☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)　施建樹(shù)

小題細(xì)做——有感于一次復(fù)習(xí)課教學(xué)觀摩

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)施建樹(shù)

高三復(fù)習(xí)教學(xué)是知識(shí)點(diǎn)的濃縮式教學(xué)，這需要教學(xué)中對(duì)于重要知識(shí)問(wèn)題進(jìn)行整合、有效的設(shè)計(jì)，而不能僅僅就題論題．近期觀摩了本地區(qū)某校W老師關(guān)于向量小題知識(shí)的復(fù)習(xí)課，令筆者對(duì)于復(fù)習(xí)課教學(xué)的設(shè)計(jì)感慨較多，W老師從高等數(shù)學(xué)中體現(xiàn)向量數(shù)量積與其和差之間的關(guān)系式（即極化恒等式）出發(fā)，設(shè)計(jì)了近年來(lái)考查較為熱門(mén)的一系列類似問(wèn)題，整堂課的設(shè)計(jì)僅僅圍繞題根a· b=［（a+b）2-（a-b）2］出發(fā)，讓筆者也深深認(rèn)識(shí)到了如何將小題進(jìn)行了一番大作．

一、綜述

1.從內(nèi)容而言：W老師在教學(xué)內(nèi)容的選取上花了不少心思，以向量小題為例，通過(guò)極化恒等式這種比較新穎的手段來(lái)解決向量中難度較大的數(shù)量積綜合問(wèn)題，不僅給很多學(xué)生甚至老師一種視覺(jué)上的享受，更能有效地幫助學(xué)生解決向量中的疑難問(wèn)題，而且題目的設(shè)置也恰到好處，“樹(shù)高千丈，葉落歸根”不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的博大精深，更宣揚(yáng)了一種推本溯源的思想，與此次“根本教學(xué)法”的宗旨不謀而合．總之，這堂課的開(kāi)場(chǎng)就讓筆者出乎意料．筆者對(duì)可以通過(guò)極化恒等式來(lái)幫助學(xué)生“秒殺”靈活多變的高考向量題也并不熟悉，因此本課也讓筆者受益匪淺．

2.從目標(biāo)而言：W老師對(duì)這堂課要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)很明確，清楚學(xué)生應(yīng)該理解什么，掌握什么，學(xué)會(huì)什么，她真正成為了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、指導(dǎo)者和合作者，而學(xué)生真正是一個(gè)個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者，有效地發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用．W老師希望學(xué)生能借助極化恒等式來(lái)解決向量與三角、立體幾何等的綜合問(wèn)題，在教學(xué)中更是滲透著數(shù)形結(jié)合這種很重要的思想方法．所以，整堂課始終貫穿著用“極化恒等式”解決向量數(shù)量積問(wèn)題這條主線，在例題的選取和安排上也是精心布置的．

二、過(guò)程

W老師以課本為起點(diǎn)，通過(guò)課本題目的練習(xí)，讓學(xué)生自己來(lái)探索a·b與a+b，a-b之間的關(guān)系，進(jìn)而得到極化恒等式：a·b=（a+b）2-（a-b）2］，引入自然貼切，學(xué)生易于掌握.W老師為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生主動(dòng)去建構(gòu)知識(shí)，而不是被動(dòng)地吸收老師給出的現(xiàn)成結(jié)論，這是一個(gè)很好的實(shí)踐和創(chuàng)新的機(jī)會(huì)．

在“尋根問(wèn)底”這個(gè)環(huán)節(jié)中，W老師對(duì)極化恒等式作了進(jìn)一步的說(shuō)明，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，給出了極化恒等式的另一種形式通過(guò)這種形式可以發(fā)現(xiàn)，這是一種數(shù)形結(jié)合的思想，是在圖形的基礎(chǔ)上闡釋極化恒等式的意義，即兩個(gè)向量的積可以用來(lái)表示以這兩個(gè)向量組成的平行四邊形的“和（差）對(duì)角線”的平方差的這樣可以使學(xué)生更好地理解并應(yīng)用極化恒等式，為后面的高效教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

在“根繁葉茂”環(huán)節(jié)中，W老師通過(guò)三個(gè)例題很好地詮釋了極化恒等式這一工具，而且例題的選擇是很有針對(duì)性和代表性的，立意新穎，難度較大，通過(guò)該等式的巧妙解決，讓學(xué)生真真實(shí)實(shí)地感受到極化恒等式“秒殺”向量題的實(shí)效性，凸顯它的魅力，激起學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情．

但筆者認(rèn)為覺(jué)得在例題的編排順序以及析題的過(guò)程上可以作一些改進(jìn)或者調(diào)整．例題的編排最好能按時(shí)間的先后順序以及試題的難度來(lái)安排，所以筆者建議將例2和例3的順序予以對(duì)調(diào)．另外，W老師在例題1的講解中，用到了“極化恒等式法”、“建系法”、“向量運(yùn)算法”三種方法，分析比較全面和細(xì)致，但是筆者覺(jué)得在時(shí)間上分配得有點(diǎn)多，其實(shí)這個(gè)題目的難度不大，很多同學(xué)都能自己完成，所以筆者覺(jué)得在以“極化恒等式法”為主線的基礎(chǔ)上，另外兩種方法給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)播就可以了．而在例2和例3的講解中，解法單一，造成了“華山一條道”的局面，特別是例3，此題作為填空題的壓軸題，難度很大，得分率相當(dāng)?shù)?，而學(xué)生對(duì)于“極化恒等式法”畢竟比較陌生，在后來(lái)的求解的最值的時(shí)候，很多同學(xué)一臉茫然，顯然并不能很好地理解和掌握該解法．而且W老師似乎沒(méi)有給學(xué)生機(jī)會(huì)來(lái)展示或交流對(duì)這兩個(gè)例題的想法或解法，其實(shí)觀察下來(lái)，還是有不少同學(xué)在嘗試用建系、運(yùn)算等方法在解，而老師沒(méi)有及時(shí)地關(guān)注和鼓勵(lì)學(xué)生的想法，這會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和積極性．所以，老師應(yīng)該指引和鼓勵(lì)學(xué)生嘗試多角度地解決此題，真正地打開(kāi)學(xué)生的思維，寧可少講一題，也要講透一題，只有這樣才能做到會(huì)一題通一類．因此W老師對(duì)例2作了深入的研究，體現(xiàn)了小題細(xì)做：

例2已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|= 5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_(kāi)________．

圖1

圖2

方法2（建系法）：如圖2，由已知條件可知，AC⊥BC，AO⊥BO，AOBC四點(diǎn)共圓，且AC=3，AB=5，BC=4，故可建系如圖2所示，則C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB為圓直徑，所以圓心坐標(biāo)為則該圓的方程為：

因此，可得a·c∈［-2，18］．

方法3（幾何運(yùn)算法）：如圖3所示，不妨設(shè)∠AOC=θ，則∠ABC=θ，故cosθ= cos∠ABC=（在Rt△ABC中）.又因?yàn)閨

a-c|=3，即得a2+c2-2a·c=9，從而有a2+

圖3

說(shuō)明：處理向量的數(shù)量積問(wèn)題一般有三個(gè)角度可以考慮，一是利用“極化恒等式”工具，二是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)為代數(shù)運(yùn)算，三是利用向量的線性運(yùn)算，實(shí)施向量的轉(zhuǎn)化．方法1具有一定的巧妙性，往往可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，為考試贏得更多的時(shí)間；方法2實(shí)用性較強(qiáng)，通過(guò)建系，能把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)為一種代數(shù)的運(yùn)算，該法的關(guān)鍵是如何建系，一般要應(yīng)遵循簡(jiǎn)潔的原則，所需點(diǎn)的坐標(biāo)易求、快捷為上．而方法3則要求學(xué)生必須熟練地掌握向量的線性運(yùn)算，還要善于捕捉向量背后的幾何背景，找出幾何圖形的特點(diǎn)，然后借助平面幾何性質(zhì)以及向量運(yùn)算的幾何意義解決問(wèn)題．

通過(guò)W老師這一節(jié)課，可以發(fā)現(xiàn)“極化恒等式”對(duì)于向量數(shù)量積問(wèn)題的解決有很大的幫助，可以達(dá)到省時(shí)省力的雙贏局面.與此同時(shí)也需要認(rèn)識(shí)到，用極化恒等式來(lái)高效迅速地解決與向量相關(guān)的習(xí)題，并不只是追求一種簡(jiǎn)單的解題技巧，不只是為了純粹地提高應(yīng)試的水平，而是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，理解問(wèn)題并揭示問(wèn)題的本質(zhì)，并迅速地判斷出問(wèn)題可能的結(jié)果.因此，我們絕對(duì)不能把它當(dāng)成唯一的依靠，在掌握它的同時(shí)，更要嘗試其他的方法，多方位地打開(kāi)試題，只有這樣，智慧之花才能開(kāi)得更加燦爛．

三、思考

聽(tīng)了W老師的課讓筆者受益良多，筆者也頗有些感悟：

1.所有試題均源于課本，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)特別是在高三復(fù)習(xí)時(shí)一定要回歸課本．老師一定要指導(dǎo)學(xué)生用好書(shū)本，夯實(shí)基礎(chǔ)，才能幫助學(xué)生構(gòu)建一張牢固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．當(dāng)然，這里需要認(rèn)識(shí)回歸課本的含義，什么是回歸課本，回歸課本并不是簡(jiǎn)單地重現(xiàn)教材中的知識(shí)，而是在此基礎(chǔ)上形成認(rèn)識(shí)上的飛躍,要充分發(fā)揮課本中例、習(xí)題的功能，并對(duì)這些例題進(jìn)行探究性復(fù)習(xí)．只有這樣學(xué)生掌握的知識(shí)才能得以螺旋式上升．

2.作為教師要具有語(yǔ)言魅力，語(yǔ)言必須要做到嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)練，并且要具有親和力，對(duì)學(xué)生要多表?yè)P(yáng)多鼓勵(lì)，拉近與學(xué)生的距離．

3．要為學(xué)生創(chuàng)造自主探索的機(jī)會(huì)，使學(xué)生主動(dòng)地去構(gòu)建知識(shí)，而不是被動(dòng)地去吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論．就像這次學(xué)生探索“極化恒等式”一樣，只有親自實(shí)踐，才能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，感知知識(shí)的本來(lái)面目，讓學(xué)生在“再創(chuàng)造”中實(shí)現(xiàn)知識(shí)、情感、價(jià)值觀的充分發(fā)展．

4．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該要有精準(zhǔn)的點(diǎn)播，精準(zhǔn)的啟發(fā)，在此過(guò)程中教師在必要的時(shí)候放手讓學(xué)生討論，就可以抵達(dá)實(shí)效教學(xué)的境界．這里所強(qiáng)調(diào)的實(shí)效教學(xué)，就是指教師要對(duì)每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行認(rèn)真的設(shè)計(jì)并對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行認(rèn)真的組織，尤其需要重視的是，例題的選擇一定要高度重視代表性，只有具有了代表性，才具有了典型性，才能發(fā)揮以點(diǎn)帶面的作用．而在講授的時(shí)候，則需要重視橫向與縱向的聯(lián)系，以確保學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中思維能夠得到有效的培養(yǎng)，能夠有效地將碎片化的知識(shí)組織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而提高知識(shí)在學(xué)生大腦中的有效組織程度．

5．課堂教學(xué)不追求數(shù)量，堅(jiān)持質(zhì)量為上．在上課的時(shí)候經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)例題來(lái)不及講的情況，為了追求例題的數(shù)量，往往會(huì)把有些例題草草了之，這樣的講解只能停留在知識(shí)的表層，學(xué)生也不可能真正地掌握知識(shí)．所以，當(dāng)我們遇到一些典型問(wèn)題時(shí)一定要深入探究，全方位地進(jìn)行思考，努力做到會(huì)一題通一類．

1.鮑建生，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1）.

2.鄭毓信.變式理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006（1）.