詹妍

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的重要而有力的工具，通常用于建立一個(gè)給定正整數(shù)集的命題，而根據(jù)應(yīng)用的需求，數(shù)學(xué)歸納法有了許多形式的拓展，不僅從正整數(shù)集上初始條件、跳躍臺(tái)階進(jìn)行拓展，還進(jìn)行了適用數(shù)集的拓展，從正整數(shù)集到良序集，再到實(shí)數(shù)集；使之成為數(shù)學(xué)各個(gè)分支的重要證明手段.

關(guān)鍵詞：良序集 超限歸納法 連續(xù)歸納法 集合思想

一、超限歸納法

中學(xué)常用的數(shù)學(xué)歸納法都是建立在正整數(shù)集上，隨著康托爾在 1897年建立了集合論基礎(chǔ)，而后對(duì)于良序集的特別理論，在此基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)歸納法擴(kuò)展為超限歸納法，也稱為超窮歸納法.

（一）良序集的定義

定義 1設(shè) S是一個(gè)集合， ≤是 S中一個(gè)二元關(guān)系滿足：

（i）對(duì)任何 x∈S有 x≤x；

（ii）對(duì)任何 x，y∈S若有 x≤y，且 y≤x，則 x=y；

（iii）對(duì)任何 x，y，z∈S若有 x≤y，且 y≤z，則 x≤z；

（iv）對(duì)任何 x，y∈S均有 x≤y或 y≤x，則稱≤為 S中的一個(gè)全序，（S，≤）稱為一個(gè)全序集. 定義 2設(shè) A是一個(gè)全序集，若 A的任何非空子集都有昀

小元，則稱 A是良序集.

例：正整數(shù)集 N*是良序集.設(shè) M是 N*的任意一個(gè)非空子集，任取一個(gè)數(shù) m∈M，則 M中小于或等于 m的數(shù)不多于 m個(gè)，即有有限個(gè)，故存在一個(gè)昀小數(shù) m0.

（二）超限歸納法及其原理

定理 1設(shè)（S，≤）是一個(gè)非空良序集，P（x）是與元素 x∈S有關(guān)的一個(gè)命題，如果：

（i）對(duì)于 S中的昀小元 a0，P（a0）成立；

（ii）假定對(duì)任何 x

立，則 P（x）對(duì)任何 x∈S都成立.

（m）不成立 .由（i）知 P（a0）成立，則 m>a0，則對(duì)于任意

）m（p）得ii）成立，由（t（P，則Σ.

t，有）t

成立，與 m∈Σ相矛盾，故 Σ=..

二、連續(xù)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法和超限歸納法是對(duì) “離散”的無(wú)窮數(shù)集做出判斷的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，對(duì)于連續(xù)情形，直到 20世紀(jì) 80年代，張景中發(fā)現(xiàn)有一個(gè)十分簡(jiǎn)單而又便于掌握與應(yīng)用的關(guān)于實(shí)數(shù)的歸納法，稱為連續(xù)歸納法.

定理 2（關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法）設(shè) P（x）是關(guān)于實(shí)數(shù)的一個(gè)命題，如果：

（i）有 a，當(dāng) I中的 x

（ii）如果對(duì)所有小于 y的 x，P（x）成立，則有 I中的

z>y，使得對(duì)所有小于 z的 x，P（x）成立；則對(duì)所有實(shí)數(shù) x，P（x）成立. 定理 3（實(shí)數(shù)開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)歸納法）設(shè) I是開(kāi)區(qū)間，P

（x）是關(guān)于實(shí)數(shù) x∈I的一個(gè)命題，如果：

（i）有 a∈I，當(dāng) I中的 x

（ii）如果對(duì)所有小于 y的 x∈I，P（x）成立，則有 I

中的 z>y，使得對(duì)所有小于 z的 x∈I，P（x）成立；

則對(duì)所有 x∈I，P（x）成立.

證：

（法 1）設(shè)開(kāi)區(qū)間 I為（a，b），構(gòu)造 X=

，其中，是使命題 P（x）成立的開(kāi)區(qū)間，證明 X=（a，b）.

（法 2）證明一個(gè)適用于任意有序集的一般歸納原理，從中取有序集 I為開(kāi)區(qū)間（ a，b），導(dǎo)出實(shí)數(shù)區(qū)間上的連續(xù)歸納法，再取 I為（-∞，+∞）時(shí)，就得到關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法，即定理 4.

對(duì)于實(shí)數(shù)閉區(qū)間的情形連續(xù)歸納法同樣成立，有趙文靜給出的關(guān)于實(shí)數(shù)的第二連續(xù)歸納法.

定理 4（實(shí)數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)歸納法）設(shè) I是閉區(qū)間[a，

b]，P（x）是關(guān)于實(shí)數(shù) x∈I的一個(gè)命題，如果：

（i）有 x0∈I，當(dāng) I中的 a≤x≤x0時(shí)，P（x）成立；

（ii）如果對(duì)所有小于等于 y的 x∈I，P（x）成立，則有

I中的 z≥y，使得對(duì)所有小于等于 z的 x∈I，P（x）成立；

則對(duì)所有 x∈I，P（x）成立.

證：構(gòu)造一個(gè)實(shí)數(shù) x的命題 P（x）*，使得在 x∈[a，b]時(shí)，P（x）*仍為 P（x），而當(dāng) xb時(shí)，P（x）*：x=x.根據(jù)定理 4可證明 P（x）*對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，從而證明本定理成立.

在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，還衍生出了其他形式的連續(xù)歸納法. 定理 5（絕對(duì)值形式的連續(xù)歸納法）設(shè) P（x）是一個(gè)涉及實(shí)數(shù) x的命題，如果：

（1）有某個(gè) x0>0，使對(duì)一切|x|

（2）若對(duì)一切|x|0）有 P（x）成立，則有 z>y，

使得 P（x）對(duì)一切 |x|

則對(duì)一切實(shí)數(shù) x，P（x）成立.

證：證集合 Σ={x|p（x）不成立 }=..

定理 6（“擴(kuò)張”形式的連續(xù)歸納法）設(shè) P（x）是定義在

（a，b）內(nèi)的命題函數(shù)，如果

證：采用集合論的思想進(jìn)行證明.設(shè)集合

，}a0≥S|x∈{x.

}不成立）x（P且

，a0∈（x，使對(duì)一切的）b，a（.

）b0，a0）有某個(gè)（l（a≥S|x

b0）有 P（x）成立；

）成立，x（P）有b，a（.

）bl，al∈（x）若對(duì)一切2（.

）2b，2a∈（x，使一切l(wèi)>b2b，l

下證 Σ=..用反證法，若 Σ≠.，

由良序集必有昀小元知 Σ中有昀小元 m，滿足 m≥a0，且 P

（a，b）有 P（x）

成立.

那么對(duì)一切 x∈（a，b）有 P（x）成立.

證：證集合 Σ={x∈（a，b）|p（x）不成立}=..

應(yīng)用連續(xù)歸納法，可以證明連續(xù)函數(shù)的確界存在定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、有界性定理、介值定理、昀大值定理等重要定理.

三、結(jié)語(yǔ)

本文歸納整理了數(shù)學(xué)歸納法各種形式的推廣，對(duì)證明方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的敘述，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的重要而有力的工具，從正整數(shù)集到良序集，再到實(shí)數(shù)集，都有著各自的形式并得到了廣泛的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)證明提供了一種新思路，甚至可以使原本復(fù)雜的證明變得簡(jiǎn)便.

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