沈岳夫（浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué)）

抓特征找規(guī)律解一題會(huì)一類
——對(duì)一道中考選擇題求解的前思后想

沈岳夫（浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué)）

中考試題往往具有代表性、典型性、示范性.可通過研究把蘊(yùn)涵于試題中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質(zhì)屬性.通過對(duì)2015年湖北省武漢市一道中考選擇壓軸題的研究，歸納出解決這類問題的思想與方法.通過對(duì)一類含有相同“定線張角”基本模型試題的研究，既能讓學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，又能達(dá)到“知一形，曉一類，通一片”的效果.

中考試題；定線張角；基本模型；方法應(yīng)用

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中提出了“教師十誡”，其中第八誡是要找出手邊題目中那些可能對(duì)后來題目有用的特征，即揭示出隱藏在當(dāng)前具體情形中的一般模型.因此，對(duì)試題的研究是教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常做的一件事，通過研究把蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法揭出來，挖掘出其隱含的問題的本質(zhì)屬性.這不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，而且有利于學(xué)生拓寬思路、活躍思維，較好地發(fā)揮中考試題的潛在功能.本文以2015年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷的最后一道選擇題為例，做一些探索，以期拋磚引玉.

一、考題呈現(xiàn)，方法提煉

題目（2015年湖北·武漢卷）如圖1，△ABC，△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC，EF的中點(diǎn)，直線AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是（ ）.

圖1

分析：由題意可知，雖然△EFG繞點(diǎn)D在旋轉(zhuǎn)，但是△ABC是固定不動(dòng)的，且∠AMC所對(duì)的邊始終是線段AC，由此可猜想∠AMC（動(dòng)角）在以線段AC（定線）為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，這樣可以構(gòu)造出輔助圓，便能取得簡(jiǎn)潔、明快的效果.

解：如圖2，連接AD，DG.

圖2

由題意知AD=DG，DC=DF，

則△DAG和△DCF都是等腰三角形.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ADG=∠CDF=α，

所以∠AMC=90°.

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡始終在以AC為直徑的圓上.

現(xiàn)以AC為直徑作圓，設(shè)圓心為O，連接BO，與⊙O相交于點(diǎn)P，

則線段BP的長(zhǎng)即為線段BM長(zhǎng)的最小值.

故此題選D.

【評(píng)析】此題要求“當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值”，只需證明∠AMC=90°，說明∠AMC的大小固定，且∠AMC分別經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)A，C，線段AC的長(zhǎng)度固定，即存在兩點(diǎn)（即定線）；但∠AMC的頂點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，即一動(dòng)（即張角）.因此，此題的條件中存在兩點(diǎn)一動(dòng).反思此題的解題過程，是根據(jù)定理“在同一圓中，同弦（同側(cè)）所對(duì)的圓周角相等”，可知該題中點(diǎn)M應(yīng)在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng).因此，將原問題轉(zhuǎn)化為研究直線與圓的交點(diǎn)問題.

方法提煉：解決這類問題，我們一般可采取“謀定而后動(dòng)”的策略，先找出動(dòng)角（張角）所對(duì)的邊是否為定線，如果是，那么我們就可以構(gòu)造出輔助圓，然后將問題引向極端，如特殊位置、特殊圖形等，使圖形更直觀、條件更集中，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題，提高解題速度.那么，對(duì)具有兩定一動(dòng)，即一個(gè)角的大小固定，且該角的兩邊分別經(jīng)過一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的試題，是否都可以通過構(gòu)造輔助圓來解決，也就是說這種“兩點(diǎn)一動(dòng)圓相助”的方法是否具有通適性？

二、應(yīng)用方法，解決問題

綜觀近幾年的各地中考試題，筆者發(fā)現(xiàn)一些中考試卷中還真的有不少題目可以用“兩點(diǎn)一動(dòng)圓相助”作為解題的突破口，使這類題目化難為易，迎刃而解.現(xiàn)采擷數(shù)例，剖析解法，以饗讀者.

1.找定線，定軌跡，最值問題求解易

例1（2014年四川·成都卷）如圖3，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_______．

圖3

分析：由折疊知A′M=AM，又M是AD邊的中點(diǎn)，可得A′M=AM=DM，故點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上.如圖4，以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑作⊙M.當(dāng)M，A′，C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C長(zhǎng)度取得最小值.

圖4

解：如圖4，以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑作⊙M，過點(diǎn)M作MF⊥CD交于點(diǎn)F.

在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，由∠A=60°，

所以CD=2，∠ADC=120°.

所以∠FDM=60°，∠FMD=30°.

【評(píng)析】此題在折疊過程中，由題意可知A′M= AM=DM，這樣自然聯(lián)想到圓的定義，所以以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑構(gòu)造輔助圓，則動(dòng)點(diǎn)A′的軌跡是在以AD為直徑的圓上，然后借助圓的知識(shí)，建立起已知量與未知量之間的關(guān)系，再結(jié)合題意化難為易，使問題輕松獲解.不難想象，若沒想到輔助圓，則難度較大.

例2（2013年湖北·武漢卷）如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是__________．

圖5

解：由已知易得∠DCG=∠DAG.

又AE=DF，AB=DC，∠EAB=∠FDC，

則△DCF≌△ABE.

所以∠DFC=∠AEB.

結(jié)合∠DCG+∠DFC=90°，

得出∠DAG+∠AEB=90°.

從而得∠AHB=90°.

所以點(diǎn)H在以AB為直徑的⊙O上（其中O為AB的中點(diǎn)），如圖6所示.

圖6

當(dāng)O，H，D三點(diǎn)共線時(shí)，線段DH取得最小值，

【評(píng)析】此題與例1相比，看似更難，但經(jīng)觀察、分析和思考，我們可先利用三角形全等證明∠AHB= 90°，這樣由90°就想到了直徑所對(duì)的圓周角等于90°，

因而構(gòu)造輔助圓.這就告訴我們，解題時(shí)應(yīng)充分挖掘題目中所隱含的信息，即定線AB、張角∠AHB，然后得出答案.這樣從題目（包括已知條件、待求結(jié)論和圖形）中提取一些暗示的信息，實(shí)現(xiàn)了快速解決問題.

2.找定線，定張角，坐標(biāo)問題位置顯

例3（2013年內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．

解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E.

因?yàn)辄c(diǎn)A（4，0），B（-6，0），

所以AB=10，E（-1，0）．

圖7

則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=

在圖7中以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

因?yàn)椤螧CA為⊙P的圓周角，

過點(diǎn)P作PF⊥Oy于點(diǎn)F，

則OF=PE=5，PF=1.

所以O(shè)C=OF+CF=5+7=12，

故點(diǎn)C坐標(biāo)為C（0，12）；

同理，求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為C（0，-12）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為C（0，12）或C（0，-12）．

【評(píng)析】此題與例2相比，看似更難入手.如果直接求解，難度較大，主要的困難在于無法把AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），BO這些條件與未知的CO集中到一起，也無法把∠BAC=45°這個(gè)條件用進(jìn)去，導(dǎo)致解題困難.若能換個(gè)角度，把45°的角放大，想到90°的圓心角，從定線AB、張角∠BAC=45°入手，作△ABC的外接圓⊙P，這樣就找到了解題的突破口.可以說，在中考中，利用輔助圓的策略是對(duì)直線型相關(guān)求解策略的有益補(bǔ)充.

3.找定線，定圓心，個(gè)數(shù)問題思路明

例4（2014年山東·淄博卷）如圖8，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是A（1，0），B（5，0），點(diǎn)P

是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

圖8

（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有_______.

（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒有，說明理由．

解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊△ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P1，P2．

如圖9，在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P，

圖9

所以使∠APB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)．

同理，在第四象限也有無數(shù)個(gè).

（2）①如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G．

圖10

由已知易得AB=4，OG=OA+AG=3，AC=BC= AB=4，

在如圖10中過點(diǎn)C作CD⊥Oy，垂足為點(diǎn)D，連接CP2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

又因?yàn)镻1，P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，

所以∠AP1B=∠AP2B=30°．

因?yàn)镃P2=CA=4，CD=3，

因?yàn)辄c(diǎn)C為圓心，CD⊥P1P2，

所以P1D=P2D=

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

（3）略.

【評(píng)析】此題從題設(shè)和結(jié)論來看似乎與圓沒有什么關(guān)系，若能挖掘出圖中隱含關(guān)系，構(gòu)造輔助圓，然后再運(yùn)用圓的定義、性質(zhì)，便能夠順利地建立起條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，進(jìn)而找到簡(jiǎn)捷、巧妙的解法，“圓”滿地解決問題.可見，解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助圓.首先是構(gòu)造經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)，圓心都在線段AB的垂直平分線上，然后是構(gòu)造圓周角是30°的圓，而想到60°的圓心角是關(guān)鍵.

4.找定線，圓相助，范圍取值直觀看

例5（2014年廣東·廣州卷）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C.點(diǎn)P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍.

（2）由點(diǎn)P（m，n）（n＜0），可知點(diǎn)P在x軸下方.

如圖11，設(shè)拋物線與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，BE，AF.

圖11

根據(jù)題意易證△OAE∽△OEB，

得∠OEB=∠OAE.

所以∠AEB=∠OEA+∠OEB=∠OEA+∠OAE=90°，

所以由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3，-2），∠AFB=90°.

則以AB為直徑作的圓一定經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)，且拋物線上點(diǎn)A到點(diǎn)E，點(diǎn)B到點(diǎn)F的部分都在圓內(nèi).

所以當(dāng)點(diǎn)P在這兩部分上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB為鈍角.

所以當(dāng)-1＜m＜0或3＜m＜4時(shí)，∠APB為鈍角.

（3）略.

【評(píng)析】此題第（2）小題中，證明∠AEB=90°是關(guān)鍵（除了用相似證明外，還可以運(yùn)用勾股定理的逆定理加以說明），再由定線AB、張角∠AEB=90°入手作圓，通過構(gòu)造輔助圓將問題轉(zhuǎn)化為拋物線與圓交點(diǎn)問題，利用對(duì)稱思想求解.此題若是離散探尋，也會(huì)獲得滿足題意的答案，但易出現(xiàn)漏解.可見，合理挖掘圖形隱含的性質(zhì)，補(bǔ)出輔助圓，就能直觀地看出數(shù)與形的奇妙聯(lián)系，從而能有效地解決點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

5.找定線，思關(guān)聯(lián)，線段長(zhǎng)度分類思

例6（2014年陜西卷）問題探究：

（1）如圖12，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么試畫出滿足條件的一個(gè)等腰△APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng).

圖12

（2）如圖13，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng).

圖13

問題解決：

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖14所示的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB= 60°？若存在，試求出符合條件的DM的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

圖14

解：（1）略.

（2）如圖15，以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q.然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，即可求出BQ的長(zhǎng)為

圖15

（3）在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°．理由如下.

如圖16，以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊△ABG，作GP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，作AK⊥BG，垂足為點(diǎn)K.設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，則以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，過點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，

圖16

則⊙O是△ABG的外接圓.

因?yàn)椤鰽BG是等邊三角形，GP⊥AB，

所以O(shè)H＜OA.

所以⊙O與CD相交.

設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA，MB，OM，

若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，

所以DM＞CD.

所以點(diǎn)M不在線段CD上，舍去．

若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，

所以DM＜CD.

所以點(diǎn)M在線段CD上．

綜上所述，在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60°，此時(shí)DM的長(zhǎng)為米．

【評(píng)析】第（3）小題初看似乎與圓毫無聯(lián)系，主線不明，其實(shí)第（1）（2）小題已經(jīng)布設(shè)暗線索.“問題探究”中的兩道小題就對(duì)應(yīng)“問題解決”中的兩個(gè)條件，即如何構(gòu)造60°，如何讓∠AMB=60°，可利用圓來達(dá)到目的.對(duì)于一類以探究定值、定點(diǎn)、定線為特征的數(shù)學(xué)問題，可以通過主動(dòng)尋求或以退為進(jìn)的策略，巧妙鎖定思維的方向，迅速找到問題解決的路徑.這樣，就大大地避免了探索的盲目性，使思維過程優(yōu)化變短，顯得簡(jiǎn)潔明快.

通過對(duì)上述幾個(gè)例子的分析，我們不難看出，解綜合題時(shí)若具備定線、張角，恰當(dāng)構(gòu)造輔助圓，則使題目分散的條件集中化，隱含的條件顯性化，起到了化難為易、打開思路的效果，或以一題多解，開闊思維，提高解題能力.這種在補(bǔ)形中得以開闊，呈現(xiàn)一片生機(jī)蓬勃的新天地，更給人一種流暢、清晰的美感，讓我們?cè)诮忸}中不禁驚嘆：遇“定線、張角”類試題，“圓”來如此破解.

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2016—07—12

沈岳夫（1963—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)解題研究.