郭計(jì)敏

鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南鶴壁 458030

多元函數(shù)的極值的判別準(zhǔn)則

郭計(jì)敏

鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南鶴壁 458030

多元函數(shù)極值判別是高等數(shù)學(xué)研究中的非常重要的內(nèi)容，對(duì)研究活動(dòng)開展和思維能力培養(yǎng)具有重要作用。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)研究的具體內(nèi)容，就多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則的意義、實(shí)例、需要注意的問題進(jìn)行探討分析，提出相應(yīng)的對(duì)策，希望能為研究工作順利開展和研究活動(dòng)有效進(jìn)行提供啟示與借鑒。

多元函數(shù)；極值；判別準(zhǔn)則

一、引言

整個(gè)高等數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)分析》課程中，多元函數(shù)極值判別是其中非常重要的內(nèi)容。不管是理論研究，還是實(shí)踐應(yīng)用，多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則都具有重要作用，也受到研究工作者和研究人員的重視。本文將結(jié)合工程實(shí)例，就多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則進(jìn)行探討分析，并通過具體實(shí)例進(jìn)行介紹，希望能為研究工作的有效開展提供借鑒。

二、多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則的意義

多元函數(shù)極值問題一直是高等數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，也吸引眾多學(xué)者的注意。其中，比較有代表性的學(xué)者如朱張興、王大胃、張靜、荊慶林等，這些學(xué)者從不同的角度入手，對(duì)多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則進(jìn)行研究，并提出相應(yīng)對(duì)策，對(duì)研究活動(dòng)有效開展具有積極作用。通常來說，函數(shù)極值分為普通極值問題和條件極值問題。對(duì)于不同類型的極值問題，應(yīng)該有針對(duì)性的采取對(duì)策，掌握有效的解題方法，為研究活動(dòng)順利開展創(chuàng)造條件。普通極值問題常稱為無條件極值問題，但不管怎樣，有條件和無條件極值問題，都是相輔相成的，對(duì)研究活動(dòng)開展具有積極作用。一般來說，在研究過程中，解決好無條件極值問題，有助于解決條件極值問題，同時(shí)，解決好條件極值問題，對(duì)解決無條件極值問題具有促進(jìn)作用。因而在研究過程中，必須清楚明了二者的聯(lián)系與區(qū)別，然后采取有效的研究方法，對(duì)二者進(jìn)行更為深入合理的研究。同時(shí)在研究過程中，大部分函數(shù)是隱性給出的，應(yīng)該結(jié)合多元函數(shù)的具體內(nèi)容，掌握所給出的條件，深刻領(lǐng)悟其中的隱性條件，然后應(yīng)用極值判別準(zhǔn)則，對(duì)極值問題進(jìn)行有效研究和判斷。進(jìn)而深化對(duì)極值問題的認(rèn)識(shí)，為更好開展研究工作提供便利。

三、多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則的實(shí)例

為深化對(duì)多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則的認(rèn)識(shí)，提高研究工作者的思想認(rèn)識(shí)，讓研究人員有效掌握判別準(zhǔn)則，為科研活動(dòng)順利開展提供便利，下面將結(jié)合實(shí)例對(duì)多元函數(shù)極值的判別準(zhǔn)則進(jìn)行探討分析。

（一）

定理1

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且P0是穩(wěn)定點(diǎn)，又

則當(dāng)

時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不取極值。

證明：

由給出的條件及Taylor展開公式，就有：

然后分三種情況討論，當(dāng)

時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)均不取極值

同理，當(dāng)

時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)均不取極值

綜上所述，當(dāng)

時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不取極值，定理證明完畢。

實(shí)例1

討論：

f(x,y)=2x3-3xy3+5y3在點(diǎn)（0,0)是否取極值？

解：

通過計(jì)算分析得知，f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)都為0，由此可以得知，判別極值的充分條件失效。但是，

二元函數(shù)f(x,y)=2x3-3xy2+5y3在點(diǎn)（0,0)不取極值。

（二）

定理2

設(shè)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有四階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且P0是駐點(diǎn)。又對(duì)任意的h,k使得

則有，當(dāng)

當(dāng)det[S(P0)]小于0時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不能取得極值

當(dāng)det[S(P0)]等于0時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)是否取得極值

證明：

由給出的條件及Taylor公式得知：

當(dāng)det[S(P0)]小于0時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不能取得極值

當(dāng)det[S(P0)]等于0時(shí)，不能肯定f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)是否取得極值。證明完畢。

實(shí)例2

討論函數(shù)

在（0,0）是否取極值？

解：

計(jì)算得知，f(x,y)在（0,0）點(diǎn)的一至三階偏導(dǎo)數(shù)全為0，由定理2得知，

四、多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則應(yīng)用需要注意的問題

在研究和實(shí)踐應(yīng)用中，多元函數(shù)的極值問題具有重要作用。在這樣的背景下，加強(qiáng)研究工作，掌握多元函數(shù)的極值判斷準(zhǔn)則是不可忽視的。本文介紹了多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則的意義，結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行研究和分析，有助于深化對(duì)極值判別準(zhǔn)則的認(rèn)識(shí)，加深研究者的印象。但需要注意的是，多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則研究是比較難的內(nèi)容，應(yīng)該做好審題工作，把握題目給出的隱性條件，對(duì)題目中給出的條件有深刻和全面的認(rèn)識(shí)。另外還要善于應(yīng)用創(chuàng)造性思維，敢于突破和創(chuàng)新，對(duì)多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則有更為全面的認(rèn)識(shí)，為研究工作順利開展創(chuàng)造便利。

五、結(jié)束語

總之，在多元函數(shù)極值判別中，應(yīng)該認(rèn)識(shí)其重要作用，掌握應(yīng)用準(zhǔn)則。同時(shí)還要善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮創(chuàng)造性思維，激發(fā)研究人員的興趣和熱情。作為研究人員，應(yīng)該重視判別準(zhǔn)則的引導(dǎo)和應(yīng)用，合理將定理應(yīng)用到研究活動(dòng)當(dāng)中，并對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深入分析，并解答研究中遇到的疑惑。從而讓研究人員更好融入研究活動(dòng)，有效掌握多元函數(shù)極值判別準(zhǔn)則，為研究活動(dòng)順利進(jìn)行和研究人員的工作效率提升創(chuàng)造條件。

[1]馮守平.關(guān)于二元函數(shù)極值判別法的改進(jìn)[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2014(6),11-15

[2]趙坤.多元函數(shù)極值新的判定方法[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015(11),27-30

[3]王敏芝.關(guān)于多元函數(shù)的極值的判別準(zhǔn)則[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007(5),592-596

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè).下冊(cè)[M](第4版),北京:高等教育出版社,2011