邱小夢 周世健 王奉偉 楊曉東

1 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南昌市廣蘭大道418號，330013 3 南昌航空大學(xué)校長辦公室，南昌市豐和南大道696號，330063 4 同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號，200092

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改進(jìn)多點(diǎn)灰色模型的研究及應(yīng)用分析

邱小夢1,2周世健3王奉偉4楊曉東1

1 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南昌市廣蘭大道418號，330013 3 南昌航空大學(xué)校長辦公室，南昌市豐和南大道696號，330063 4 同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號，200092

針對傳統(tǒng)多點(diǎn)灰色模型背景值求解方面存在的缺陷，采用自動尋優(yōu)定權(quán)對背景值進(jìn)行選擇，使得實(shí)測值與擬合值的殘差平方和最小，以提高多點(diǎn)灰色模型的預(yù)測精度。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的多點(diǎn)灰色模型相比，背景值改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型預(yù)測精度有很大的提高。

多點(diǎn)灰色模型；自動尋優(yōu)定權(quán)；殘差平方和

變形監(jiān)測[1]常用的預(yù)測模型主要有傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型、時(shí)間序列分析、回歸分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[2-6]，但大多只能用于單點(diǎn)建模與預(yù)測[7]。而實(shí)際工程中，監(jiān)測點(diǎn)的變形發(fā)展規(guī)律都不是孤立的，各監(jiān)測點(diǎn)之間相互影響，所以建立預(yù)測模型時(shí)應(yīng)充分利用監(jiān)測點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)信息。多點(diǎn)灰色模型顧及各監(jiān)測點(diǎn)之間的相互關(guān)聯(lián)和影響，符合變形體的客觀實(shí)際，提高了預(yù)測精度。尹暉[8]、王穗輝[9]、劉國華[10]分別建立了用于變形體變形資料分析預(yù)測的多點(diǎn)灰色模型。由于多點(diǎn)灰色模型是由傳統(tǒng)的單點(diǎn)灰色模型擴(kuò)展而來，所以同樣面臨著背景值改進(jìn)、初始條件等問題，從而影響了建模精度。本文利用自動尋優(yōu)定權(quán)[11]對背景值進(jìn)行選擇，使得實(shí)測值與擬合值的殘差平方和最小。通過實(shí)例分析，改進(jìn)后的多點(diǎn)灰色模型能夠充分體現(xiàn)變形體的變形情況，具有較高的預(yù)測精度，是一種有效的變形預(yù)測方法。

1 改進(jìn)的多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的建立

(1)

式中，aij和bi均為模型參數(shù)。其矩陣形式為：

(2)

利用最小二乘法求解模型參數(shù)A和B的估值，傳統(tǒng)的多點(diǎn)灰色模型背景值取值為：

(3)

式中，i=1,2,…n，k=2,3,…m。

(4)

(5)

式(1)可以寫成離散化形式：

(6)

對式(6)進(jìn)行累減還原得：

(7)

(8)

實(shí)際值與擬合值的殘差平方和為：

(9)

(10)

(11)

式中，μ為背景值生成系數(shù)(權(quán))，取值范圍為[0,1]。從預(yù)測精度的角度選擇μ的最佳估值，進(jìn)行模型的精度分析與預(yù)測。選擇最佳權(quán)的方法為：設(shè)μ的初始值為零，計(jì)算該權(quán)重下實(shí)測值與擬合值的殘差平方和。在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)大于0的微小量Δμ(本文令Δμ=0.01)，利用μ=μ+Δμ 進(jìn)行迭代，直到μ=1。上述方法可以計(jì)算不同權(quán)重下實(shí)測值與擬合值的殘差平方和，取實(shí)測值與擬合值的殘差平方和最小(即式(9)σ2最小)的權(quán)重為背景值的最佳權(quán)重。以此時(shí)對應(yīng)的權(quán)求得合理的背景值，建立相應(yīng)背景值的改進(jìn)多點(diǎn)灰色模型。

2 工程應(yīng)用

2.1 深基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測的應(yīng)用

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，北京市地鐵10號線熊奧區(qū)間工程采用明挖法施工，為確保結(jié)構(gòu)及周圍建筑物安全，需要對基坑進(jìn)行變形觀測。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以將相關(guān)系數(shù)大于0.90的監(jiān)測點(diǎn)歸為一類。通過關(guān)聯(lián)性分析發(fā)現(xiàn)，A、B、C 3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)之間觀測數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)均大于0.90，所以選取這3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，見表1。

表1 各觀測點(diǎn)的實(shí)測值

變形點(diǎn)數(shù)n=3，共采用10個(gè)周期的數(shù)據(jù)，其中前8個(gè)周期用來建模(即m=8)，后2個(gè)周期用來檢測模型預(yù)測的準(zhǔn)確性。利用改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型和多點(diǎn)灰色模型分別建模，結(jié)果見表2。

當(dāng)μ=0.47時(shí)，改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型的實(shí)測值與擬合值的殘差平方和取得最小值為2.835。以B、C兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)為例，繪制出2種模型的預(yù)測值與實(shí)測值對比圖。從表2、圖1和圖2看出，改

注：*為預(yù)測期數(shù)。

圖2 點(diǎn)C兩種模型預(yù)測值與實(shí)際值對比圖Fig.2 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point C

進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型的預(yù)測精度要比多點(diǎn)灰色模型有很大的提高，這是因?yàn)楦倪M(jìn)的多點(diǎn)灰色模型以實(shí)測值與擬合值的殘差平方和最小為約束條件，選取了合理的背景值。由表2可知，多點(diǎn)灰色模型的實(shí)測值與擬合值的殘差平方和為5.569，而改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型為2.835。由圖1、圖2可以看出，多點(diǎn)灰色模型的預(yù)測偏差很大，這是因?yàn)槎帱c(diǎn)灰色模型雖然顧及了監(jiān)測點(diǎn)間的相互關(guān)聯(lián)和影響，但是仍受到背景值改進(jìn)等因素的影響。綜上可知，改進(jìn)的多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的預(yù)測效果比多點(diǎn)灰色模型更好。

2.2 滑坡變形監(jiān)測的應(yīng)用

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，三峽庫區(qū)某牽引式滑坡后緣高程為380～400 m，前緣剪出口面臨長江，高程約75 m。坡體上橫縱布設(shè)的6個(gè)監(jiān)測點(diǎn)能夠控制坡體整體形變。通過關(guān)聯(lián)性分析發(fā)現(xiàn)，A、B、D3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)均大于0.95，所以選取A、B、D3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)在2006～2013-06的水平累積位移數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 各觀測點(diǎn)的實(shí)測值

變形點(diǎn)數(shù)n=3，共采取8個(gè)周期的觀測數(shù)據(jù)，其中前6期用來建模(即m=6)，后2期用來檢測模型預(yù)測的準(zhǔn)確性。利用改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型和多點(diǎn)灰色模型分別建模，結(jié)果如表4所示。

表4 兩種模型的預(yù)測值與實(shí)測值比較

注：*為預(yù)測期數(shù)。

圖3 點(diǎn)A兩種模型預(yù)測值與實(shí)際值對比圖Fig.3 Comparison between actual measurements andprediction curve of two models of the point A

圖4 點(diǎn)D兩種模型預(yù)測值與實(shí)際值對比圖Fig.4 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point D

當(dāng)μ=0.43時(shí)，改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型的實(shí)測值與擬合值的殘差平方和取得最小值為8.658。以A、D2個(gè)監(jiān)測點(diǎn)為例，繪制2種模型預(yù)測值與實(shí)測值的對比圖。從表4、圖3和圖4可以看出，多點(diǎn)灰色模型的實(shí)測值與擬合值的殘差平方和為11.563，改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型為8.658。從2011年及2012年的擬合及預(yù)測殘差可以看出，與改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型相比，多點(diǎn)灰色模型的預(yù)測偏差較大，而改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型的預(yù)測結(jié)果更穩(wěn)定、更有效。

3 結(jié) 語

本文針對多點(diǎn)灰色模型背景值的缺陷，利用自動尋優(yōu)定權(quán)方法對背景值進(jìn)行選擇，以實(shí)測值與擬合值的殘差平方和最小為約束條件進(jìn)行建模，提高了模型的預(yù)測精度。比較改進(jìn)的多點(diǎn)灰色模型和多點(diǎn)灰色模型在深基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)變形和滑坡變形的預(yù)測結(jié)果看出，前者的預(yù)測精度有了很大的提高，是一種有效的變形監(jiān)測預(yù)測方法。

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About the first author:QIU Xiaomeng, postgraduate, majors in data processing of deformation monitoring, E-mail: 1415519128@qq.com.

Research and Application of Improved Multi-Point Grey Model

QIUXiaomeng1,2ZHOUShijian3WANGFengwei4YANGXiaodong1

1 Faculty of Geomatics，East China University of Technology，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 2 Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASMG，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 3 President’s Office,Nanchang Hangkong University，696 Fenghenan Road，Nanchang 330063， China 4 College of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，1239 Siping Road，Shanghai 200092，China

In order to improve predictive accuracy ofthe multi-point grey model, background values are selected by automatic optimization weights such that the residual sum of squares of the actual and fitted values is minimal. Caseresults show that, compared with traditional multi-point grey model, prediction accuracy is greatly improved with the background values optimized grey model.

multi-point grey model; automatic optimization weights; residual sum of squares

National Natural Science Foundation of China, No.41374007；Innovation Fund Designated for Graduate Students of Jiangxi Province，No. YC2016-S292.

2016-07-26

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金(41374007)；江西省研究生創(chuàng)新基金(YC2016-S292)。

邱小夢，碩士生，主要研究方向?yàn)樽冃伪O(jiān)測數(shù)據(jù)處理，E-mail:1415519128@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.014

1671-5942(2016)012-1096-04

P207

A