☉天津市第四中學(xué)　孟黎輝

高中數(shù)學(xué)“問題教學(xué)”策略的研究

☉天津市第四中學(xué)孟黎輝

問題教學(xué)法，就是以問題為載體貫穿教學(xué)過程，使學(xué)生在問題的產(chǎn)生和解決過程中，產(chǎn)生自主學(xué)習(xí)的動機，進而逐漸養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，并在實踐中不斷優(yōu)化自主學(xué)習(xí)的方法，提高自主學(xué)習(xí)能力的一種教學(xué)方法.問題教學(xué)法充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，能有效地激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動性和積極性.

同時，問題教學(xué)法也是指教師在教學(xué)過程中以問題為中心，進行創(chuàng)造性教學(xué)的方法.知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，也就變成學(xué)生自主探究知識的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程，進而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和科學(xué)精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

在課堂教學(xué)過程中，我遵循著以下五個環(huán)節(jié)：尋找情景，制造懸念；設(shè)置矛盾，產(chǎn)生內(nèi)需；合作交流，百花齊放；設(shè)置階梯，優(yōu)選方法；總結(jié)規(guī)律，遷移升華.

一、尋找情境，制造懸念

心理學(xué)研究表明：思維是一種能動的過程，產(chǎn)生這種能動過程的有效環(huán)境就是問題情境.尋找與課程相關(guān)的背景，引入課題，將學(xué)生帶入電影般的情節(jié)中，制造懸念，引人入勝，是一節(jié)好課的良好開端.

比如，用下面的故事引入問題：在古希臘，希希里島的統(tǒng)治者，開鑿了一個巖洞作為監(jiān)獄.被關(guān)押在巖洞里的犯人，不堪忍受這非人的待遇，他們晚上偷偷聚集在巖洞靠里面的一個石頭桌旁，小聲議論越獄和暴動的方法.可是，他們商量好的計劃很快就被看守員知道了，看守官員提前采取了措施，使犯人商量好的計劃無法實行.犯人們開始互相猜疑，認(rèn)為犯人中間一定出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者.他們最終也沒搞清楚，這個巖洞可不是隨意開鑿的，而是請了一位叫刁尼秀斯的官員專門設(shè)計的，他設(shè)計的巖洞監(jiān)獄故意采用了橢圓形的結(jié)構(gòu).

大家想一想：秘密的泄露難道真與這個橢圓形的結(jié)構(gòu)有關(guān)？

同學(xué)們一個個睜大了眼睛，好奇地等著我的解答.我接著講，原來，謎底是這樣的：石頭桌子恰好在橢圓的一個焦點上，看守人員在另一個焦點上.這樣，犯人在石桌旁小聲議論的聲音，通過反射可清楚地傳到洞口看守人的耳朵里，后來人們就把這種橢圓形的結(jié)構(gòu)叫做“刁尼秀斯之耳”.

在這種氛圍下，我再提出問題：為什么從一個焦點發(fā)出的光或聲音，經(jīng)橢圓反射，可以全部聚集到另一個焦點上？（如圖1）

接下來，學(xué)生們迫不及待地投入討論，數(shù)學(xué)建模（建立坐標(biāo)系，設(shè)點，明確研究方向……），一切似乎順其自然，又引人入勝.

圖1

二、設(shè)置矛盾，產(chǎn)生內(nèi)需

在電影院，我們常常會跟隨電影情節(jié)的跌宕起伏，深陷其中，導(dǎo)演設(shè)計的矛盾似乎無法解決，讓人感覺懸念叢生、提心吊膽，突然，峰回路轉(zhuǎn)，所有問題一一破解，一顆懸在半空的心終于放下.導(dǎo)演獲得了贊譽和票房，觀眾得到了人生的啟迪.在課堂上，教師也同樣可以設(shè)置矛盾，讓學(xué)生對問題產(chǎn)生強烈的求知欲，增強教學(xué)的藝術(shù)性，引導(dǎo)學(xué)生不知不覺中踏入科研道路.

比如，在一節(jié)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課中，有同學(xué)在課上突然提問：“函數(shù)y=ax與y=logax的圖像在a>1時是否有交點？”我把這個問題讓學(xué)生課上討論.有同學(xué)立即提出，上述兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖像是否相交，可以先考慮它們的圖像與函數(shù)y=x圖像的關(guān)系.我又問：“那么它們能否與函數(shù)y=x圖像相交呢？”有同學(xué)說：“憑直覺，好像交不上.”我啟發(fā)道：“研究學(xué)問不能僅憑直覺，要有依據(jù).”經(jīng)過仔細(xì)思考和熱烈討論，有位同學(xué)終于回答：“能，因為函數(shù)y=log1.1x的圖像過點（1，0）和（1.21，2），點（1，0）在y=x的圖像下方，而點（1.21，2）在y=x的圖像上方.因而函數(shù)y=log1.1x與y=x的圖像有交點.”回答得非常好！我又問：“那么，有沒有交點由什么決定的呢？”同學(xué)們一起答道：“由a的大小決定.”接著我用計算機演示y= ax與y=logax（a>0且a≠1）的圖像，讓同學(xué)輸入不同的a值，出現(xiàn)了三種情況（如圖2，3，4所示）.

圖2

圖3

圖4

現(xiàn)在的教學(xué)媒體為問題教學(xué)法提供了前所未有的便利，教師如能很好地運用，勢必會給教學(xué)增色不少.教師合理地利用課堂提問，帶給學(xué)生懸念，激發(fā)學(xué)生的探索精神，是問題教學(xué)的必不可少的環(huán)節(jié).

三、合作交流，百花齊放

問題教學(xué)中，問題的設(shè)計、提出非常重要，但是教師引導(dǎo)學(xué)生共同思考、合作交流、解決問題，才是教學(xué)的重心.

在講等比數(shù)列前n項和公式時，教師可通過國際象棋的故事引出求和問題.

師：等比數(shù)列的特點是：第n項an乘以公比q，就可以變成第n+1項，是否可以利用這個性質(zhì)求出S64？

生甲：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

兩邊同乘以公比2，2S64=2+4+8+16+…+263+264.②

②-①，S64=264-1.

師：非常好！還有別的方法嗎？

生乙：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

生丙：S64=1+2+4+8+…+262+263

?S64=1+2（1+2+4…+261+262）

?S64=1+2（S64-263）?S64=264-1.

生?。篠64=1+2+4+8+…+262+263，

等式兩邊同加1：1+S64=（1+1）+2+4+…+263

=（2+2）+4+…+263=（4+4）…+263=264，

∴S64=264-1.

我只準(zhǔn)備了等式兩邊同乘以2的方法，同學(xué)們又想出了兩邊同乘以、加1、甚至右邊變形的方法，使我應(yīng)接不暇.

師啟發(fā)：太好了！那么上述方法哪些可以用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an？

生：第1、2、3種方法可以推廣，但是方法4不適用于一般情況.

師：很好！下面我們一起推導(dǎo).

方法一：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，①

乘以公比q，qSn=a2+a3+…+an-1+an+qan.②

①-②，（1-q）Sn=a1-qan，

當(dāng)q=1時，Sn=na1.

方法三：Sn=a1+（a2+a3+…+an-1+an）

?Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1）

?Sn=a1+q（Sn-an）?Sn=

當(dāng)q=1時，Sn=na1.

當(dāng)q=1時，Sn=na1.

師（總結(jié)）：今天大家的表現(xiàn)非常出色，找出了很多書本上沒有的方法，但一定要記住第一種方法非常重要，這種方法叫做“錯位相減法”.

這一節(jié)課表面看上去很散，但是從頭到尾，所有的方法都是圍繞著等比數(shù)列的特點進行，學(xué)生思維活躍，想法五花八門，無疑像一場數(shù)學(xué)思想的盛會，在鞏固數(shù)列知識的同時，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力.

四、設(shè)置階梯，優(yōu)選方法

問題教學(xué)中，有時提出的問題較深，同學(xué)不能一步到位，這時，教師可以先設(shè)置幾個臺階，將難題分解，讓學(xué)生一步步思考、提升，不知不覺中將問題解決.

比如，在《求軌跡方程》一課中，我設(shè)計了以下幾個遞進問題，讓學(xué)生一點點體會問題的實質(zhì)，將知識結(jié)構(gòu)一步步優(yōu)化.

習(xí)題1動點P到定點（-2，0）的距離與到定點（2，0）距離之差的絕對值為2，則P點的軌跡方程是_________.（讓學(xué)生掌握定義法求軌跡）

設(shè)計問題：此題把“絕對值”三字去掉，結(jié)果會怎樣？（雙曲線的一支）

變式問題：將“距離之差的絕對值為2”改為“距離之差的絕對值為4”，結(jié)果會怎樣？（兩條射線）

習(xí)題2動點P到定點A（-1，0），B（1，0）的距離之比為，則P點的軌跡方程是_________．（鼓勵學(xué)生用直接法尋求答案）

變式問題：動點P到定點A（-1，0），B（1，0）的距離之比為1，則P點的軌跡方程是_________．

反思問題：此題運用的是什么方法？需要哪些步驟？（直接法：①建系、設(shè)點；②寫出條件；③坐標(biāo)代入并化簡；④檢驗）

習(xí)題3函數(shù)y=x2-2mx+m（m∈R）的圖像的頂點軌跡方程是________．（消參法）

反思問題：此題運用的是什么方法？需要哪些步驟？（消參法：變量x、y之間的直接關(guān)系難尋求，可適當(dāng)選擇參數(shù)，由此表示參數(shù)方程，然后消去參數(shù)為普通方程）

（A）直線（B）拋物線（C）雙曲線（D）橢圓

這三個變式將課堂的討論推向高潮，同學(xué)們討論得非常投入，有些同學(xué)甚至爭論了起來.

在此設(shè)計這道題目的不僅是加強學(xué)生對定義法的理解運用，更是要培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，和合作交流的習(xí)慣、溝通能力.

五、總結(jié)規(guī)律，遷移升華

這是問題教學(xué)的最后一個環(huán)節(jié)，但也是畫龍點睛之處，這個環(huán)節(jié)對學(xué)生能力提出更大的挑戰(zhàn)，也是使學(xué)生受益最大的環(huán)節(jié).

在講授雙曲線一節(jié)課后，為了讓學(xué)生更牢固地掌握雙曲線的定義和性質(zhì)，我大膽地設(shè)計了一個冒險的問題：函數(shù)y=的圖像是不是雙曲線？這個問題的提出，

建立在我對學(xué)生有相當(dāng)強的創(chuàng)造力和計算力的自信心的基礎(chǔ)上，但是，對這節(jié)課的效果，我始終帶著擔(dān)心而又期盼的復(fù)雜心情.

生：初中老師就稱反比例函數(shù)圖像為雙曲線，當(dāng)然是了.

師：那它一定也符合雙曲線的定義，即平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．

能不能給予科學(xué)的證明？

學(xué)生們陷入了沉默……

圖5

我發(fā)現(xiàn)，并沒有幾位同學(xué)開始動筆操作，這就是說，學(xué)生們無從下筆，我只有將問題進一步具體化.

師：要想證明這個問題，就先要將雙曲線定義中的元素一一找出來.

生：那就是要先確定哪兩個點是焦點，以及a，b，c的值.

師：非常好！

學(xué)生們開始動筆，一部分同學(xué)開始建立坐標(biāo)系（如圖5）.一會，有學(xué)生取得了突破，我請他與大家交流.

一會功夫，以計算能力出眾著稱的某位同學(xué)便在黑板上留下了精彩答案：

所以||PF1|-|PF2||=2

同學(xué)們帶著成功的喜悅，見證了一個“奇跡”，驗證了一個普通的常識，在雙曲線知識得以升華的同時，更收獲了探索真理的循序漸進的方法.

問題教學(xué)，就是一切以“問題”為載體，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生參與知識的構(gòu)建過程，體驗知識的生成過程，體驗學(xué)習(xí)過程的苦與樂.教師只有在教學(xué)中不斷搜集素材，尋找好的抓手——問題，不斷提高自己駕馭問題的能力，才能使問題教學(xué)不斷深入課堂，走進學(xué)生的思維體系，發(fā)揮出意想不到的效果.