圖像的分形幾何維數(shù)和系數(shù)模擬

幾何學是研究物體組成結(jié)構(gòu)及形態(tài)關(guān)系的一門學科。歐幾里德幾何學的基本構(gòu)圖元素是點、線、面，幾何物體由點、線、面的組合而成，幾何物體元素間的數(shù)量關(guān)系可通過解析幾何進行公式化表述。但如果我們仔細審視我們生活的這個星球，甚至將目光放得再遠一些直至整個宇宙，我們不難發(fā)現(xiàn)歐幾里德幾何學表述能力存在許多不足，對于在自然界中廣泛存在的山脈、河流、宇宙星系等客觀物體，由于它們的具有復雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，歐幾里德幾何學在描述這些不規(guī)則形狀物體及其內(nèi)部細節(jié)方面存在很多不足。另外，隨著幾何學研究的不斷發(fā)展，人們研究了康托集合、柯可曲線、斯爾賓斯基三角形等幾何形狀，發(fā)現(xiàn)歐幾里得幾何遇到了前所未有的挑戰(zhàn)，歐幾里得幾何因無法準確描述這些幾何結(jié)構(gòu)而只能給它們標上“病態(tài)”標簽從而排除在研究范圍之外。1975，Mandebrot質(zhì)疑歐幾里得幾何學的維數(shù)概念，他針對英國的海岸線問題進行了深入研究，他發(fā)現(xiàn)：測量得到的海岸線長度依賴尺子的尺度，歐幾里德幾何的長度概念在處理海岸線問題時遇到了困難，為了克服理論上的困難， Mandebrot提出用自相似維數(shù)概念，并用“Fractal”（分形）一詞來描述海岸線等不規(guī)則幾何形狀，經(jīng)過不斷的深入研究，分形幾何理論逐漸形成了獨立的學科體系，體系內(nèi)容不斷得到豐富和完善，。

分形實例

康托集合

設實數(shù)區(qū)間[0，1] 為E0，令同樣方法去掉E1兩個子集中間三的三分之一部分，如此循環(huán)往復，逐步得到Ek，Ek是由2k個長度各為3k的區(qū)間組成，令F＝則稱F為三分Cantor集。如圖1所示。

圖1 康托集合

圖2 柯克曲線

柯克曲線

設E0是長度為1的線段，按照和三分康托集一樣的方法去掉中間三分之一，在空白處用等邊三角形的另兩邊補充得到E1，按照同樣的規(guī)則對E1進行操作，設k為操作次數(shù)，當

k→∞時得到的極限曲線F，F(xiàn)稱為柯克曲線，如圖2所示。

圖3 斯爾賓斯基三角形

斯爾賓斯基三角形

任意三角形，取三邊的中點，并將中點連接起來，將中點圍成的三角形挖掉，得到三個的三角形，采用同樣的方式挖掉三個三角形的中心部分，得到九個三角形，以此類推下去，就會得到如圖3所示的圖形，該圖形成為斯爾賓斯基三角形。

從傳統(tǒng)歐幾里德幾何角度分析，康托集合和柯克曲線的長度為零，斯爾賓斯基三角形的面積也為零，這些圖形顯然與歐幾里德幾何的結(jié)論矛盾，因為一維物體長度不可能為零，二維結(jié)構(gòu)的面積也不肯能為零，因此按照歐幾里德幾何的邏輯上述圖形都是“病態(tài)”的。仔細分析康托集合、柯克曲線、斯爾賓斯基三角形不難發(fā)現(xiàn)，它們的共同特征是具有精細結(jié)構(gòu)，即由任意小的細節(jié)構(gòu)成；整體與局部具有自相似性。

自相似性和自相似維數(shù)

如果物體的整體縮小后能夠與局部重合，我們稱這樣的物體為分形物體，物體的這種特征稱之為自相似，定義自相似維數(shù)為：

上式中D稱為自相似維數(shù)，N為物體的細節(jié)個數(shù)，r為相似比。利用上式進行計算，得到康托集合的自相似維數(shù)是，柯克曲線的自相似維數(shù)是，斯爾賓斯基三角形的自相似維數(shù)是，很明顯，物體的自相似維數(shù)一定是整數(shù)。

康托集合、柯克曲線和斯爾賓斯基三角形在歐幾里德幾何理論框架內(nèi)都屬于病態(tài)圖形，但在分形幾何理論體系內(nèi)，它們具備了豐富的數(shù)學內(nèi)涵，即具有嚴格的自相似特征，并且它們的自相似維數(shù)都是小數(shù)。另外需要指出的是自相似維數(shù)和傳統(tǒng)的歐幾里德幾何維數(shù)是相容的，即傳統(tǒng)幾何物體的自相似維數(shù)和歐幾里德維數(shù)相等。因此自相似維數(shù)的引入豐富了傳統(tǒng)維數(shù)概念的內(nèi)涵。

圖4 斯爾賓斯基三角形計算結(jié)果

圖5 橛子樹模擬結(jié)果

分形圖像的構(gòu)造算法

表1 斯爾賓斯基三角形的變換系數(shù)表

康托集合、柯可曲線也可通過相同的方法計算得到。不僅幾何結(jié)構(gòu)可以采用上述算法計算得到，自然物體同樣也可以用相同的算法進行模擬，表2是橛子樹的構(gòu)造算法系數(shù)表，圖5為計算模擬結(jié)果。

表2 橛子樹的變換系數(shù)表

計算結(jié)果表明：具備自相似特征的分形物體可以采用幾個仿射變換的方法進行構(gòu)造，該構(gòu)造的核心問題是選取合適的仿射變換系數(shù)。自然物體雖不具備嚴格的自相似特征，但它們普遍具有統(tǒng)計自相似性或局部自相似性，仍然可以通過仿射變換進行構(gòu)造。因為變換系數(shù)的數(shù)據(jù)量遠小于實際圖像的數(shù)據(jù)量，從而可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮的目的。有些情況下我們需要實現(xiàn)圖像目標的自動識別，而變換系數(shù)描述了圖像細節(jié)，因此可以通過對比變換系數(shù)的方法實現(xiàn)計算機目標自動識別。

10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.20.025