☉浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(xué)　趙　輝

對解題思路自然性的思考——以2015年廣東高考數(shù)列題為引例

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(xué)趙輝

對于某些數(shù)學(xué)問題的解答，部分教師在講解時，只是直接給出解題過程，并沒有對思路的產(chǎn)生進行分析，造成的結(jié)果是學(xué)生只知其然不知所以然，再遇到相似問題時仍無從入手，甚至有些高考試題的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，我們看后都有莫名其妙之感.下面以2015年廣東高考數(shù)列解答題為引例，就其解題思路的產(chǎn)生提幾點建議，供大家們復(fù)習(xí)參考.

例1（2015年廣東卷）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+

（Ⅰ）求的通項公式；（改編）

（Ⅱ）求數(shù)列前項和；

高考對數(shù)列問題的考查常以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，考查內(nèi)容主要涉及求數(shù)列通項公式、求前n項和以及數(shù)列不等式的證明.此類問題題型多樣、方法靈活多變，能有效考查考生歸納推理、邏輯思維等能力，因此備受命題人的關(guān)注.

一、把握問題的通性通法，直接尋找解題思路

求數(shù)列通項公式是高考?？碱}型之一，針對題目給出的條件不同，求解的方法也有所不同.若條件中給出數(shù)列的前n項和，如Sn=f（n）或Sn=f（an）等，則利用an=Sn-Sn-1（n≥2）求解.本題所給條件“a1+2a2+3a3+…+nan=4雖然不同于上述兩種類型，但其仍為若干項和的形式，因此亦可利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”進行求解.

解析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，設(shè)Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-則

Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故

評析：除此之外求通項公式問題還包括給出遞推關(guān)系型，主要解題思路是構(gòu)造法，即將其構(gòu)造為特殊數(shù)列——等差或等比數(shù)列進行求解.

對于數(shù)列求和問題，針對所給的不同類型，主要有如下幾種方法：

（1）公式法：運用一些常見的公式（如等差、等比數(shù)列求和公式，正整數(shù)平方、立方求和公式）求數(shù)列前n項和.本題數(shù)列{an}為等比數(shù)列，故可以直接利用等比數(shù)列求和公式求和.

（2）分組求和法：對一個既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，如果能將這個數(shù)列進行適當(dāng)拆分，使得可分成幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和再將其合并，可采用分組求和法.

那么比如說，有的時候看了一些具有社會學(xué)、民俗學(xué)價值的小說以后是有些體會的。最近因為搞鴛鴦蝴蝶派，我就看了張恨水的《春明外史》，這本書100萬字，看完之后我當(dāng)然對張恨水也有一個具體的了解，而且得到很大的收獲。如果現(xiàn)在讓我講魯迅《社戲》的前半篇，那么這個一百萬字就給我起了一種民俗學(xué)的參考作用，因為它講北京的戲院講得太詳細了，寫各種各樣背景的劇院，而這種劇場以前在我的腦子里是非?？辗旱?。你如果去讀茅盾的《幻滅》《動搖》《追求》，你讀《動搖》的時候?qū)Υ蟾锩@一段時期的生活就會比較具體化，不讀的話就是很抽象的在講大革命。

（3）裂項相消法：如果一個數(shù)列的每項都能拆成兩項之差，使得在求和過程中除首末兩項或附近幾項外，其余各項都先后抵消，可采用裂項相消法.

（4）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，可采用錯位相減法，即對形如{anbn}的數(shù)列，其中{an}是等差數(shù)列，而{bn}是等比數(shù)列（其中公比不為1），則可在求和等式兩邊同乘數(shù)列{bn}的公比或公比的倒數(shù)，然后兩等式錯位相減求解.

（5）倒序相加法：如果數(shù)列的首末兩項的和與首末兩項等距離的兩項的和相等，可采用倒序相加法求數(shù)列前n項和.（等差數(shù)列求和公式可用此法推導(dǎo)）

二、由結(jié)論探條件，理順?biāo)悸穪睚埲ッ}

對于第（Ⅲ）問，命題組提供的答案如下：

因上式不等號左邊含有（n-1）項，故考慮將lnn分裂為n-1項之和，而lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+… +ln2-ln1=ln因此將問題轉(zhuǎn)化為證明進而找到構(gòu)造函數(shù)的依據(jù).

三、把握問題的根源，由淺入深滲透解題

對于創(chuàng)新型數(shù)列問題，“新”主要新在形式，其本質(zhì)仍然是考查數(shù)列基礎(chǔ)知識，解題中只要挖掘出新背景下問題的根源，解題即可由淺入深.

例2已知數(shù)列A：a1，a2，…an（n>2），令TA={x|x=ai+aj，1≤i

①若A：2，4，8，16，則card（TA）=_________；

②若ai+1-ai=c（c為常數(shù)，1≤i≤n-1），則card（TA）= _________.

解析：①根據(jù)題目條件得a1+a2=6，a1+a3=10，a1+a4= 18，a2+a3=12，a2+a4=20，a3+a4=24，故card（TA）=6.

②由條件“ai+1-ai=c”知，數(shù)列A為等差數(shù)列.

對于a1，a1+a2，a1+a3，a1+a4，…，a1+an共有n-1個不同的結(jié)果.

對于a2，a2+a3=a1+a4，a2+a4=a1+a5，…，a2+an-1=a1+an，a2+ an，故只有1個不同結(jié)果，即a2+an.

同理還有a3+an，a4+an，…，an-1+an，共n-3個不同的結(jié)果.

因此card（TA）=2n-3.

評析：解題到此，看似已經(jīng)完成，其實不然，我們忽略了最特殊的情況，即c=0時，{an}為常數(shù)數(shù)列，此時為1.因此正確答案應(yīng)為進而問題完整解答.

四、把握不同知識間的關(guān)聯(lián)，化生為熟解題

由于高考試題承載量的限制，有限的試題不可能涵蓋更多的知識點，因此在知識的交匯處命題是命題人的首選.對于此類問題的解答，只要充分把握不同知識點之間的關(guān)系，即可化生為熟解題.

例3已知向量序列：a1，a2，a3，…，an，…滿足如下條件：|a1|=4|d|=2，2a1·d=-1且an-an-1=d（n=2，3，4，…）.若a1· ak=0，則k=________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________項最小.

本題以數(shù)列為背景，考查等差數(shù)列與平面向量的有關(guān)問題，解題中只要準(zhǔn)確把握數(shù)列與平面向量的相關(guān)知識點，便可順利求解.

評析：解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握等差數(shù)列的通項公式、平面向量的運算法則及向量模的幾何意義.通過對|an|進行平方處理，進而構(gòu)造出|an|關(guān)于n的二次函數(shù)，使問題得解.

綜上所述，高考對數(shù)列問題的考查常考常新，在問題解答過程中只要我們充分把握數(shù)列問題的本質(zhì)，多分析、多思考，即可找到自然的解題思路.