費(fèi)的MLE也即將分布中未知參數(shù)的MLE代入式(1)即可。在例1中,Poisson分布的參數(shù)λ的極大似然估計(jì)為則在Poisson分布下,Esscher保費(fèi)的MLE為本文運(yùn)用Bootstrap方法進(jìn)行數(shù)值模擬,比較非參數(shù)估計(jì)與MLE在不同樣本容量下的均方誤差,均方誤差的預(yù)測(cè)可分別用下面的式子近似,記為MSEP：

分別取n=30，100，200，500，800，1000下模擬,每次模擬重復(fù)5000次,計(jì)算得到兩種估計(jì)的平均值及其相應(yīng)的預(yù)測(cè)均方誤差MSEP如表1所示。

表1　不同樣本容量下,MLE及非參數(shù)估計(jì)的均值和預(yù)測(cè)均方誤差

由表1可看出在不同的樣本容量下,兩種估計(jì)的平均值與真實(shí)值都較接近,且隨著樣本容量n的增大,MSEP都較小,并且越來(lái)越小,同時(shí)也可看出非參數(shù)估計(jì)的MSEP略大于極大似然估計(jì)的MSEP,但在實(shí)際生活中,我們很難從已有的數(shù)據(jù)得知總體的分布類型,若分布判斷錯(cuò)誤,可能造成很大的估計(jì)誤差,由表1可看出非參數(shù)估計(jì)的預(yù)測(cè)均方誤差也較小,因此,Esscher保費(fèi)的非參數(shù)估計(jì)也是一個(gè)很好的估計(jì)。

[1]Young V R.Premium Principles[M].New Jersey:Wiley,2004.

[2]Furman E,Zitikis R.Weighted Premium Calculation Principles[J].In?surance:Mathematics and Economics,2008,42(1).

[3]Pan M,Wang R,Wu X.On the Consistency of Credibility Premiums Regarding Esscher Principle[J].Insurance:Mathematics and Econo?ics,2008,42.

[4]Strasser H.Consistency of Maximum Likelihood and Bayes Estimates[J]. The Annals of Statistics,1981,9(5).

[5]王偉,溫利民,章溢.Esscher保費(fèi)原理下信度估計(jì)的比較[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,(3).

（責(zé)任編輯/易永生）

O211.9

A

1002-6487（2016）22-0018-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71001046）；江西省教育廳基金資助項(xiàng)目（GJJ13217）；江西省研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目項(xiàng)目（YC2014-S162）

張林娜（1991—），女，山西大同人，碩士，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)精算。溫利民（1979—），男，江西石城人，博士，教授，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)精算。