王 靜 趙興旺 劉 超 張翠英

1 安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，淮南市舜耕中路168號，232001

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基于正則化的GPS/BDS單頻單歷元模糊度固定

王 靜1趙興旺1劉 超1張翠英1

1 安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，淮南市舜耕中路168號，232001

針對單頻單歷元模糊度固定中的秩虧問題，給出一種基于雙差載波系數(shù)陣奇異值分解的正則化方法。通過對坐標改正參數(shù)進行約束，改善法矩陣的病態(tài)性，并結(jié)合LAMBDA方法實現(xiàn)單歷元模糊度固定。采用長度不同的兩組GPS/BDS基線數(shù)據(jù)進行單頻單歷元模糊度解算，并與選權(quán)擬合法比較。結(jié)果表明，采用該方法，5.8 m基線BDS系統(tǒng)模糊度解算成功率提高17.61%，2.34 km基線GPS、BDS及GPS/BDS模糊度解算成功率分別提高4.67%、3.56%和3.63%。當(dāng)截止高度角為10°時，E、N方向定位精度達到mm級，U方向達到mm至cm級。

單頻單歷元；正則化；GPS/BDS；模糊度固定

單歷元模糊度解算具有無需考慮衛(wèi)星升降、有效避免周跳探測和修復(fù)、失鎖后能夠快速實現(xiàn)再固定等優(yōu)點，相對于多歷元解算更高效、更具穩(wěn)定性[1-2]。目前單歷元模糊度解算多基于雙頻或三頻。如祝會忠等[3]通過對寬巷模糊度進行分組，選擇方差較小的寬巷組合進行模糊度搜索，實現(xiàn)單歷元模糊度解算；唐衛(wèi)明等[4]利用LAMBDA方法搜索3組最佳寬巷模糊度組合，通過設(shè)置不同的閾值依次對3組模糊度組合進行Ratio值檢驗；陶庭葉等[5]基于偽距和寬巷載波相位雙差觀測方程，采用Helmert驗后方差估計定權(quán)，實現(xiàn)GPS/BDS組合系統(tǒng)單歷元基線解算。單頻單歷元模糊度固定的研究相對較少，一般利用先驗信息或其他外部觀測值來輔助解算模糊度，或通過正則化方法解決單歷元方程的病態(tài)問題。如戴吾蛟等[2]利用變形特征和最大變形量作為約束，直接建立模糊度搜索空間；唐衛(wèi)明[6]通過附加基線長度約束實現(xiàn)BDS單頻單歷元模糊度固定，固定率較偽距聯(lián)合載波相位法提高了1倍，但低于雙頻單歷元模糊度固定；王振杰等[7]提出一種考慮隨機模型精化的單頻單歷元算法，取得較好的效果。

綜上所述，盡管偽距和載波相位組合方法可以解決法方程秩虧的問題，但因偽距觀測值與載波相位觀測值精度相差較大，在一定程度上降低了基線解算的精度；而通過基線長度等約束條件雖然可以降低法方程的病態(tài)性，但對先驗信息的依賴性較強。本文通過對系數(shù)陣進行奇異值分解構(gòu)造正則化矩陣，改善了法方程的秩虧問題，得到更加可靠的模糊度浮點解和均方誤差矩陣，并結(jié)合LAMBDA算法實現(xiàn)GPS/BDS單頻單歷元模糊度固定。最后，通過與偽距聯(lián)合載波相位的選取擬合法進行對比，驗證了本文方法的有效性。

1 GPS/BDS單頻單歷元解算的數(shù)學(xué)模型

對短基線而言，雙差觀測模型可消除或削弱基準站和移動站間大部分共性誤差。在GPS/BDS組合相對定位中，由于接收機鎖定GPS和BDS衛(wèi)星信號時存在時間基準偏差，當(dāng)采用GPS和BDS系統(tǒng)載波相位觀測值L1、B1進行單歷元解算時，需在各自系統(tǒng)內(nèi)部獨立選取參考衛(wèi)星構(gòu)建雙差方程[8]。設(shè)某歷元基準站與移動站間共視n+2顆衛(wèi)星，則可以組成n個雙差觀測方程：

(1)

式中，G、C分別表示GPS和BDS衛(wèi)星；k、r分別表示基準站和移動站；i、j表示GPS觀測衛(wèi)星，其中i為參考衛(wèi)星；p、q表示BDS觀測衛(wèi)星，其中p為參考衛(wèi)星；λ為載波波長；φ為載波相位觀測值；N為載波相位整周模糊度；l、m、n為接收機到衛(wèi)星視線方向單位向量；dX、dY、dZ為待求坐標改正數(shù)；L為衛(wèi)星到接收機間距離；ε為雙差觀測噪聲。在數(shù)據(jù)處理時，各系統(tǒng)內(nèi)部采用高度角定權(quán)，而系統(tǒng)間則采用經(jīng)驗值1∶1定權(quán)[9]。

簡化后GPS/BDS組合相對定位載波雙差方程的矩陣形式為：

(2)

將觀測值權(quán)陣P單位化，對式(2)進行等價單位權(quán)變換得：

(3)

2 基于正則化的載波相位解算模型

對于秩虧問題，常用的解決方法有嶺估計、截斷奇異值法、Tikhonov正則化方法。但在GNSS快速定位中，前兩種方法效果不太理想，而正則化是目前解決病態(tài)問題的主要方法。借鑒其思想，同時避免對先驗信息的過分依賴，根據(jù)Tikhonov正則化原理[10-11]，通過選擇合適的正則化矩陣R,對法方程增加3個約束條件，將單頻單歷元雙差載波方程轉(zhuǎn)化成滿秩問題。對式(3)采用如下估計準則：

(4)

式中，Ω(X)為穩(wěn)定泛函，‖·‖為歐氏2范數(shù)，α為正則化參數(shù)，R為正則化矩陣。在穩(wěn)定泛函約束下，求得正則化后的解：

(5)

對應(yīng)于載波雙差方程中解的表達形式為：

(6)

2.1 正則化矩陣R的構(gòu)造

(7)

式中，U為n×n階正交矩陣，D為n×1階矩陣，V為(n+3)×n階矩陣。令D1=diag(D)，通過對V、D1分塊，對待求坐標改正參數(shù)添加約束。具體分塊形式如下：

(8)

令

(9)

得：

(10)

由式(10)得到的正則化矩陣R是秩為3的n+3 階奇異方陣，其中左上角的3階矩陣不為0。

2.2 正則化參數(shù)α的選擇

當(dāng)正則化矩陣R選定后，利用L曲線法[12]求解正則化參數(shù)α。令

(11)

兩邊分別取對數(shù),得：

(12)

(13)

由式(13)中最大曲率kmax得到正則化參數(shù)α后，結(jié)合式(10)得到的正則化矩陣R，便可對坐標改正參數(shù)進行約束，進而求得待求未知數(shù)。

3 算例分析

為了驗證本文方法在單頻單歷元解算中的有效性，分別采用長度為5.8 m和2.34 km的兩條基線進行GPS、BDS、GPS/BDS靜態(tài)單歷元基線解算。其中，5.8 m基線選取2013-03-16 10:10～10:40觀測數(shù)據(jù)，2.34 km基線選取2015-11-08 14:20～14:45觀測數(shù)據(jù)，采樣間隔均為1 s，截止高度角均設(shè)為10°。

3.1 模糊度解算結(jié)果分析

分別采用偽距聯(lián)合載波相位的選權(quán)擬合法[13](簡稱選權(quán)擬合法)和本文所提出的正則化方法(簡稱正則化法)對GPS、BDS及GPS/BDS組合系統(tǒng)進行單頻單歷元模糊度解算，從模糊度的固定率和成功率兩方面對模糊度解算結(jié)果進行有效性檢驗[14-15]：

圖1給出了兩條基線基于正則化方法和選權(quán)擬合法的模糊度解算Ratio值序列，表1統(tǒng)計出兩種方法下模糊度解算的固定率。

圖1 兩種方法下兩基線Ratio值序列Fig.1 Ratio values of two baselines in two methods

基線解算方法固定率GPSBDSGPS/BDS5.8m正則化法100%100%100%選權(quán)擬合法100%70.78%98.17%2.34km正則化法96.67%100%98.52%選權(quán)擬合法65.85%71.56%62.44%

從圖1和表1可以發(fā)現(xiàn)，采用正則化法，單系統(tǒng)和組合系統(tǒng)在模糊度固定率得到提高的同時Ratio值也得到相應(yīng)改善，使大于閾值的歷元數(shù)得到增加。尤其是BDS的病態(tài)性改善效果最佳，固定率提高比例高于GPS和GPS/BDS。分析表1中的結(jié)果可知，2.34 km基線使用選權(quán)擬合法時，組合系統(tǒng)固定率低于單GPS系統(tǒng)和單BDS系統(tǒng)，這跟閾值的選擇及北斗觀測衛(wèi)星在觀測時段保持較高的衛(wèi)星高度角有關(guān)。當(dāng)閾值定為2時，組合系統(tǒng)固定率高于單GPS系統(tǒng)而低于單BDS系統(tǒng)。總的來說，利用正則化法改善病態(tài)后，短基線下單系統(tǒng)與組合系統(tǒng)單頻載波單歷元相對定位的模糊度解算性能基本相當(dāng)。

表2 模糊度解算成功率

從表2可知，基于選權(quán)擬合法的單頻單歷元模糊度解算效果稍差，且GPS/BDS組合系統(tǒng)與觀測質(zhì)量較好的單系統(tǒng)解算成功率相當(dāng)。但采用本文正則化方法后，模糊度解算成功率均有顯著提高，各系統(tǒng)模糊度解算成功率均達到100%。對于5.8 m基線，GPS和GPS/BDS系統(tǒng)在兩種方法下的固定率一樣，而BDS模糊度解算成功率比選權(quán)擬合法提高了17.61%；2.34 km基線中各系統(tǒng)模糊度解算成功率相對于選權(quán)擬合法分別提高4.67%、3.56%、3.63%。

3.2 定位精度分析

由于選權(quán)擬合法進行基線解算時模糊度固定成功率相對較低，定位效果較差，本節(jié)僅對基于正則化方法的單頻載波相位定位精度進行分析，采用事后靜態(tài)處理獲得的坐標作為參考值。圖2(a)～(b)給出了兩基線各系統(tǒng)在E、N、U方向的基線偏差。

圖2 兩基線GPS、BDS、GPS/BDS在E、N、U方向的偏差Fig.2 The deviation components in E, N and U for GPS, BDS and GPS/BDS of two test baselines

從圖2可知，GPS/BDS組合系統(tǒng)的基線分量偏差解算結(jié)果比單系統(tǒng)要穩(wěn)定。1)5.8 m基線中GPS和GPS/BDS在E、N方向的偏差在±5 mm范圍內(nèi)，U方向偏差在±2 cm范圍內(nèi)。由于BDS觀測噪聲較大，且空間幾何穩(wěn)定性較差，定位精度低于GPS和GPS/BDS，E、N方向偏差范圍為-1～0.5 cm，U方向偏差范圍為-2～6 cm。2)2.34 km基線中GPS/BDS解算結(jié)果相對較穩(wěn)定，在E和U方向上偏差范圍明顯小于單系統(tǒng)，分別為-1.5～0 cm和1～3 cm；N方向偏差與單系統(tǒng)相近，為-0.15 m～-8 cm。相比之下，GPS中E和U方向偏差在前400個歷元有較大的抖動?；€偏差解算結(jié)果進一步驗證了基于正則化法單歷元模糊度固定的可行性。

在單歷元模糊度正確固定的基礎(chǔ)上，對兩基線GPS、BDS及GPS/BDS的內(nèi)符合精度進行統(tǒng)計，見表3，其中內(nèi)符合精度為：

(14)

表3 定位精度統(tǒng)計

通過表3可以看出：1)5.8 m基線中GPS 系統(tǒng)和GPS/BDS組合系統(tǒng)單歷元定位精度相當(dāng)，BDS定位精度稍差，尤其是U方向誤差，約是GPS和GPS/BDS系統(tǒng)的2倍；2)2.34 km基線中GPS/BDS組合系統(tǒng)單歷元定位精度高于單GPS系統(tǒng)和單BDS系統(tǒng)，BDS系統(tǒng)因測段時間內(nèi)保持較多的可見衛(wèi)星，且有較高的衛(wèi)星高度角，噪聲較小，定位精度僅次于GPS/BDS而優(yōu)于GPS。

4 結(jié) 論

本文針對單頻單歷元模糊度固定的秩虧問題，通過對載波雙差方程系數(shù)陣進行奇異值分解構(gòu)造正則化矩陣，改善了單頻單歷元觀測方程的病態(tài)性。采用長度不同的短基線數(shù)據(jù)對該方法進行驗證，得出以下結(jié)論：采用文中正則化法，兩基線GPS、BDS和GPS/BDS均可實現(xiàn)單頻單歷元模糊度固定，模糊度解算成功率均達到100%，同時大于Ratio閾值的歷元數(shù)也得到增加。5.8 m基線GPS和GPS/BDS定位精度在E、N、U方向達到mm級，BDS定位精度相對差些；2.34 km基線BDS和GPS/BDS定位精度在E、N方向可達mm級，在U方向達到cm級。對于不同長度基線的正則化法單頻單歷元定位，單系統(tǒng)與組合系統(tǒng)相比定位精度或高或低，相比之下，組合系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性?？偟膩碚f，短基線下單頻單歷元載波定位可以達到mm至cm級。

由于雙差方程中大氣延遲等殘余誤差的影響，本文僅對短基線GPS/BDS組合系統(tǒng)進行分析，正則化后固定率與Ratio值的關(guān)系及中長基線單頻單歷元模糊度固定問題還有待進一步研究。

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About the first author:WANG Jing, postgraduate, majors in GNSS ambiguity fixing, E-mail：1637077276@qq.com.

Single-Frequency Single-Epoch Ambiguity Resolution for Combined GPS/BDS Based on Regularization

WANGJing1ZHAOXingwang1LIUChao1ZHANGCuiying1

1 School of Geodesy and Geomatics，Anhui University of Science and Technology，168 Shungeng Road，Huainan 232001，China

For the issue of rank deficiency in single-frequency single-epoch ambiguity resolution, a regularization matrix constraining coordinate correction parameters is constructed by singular value decomposition on coefficient matrix of double-differenced carrier phase observation equations, in order to improve the ill-condition of normal equation. Single-epoch ambiguity fixed solutions are then acquired using the LAMBDA method. Compared with fitting method of weights, the results indicate that for a 5.8m baseline, the ambiguity resolution success rate of BDS is increased by 17.61%, while the GPS, BDS and GPS/BDS of 2.34 km are increased by 4.67%, 3.56% and 3.63%, respectively. In addition, positioning precision in the East and North reaches the millimeter and millimeter to centimeter levels in Up , when the cut-off elevation angle of satellites is taken as 10°.

single-frequency single-epoch；regularization；GPS/BDS；ambiguity resolution

National Natural Science Foundation of China, No.41404004, 41474026; Natural Science Foundation of Anhui Province, No.1408085QD72; Postdoctoral Science Foundation of Anhui Province, No.2015B044; Young Foundation of Anhui University of Science & Technology, No. QN201512．

2016-01-05

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41404004，41474026)；安徽省自然科學(xué)基金(1408085QD72)；安徽省博士后基金(2015B044)；安徽理工大學(xué)青年基金(QN201512)。

王靜，碩士生，主要從事GNSS模糊度固定理論與方法研究，E-mail：1637077276@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.011

1671-5942(2016)012-1083-05

P228

A