邱小夢 周世健 王奉偉 楊曉東

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室， 南昌市廣蘭大道418號，330013 3 南昌航空大學校長辦公室，南昌市豐和南大道696號，330063 4 同濟大學測繪與地理信息學院，上海市四平路1239號，200092

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改進多點灰色模型的研究及應用分析

邱小夢1,2周世健3王奉偉4楊曉東1

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室， 南昌市廣蘭大道418號，330013 3 南昌航空大學校長辦公室，南昌市豐和南大道696號，330063 4 同濟大學測繪與地理信息學院，上海市四平路1239號，200092

針對傳統(tǒng)多點灰色模型背景值求解方面存在的缺陷，采用自動尋優(yōu)定權(quán)對背景值進行選擇，使得實測值與擬合值的殘差平方和最小，以提高多點灰色模型的預測精度。實例計算結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的多點灰色模型相比，背景值改進的多點灰色模型預測精度有很大的提高。

多點灰色模型；自動尋優(yōu)定權(quán)；殘差平方和

變形監(jiān)測[1]常用的預測模型主要有傳統(tǒng)灰色預測模型、時間序列分析、回歸分析和神經(jīng)網(wǎng)絡等[2-6]，但大多只能用于單點建模與預測[7]。而實際工程中，監(jiān)測點的變形發(fā)展規(guī)律都不是孤立的，各監(jiān)測點之間相互影響，所以建立預測模型時應充分利用監(jiān)測點之間的關聯(lián)信息。多點灰色模型顧及各監(jiān)測點之間的相互關聯(lián)和影響，符合變形體的客觀實際，提高了預測精度。尹暉[8]、王穗輝[9]、劉國華[10]分別建立了用于變形體變形資料分析預測的多點灰色模型。由于多點灰色模型是由傳統(tǒng)的單點灰色模型擴展而來，所以同樣面臨著背景值改進、初始條件等問題，從而影響了建模精度。本文利用自動尋優(yōu)定權(quán)[11]對背景值進行選擇，使得實測值與擬合值的殘差平方和最小。通過實例分析，改進后的多點灰色模型能夠充分體現(xiàn)變形體的變形情況，具有較高的預測精度，是一種有效的變形預測方法。

1 改進的多點灰色預測模型的建立

(1)

式中，aij和bi均為模型參數(shù)。其矩陣形式為：

(2)

利用最小二乘法求解模型參數(shù)A和B的估值，傳統(tǒng)的多點灰色模型背景值取值為：

(3)

式中，i=1,2,…n，k=2,3,…m。

(4)

(5)

式(1)可以寫成離散化形式：

(6)

對式(6)進行累減還原得：

(7)

(8)

實際值與擬合值的殘差平方和為：

(9)

(10)

(11)

式中，μ為背景值生成系數(shù)(權(quán))，取值范圍為[0,1]。從預測精度的角度選擇μ的最佳估值，進行模型的精度分析與預測。選擇最佳權(quán)的方法為：設μ的初始值為零，計算該權(quán)重下實測值與擬合值的殘差平方和。在此基礎上增加一個大于0的微小量Δμ(本文令Δμ=0.01)，利用μ=μ+Δμ 進行迭代，直到μ=1。上述方法可以計算不同權(quán)重下實測值與擬合值的殘差平方和，取實測值與擬合值的殘差平方和最小(即式(9)σ2最小)的權(quán)重為背景值的最佳權(quán)重。以此時對應的權(quán)求得合理的背景值，建立相應背景值的改進多點灰色模型。

2 工程應用

2.1 深基坑圍護結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測的應用

根據(jù)文獻[2]，北京市地鐵10號線熊奧區(qū)間工程采用明挖法施工，為確保結(jié)構(gòu)及周圍建筑物安全，需要對基坑進行變形觀測。根據(jù)以往經(jīng)驗，可以將相關系數(shù)大于0.90的監(jiān)測點歸為一類。通過關聯(lián)性分析發(fā)現(xiàn)，A、B、C 3個監(jiān)測點之間觀測數(shù)據(jù)的相關系數(shù)均大于0.90，所以選取這3個監(jiān)測點作為實驗數(shù)據(jù)，見表1。

表1 各觀測點的實測值

變形點數(shù)n=3，共采用10個周期的數(shù)據(jù)，其中前8個周期用來建模(即m=8)，后2個周期用來檢測模型預測的準確性。利用改進的多點灰色模型和多點灰色模型分別建模，結(jié)果見表2。

當μ=0.47時，改進的多點灰色模型的實測值與擬合值的殘差平方和取得最小值為2.835。以B、C兩個監(jiān)測點為例，繪制出2種模型的預測值與實測值對比圖。從表2、圖1和圖2看出，改

注：*為預測期數(shù)。

圖2 點C兩種模型預測值與實際值對比圖Fig.2 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point C

進的多點灰色模型的預測精度要比多點灰色模型有很大的提高，這是因為改進的多點灰色模型以實測值與擬合值的殘差平方和最小為約束條件，選取了合理的背景值。由表2可知，多點灰色模型的實測值與擬合值的殘差平方和為5.569，而改進的多點灰色模型為2.835。由圖1、圖2可以看出，多點灰色模型的預測偏差很大，這是因為多點灰色模型雖然顧及了監(jiān)測點間的相互關聯(lián)和影響，但是仍受到背景值改進等因素的影響。綜上可知，改進的多點灰色預測模型的預測效果比多點灰色模型更好。

2.2 滑坡變形監(jiān)測的應用

根據(jù)文獻[12]，三峽庫區(qū)某牽引式滑坡后緣高程為380～400 m，前緣剪出口面臨長江，高程約75 m。坡體上橫縱布設的6個監(jiān)測點能夠控制坡體整體形變。通過關聯(lián)性分析發(fā)現(xiàn)，A、B、D3個監(jiān)測點的相關系數(shù)均大于0.95，所以選取A、B、D3個監(jiān)測點在2006～2013-06的水平累積位移數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 各觀測點的實測值

變形點數(shù)n=3，共采取8個周期的觀測數(shù)據(jù)，其中前6期用來建模(即m=6)，后2期用來檢測模型預測的準確性。利用改進的多點灰色模型和多點灰色模型分別建模，結(jié)果如表4所示。

表4 兩種模型的預測值與實測值比較

注：*為預測期數(shù)。

圖3 點A兩種模型預測值與實際值對比圖Fig.3 Comparison between actual measurements andprediction curve of two models of the point A

圖4 點D兩種模型預測值與實際值對比圖Fig.4 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point D

當μ=0.43時，改進的多點灰色模型的實測值與擬合值的殘差平方和取得最小值為8.658。以A、D2個監(jiān)測點為例，繪制2種模型預測值與實測值的對比圖。從表4、圖3和圖4可以看出，多點灰色模型的實測值與擬合值的殘差平方和為11.563，改進的多點灰色模型為8.658。從2011年及2012年的擬合及預測殘差可以看出，與改進的多點灰色模型相比，多點灰色模型的預測偏差較大，而改進的多點灰色模型的預測結(jié)果更穩(wěn)定、更有效。

3 結(jié) 語

本文針對多點灰色模型背景值的缺陷，利用自動尋優(yōu)定權(quán)方法對背景值進行選擇，以實測值與擬合值的殘差平方和最小為約束條件進行建模，提高了模型的預測精度。比較改進的多點灰色模型和多點灰色模型在深基坑圍護結(jié)構(gòu)變形和滑坡變形的預測結(jié)果看出，前者的預測精度有了很大的提高，是一種有效的變形監(jiān)測預測方法。

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About the first author:QIU Xiaomeng, postgraduate, majors in data processing of deformation monitoring, E-mail: 1415519128@qq.com.

Research and Application of Improved Multi-Point Grey Model

QIUXiaomeng1,2ZHOUShijian3WANGFengwei4YANGXiaodong1

1 Faculty of Geomatics，East China University of Technology，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 2 Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASMG，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 3 President’s Office,Nanchang Hangkong University，696 Fenghenan Road，Nanchang 330063， China 4 College of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，1239 Siping Road，Shanghai 200092，China

In order to improve predictive accuracy ofthe multi-point grey model, background values are selected by automatic optimization weights such that the residual sum of squares of the actual and fitted values is minimal. Caseresults show that, compared with traditional multi-point grey model, prediction accuracy is greatly improved with the background values optimized grey model.

multi-point grey model; automatic optimization weights; residual sum of squares

National Natural Science Foundation of China, No.41374007；Innovation Fund Designated for Graduate Students of Jiangxi Province，No. YC2016-S292.

2016-07-26

項目來源：國家自然科學基金(41374007)；江西省研究生創(chuàng)新基金(YC2016-S292)。

邱小夢，碩士生，主要研究方向為變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理，E-mail:1415519128@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.014

1671-5942(2016)012-1096-04

P207

A