宋愛民

(甘肅民族師范學院數(shù)學系，甘肅合作 747000)

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Drygas二次型函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性

宋愛民

(甘肅民族師范學院數(shù)學系，甘肅合作 747000)

給出了Drygas二次型函數(shù)方程的定義，并得到其一般解；討論了Drygas二次型函數(shù)方程與混合三次-四次型函數(shù)方程的關(guān)系，并在Banach空間及模糊賦范空間上討論了它的Ulam穩(wěn)定性.

Drygas二次型函數(shù)方程；Banach空間；模糊賦范空間；Ulam穩(wěn)定性

0 引言

1940年，Ulam[1]提出了函數(shù)方程的穩(wěn)定性問題，并研究了群同態(tài)的穩(wěn)定性，隨后Hyers[2]解決了Banach空間中近似Cauchy映射的穩(wěn)定性問題.1978年，Rassias[3]將這種穩(wěn)定性推廣到廣義Ulam穩(wěn)定性，此后人們研究了各種映射的Ulam穩(wěn)定性[4-6].2003年，Radu[7]用不動點方法解決了Hyers-Ulam 穩(wěn)定性問題，之后直接方法和不動點方法成為研究函數(shù)方程穩(wěn)定性的重要方法.

(1)

(2)

(3)

Drygas函數(shù)方程是Drygas[9]于1987年為了描述擬內(nèi)積空間而引入的函數(shù)方程，對于一些統(tǒng)計學問題的解決起過重要作用.1992年，Ebanks等[10]給出了Drygas函數(shù)方程的一般解.

證明 必要性見文獻[10].

從而充分性得證.

事實上，這里

2008年，Gordji等[11]給出了混合三次-四次型函數(shù)方程

(4)

在Banach空間的穩(wěn)定性并得到了其一般解.

近幾年，多元函數(shù)方程的穩(wěn)定性引起了學者的廣泛關(guān)注，如Chu等[12]研究了n元導子的每一個變量的Ulam穩(wěn)定性，Bae等[13]研究了二元四次型函數(shù)方程的一般解及其穩(wěn)定性.本文在上述研究的基礎(chǔ)上，定義了Drygas二次型函數(shù)方程，并得到了它的一般解及其與混合三次-四次型函數(shù)方程的關(guān)系，最后討論了其在Banach空間以及模糊賦范空間上的Ulam穩(wěn)定性.

(5)

1 Drygas二次型函數(shù)方程的一般解

證明 充分性顯然，下證必要性.

顯然，f關(guān)于第一個變元是Drygas的，固定y1,y2，由引理2關(guān)于A的定義可知B關(guān)于第一個變量是可加的，又由引理2關(guān)于H的定義可知，F(xiàn)關(guān)于前兩個變量對稱可加；由于f關(guān)于第二個變元是二次的，由引理1及引理2中H的定義可知固定x1，則B關(guān)于后兩個變量是對稱、二次的；固定x1,x2,則F關(guān)于后兩個變量是對稱二次的.所以

由于f關(guān)于第一個變元是Drygas的，從而f(2x,2y)-2f(x,2y)=f(x,2y)+f(-x,2y)，也即

又f關(guān)于第二個變元是二次的，所以F(x,x,y,y)+B(x,y,y)=f(x,y)，必要性得證.

顯然C關(guān)于三個變量是對稱可加的，Q關(guān)于四個變量是對稱可加的.不難看出，C(x,x,x)=B(x,x,x),Q(x,x,x,x)=F(x,x,x,x),從而

顯然g滿足引理3的條件，從而g為混合三次-四次函數(shù). 】

則f為Drygas二次函數(shù)，且g(x)=f(x,x).

Q(2y+x,2y+x,2y+x,2y+x)+

Q(2y-x,2y-x,2y-x,2y-x)=

顯然有

Q(2x+y,2x+y,2x+y,2x+y)+

Q(2x-y,2x-y,2x-y,2x-y)=

又

綜合上面三式我們有

又因為

綜合上面兩式有

從而

由定理1可知,f為Drygas二次的，顯然有g(shù)(x)=f(x,x)，定理得證. 】

顯然f是Drygas二次的當且僅當對?x1,x2,y1,y2∈X,有Df(x1,x2,y1,y2)=0.

2 Drygas二次函數(shù)方程在Banach空間上的Ulam穩(wěn)定性

設(shè)X是實向量空間，Y是Banach空間.

(6)

(7)

(8)

證明 由(7)式可知

(9)

在(9)式中令x1=x2=x,y1=y2=y，則有

在上式中用2nx代替x，2ny代替y，且兩邊同除以16n+1，則有

(10)

從而對任意正整數(shù)m

由(6)式可知，序列

在(7)式中用2nxi代替xi，用2nyi代替yi，這里i=1,2，則有

3 Drygas二次函數(shù)方程在模糊賦范空間的Ulam穩(wěn)定性

設(shè)X為線性空間，(Y,N)是模糊Banach空間.

φ(2x1,2x2,2y1,2y2)=αφ(x1,x2,y1,y2)；

(11)

(12)

(13)

其中M((x,y),t)=min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(-x,-x,y,y),t)}.

證明 不失一般性，此處設(shè)0<α<16.由(12)式，顯然有

(14)

在(14)式中令x1=x2=x,y1=y2=y，則有

也即

N(f(2x,2y)+f(-2x,2y)-

在上式中，用2nx代替x，2ny代替y，我們有

進一步，我們有

所以對任意正整數(shù)m

從而有

(15)

在(14)式中用2nxi代替xi，用2nyi代替yi，這里i=1,2，則有

從而

顯然由上式有

從而

即Q為Drygas二次的.

在(15)式中令m=0,n→∞可得

從而定理得證. 】

[1] ULAM S M.ProbleminModernMathematics[M].New York:John Wiey & Sons,1940.

[2] HYERS D H.On the stability of the linear functional equation [J].ProcAmerMathSoc,1941,72(2):222.

[3] RASSIAS T M.On the stability of the linear mapping in Banach spaces [J].ProcAmerMathSoc,1978,72(2):297.

[4] ESKANDANI G Z,GAVRUTA P,RASSIAS J M,et al.Generalized Hyers-Ulam stability for a general mixed functional equation in quasi-β-normed spaces[J].MediterraneanJournalofMathematics,2011,8(3):331.

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[6] POPA D.Hyers-Ulam-Rassias stability of a linear recurrence[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2005,309(2):591.

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[10] EBANS B R,KANNAPPAN P L,SAHOO P K.A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces[J].CanadMathBull,1992,35:321.

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[12] CHU H Y,KU S H,PARK J S.Partial stabilities and partial derivations ofn-variable functions[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2010,72(3):1531.

[13] PARK W G,BAE J H.On a bi-quadratic functional equation and its stability[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2005,62(4):643.

(責任編輯 馬宇鴻)

The Ulam stability of Drygas-quadratic functional equation

SONG Ai-min

(College of Mathematics，Gansu Normal University for Nationalities，Hezuo 747000，Gansu,China)

A class of Drygas-quadratic functional equation is defined,and its general solution is obtained.Meanwhile,the relationship between Drygas-quadratic functional equation and cubic-quartic functional equation is given.Finally the Ulam stability of Drygas-quadratic functional equation in Banach space and fuzzy normed space is discussed.

Drygas-quadratic functional equation；Banach space；fuzzy normed space;Ulam stability

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.005

2015-09-21;修改稿收到日期:2015-10-17

甘肅省高等學校科研資助項目(2015B-120)

宋愛民(1984—)，男，甘肅蘭州人，講師，碩士.主要研究方向為算子代數(shù)及其應(yīng)用.

E-mail:songai-min@163.com

O 177.1

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1001-988Ⅹ(2016)06-0022-07